集合与函数：先判断定义域再进行代数运算

学习目标

准确使用集合记号，区分同时成立的条件与可选分支，并在运算前确定定义域。

1. 元素、子集与空集

$x\in A$ 表示 $x$ 是元素；$A\subseteq B$ 表示 $A$ 的每个元素都属于 $B$。这两种陈述的对象类型不同。集合由其元素决定，而不由排列顺序或重复次数决定：$\{1,2,2\}=\{2,1\}$。空集 $\varnothing$ 没有元素，是每个集合的子集，因为不存在违反包含关系的元素。

集合 $\{\varnothing\}$ 不是空集：它有一个元素，即空集。幂集 $\mathcal P(A)$ 是 $A$ 的所有子集组成的集合，总含有 $\varnothing$；这不意味着每个 $A$ 都满足 $\varnothing\in A$。例如实区间 $[0,1]$ 包含的是数，而不是作为额外端点的集合。

实区间记号记录端点是否属于区间：$(a,b)$ 排除两个端点，$[a,b]$ 包含两个端点，半开区间包含方括号指明的端点。无穷不是实数元素，延伸到无穷处总用圆括号。

2. 集合运算与逻辑连接词

补集一定要先指定全集 $E$。在这一单元里，我们通常默认所有集合都在某个 固定 $E$ 里面，所以 $A^c$ 就是 $E \setminus A$。

这里以 $U$ 表示上述固定全集。具体记为

$$A\cup B=\{x\in U:x\in A\text{ or }x\in B\},\quad A\cap B=\{x\in U:x\in A\text{ and }x\in B\},$$ $$A^c=U\setminus A,\qquad A\setminus B=\{x\in A:x\notin B\}.$$

“或”是包含两者都成立的或。补集依赖全集，而 $A\setminus B$ 由这两个集合确定。

命题：De Morgan 与差集法则

对固定全集的子集，$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$、$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$，以及 $A\setminus B=A\cap B^c$。

证明。 元素不属于并集，当且仅当它两个集合都不属于，得到第一条；它不属于交集，当且仅当至少有一个所属关系不成立，得到第二条。属于差集意味着属于 $A$ 且不属于 $B$，得到第三条。每一步都是等价关系，因此证明了两个方向的包含。

对有限集合，$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$：前两个基数相加时交集被数了两次，减去一次即可。Cartesian 积 $A\times B$ 包含有序对 $(a,b)$，故有限基数为 $|A||B|$：每个第一分量都对应 $|B|$ 个第二分量。这是计数结论，并非概率事件独立的假设。

3. 函数在每个声明的输入上恰有一个输出

定义

函数

从 $X$ 到 $Y$ 的函数，是 $X \times Y$ 的一个子集，并且要求 $X$ 中每个 $x$ 都只会对应 $Y$ 中唯一一个 $y$。

函数 $f:X\to Y$ 的定义域为 $X$、陪域为 $Y$；像或值域是 $f(X)$，不一定填满 $Y$。图像是 $X\times Y$ 的子集，每个输入恰对应一个有序对。若一个公式在声明包含的某输入上无定义，它就没有在所声明的定义域上定义函数。

对目标子集 $B\subseteq Y$，原像 $f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$ 即使没有反函数也有定义。整个陪域上的反函数则要求双射：单射排除两个输入共享输出，满射保证每个目标都有原像。

定义域选择例。 从 $\mathbb R$ 到 $[0,\infty)$ 的规则 $x\mapsto x^2$ 是满射但不是单射。把定义域限制为 $[0,\infty)$ 后，它是双射，反函数为 $\sqrt y$。若将陪域声明为整个 $\mathbb R$，即使作了该限制也不是满射。定义域和陪域是函数的数据。

4. 同时进行的运算取定义域交集

两个实函数相加、相乘或相除时，输入必须属于两个原定义域；相除还要求分母非零。平方根要求被开方数非负，对数要求真数严格为正。这些条件同时成立，因此取交集。

设 $f_a(x)=\sqrt{a-x}/(x+1)$，参数 $a$ 为实数。其定义域为 $\{x:x\le a\}\setminus\{-1\}$。按参数分类：

• 若 $a<-1$，定义域为 $(-\infty,a]$，被排除的值本已在区间外。
• 若 $a=-1$，定义域为 $(-\infty,-1)$；被开方数允许端点，但分母排除它。
• 若 $a>-1$，定义域为 $(-\infty,-1)\cup(-1,a]$。

再令 $g_a(x)=\ln(f_a(x))$。对数要求商严格为正；平方根分子不可能为负，因此须 $x<a$ 且 $x>-1$。故 $a>-1$ 时定义域为 $(-1,a)$，$a\le-1$ 时为空。取对数改变了定义域，不能只保留被开方数与分母条件。空定义域在数学上是可能的；对某个实模型而言，它也可能表示没有允许的输入。

5. 分段备选分支取并集

考虑规则：当 $x\le0$ 使用 $\sqrt{-x}$，当 $x>0$ 使用 $\ln(x-1)$。第一分支在 $(-\infty,0]$ 有效；第二分支须同时满足 $x>0$ 和 $x-1>0$，得 $(1,\infty)$。实际定义域是并集 $(-\infty,0]\cup(1,\infty)$。

它不是交集：没有输入需要同时使用两个备选分支。它也不是全体实数：分支条件 $x>0$ 不会使 $\ln(x-1)$ 在 $(0,1]$ 上有定义。分段规定须使各分支在其指定输入上有有效公式，且重叠处输出相容；若重叠分支输出不同，规则便不满足函数的单值要求。

相比之下，普通和 $\sqrt{-x}+\ln(x-1)$ 同时要求两个公式有定义，其实数定义域为空。同样的两个公式作为备选分支与作为加数，定义域逻辑不同。

6. 代数方程仍须检查原输入集

方程 $\sqrt{x+2}=x$ 要求 $x\ge0$，因为左侧非负。平方得 $x^2=x+2$，根为二和负一；只有二满足原方程。平方产生候选值，原来的符号条件筛选真正的解。

类似地，$(x^2-1)/(x-1)$ 约去因子后只在原定义域 $x\ne1$ 上等于 $x+1$。以所有实数为定义域的公式 $x+1$ 是不同的函数，是填补缺点后的延拓。在共同定义域上的代数值相等，并不使不同定义域的函数相等。

集合语言与模型练习

1. 元素与子集。 解释为何总有 $\varnothing\subseteq A$，却不一定有 $\varnothing\in A$。求 $\mathcal P(\varnothing)$ 和 $\mathcal P(\{0\})$。
2. 全集。 对 $A=[0,1]$，比较它在 $U=\mathbb R$ 和 $V=[-1,2]$ 中的补集，并在不改变 $A$ 的情况下证明结果为何不同。
3. 定义域。 求 $\ln(x^2-1)/\sqrt{4-x^2}$ 的实定义域，说明各端点或零点为何包含或排除。
4. 分段函数。 一规则在 $x\le1$ 时给出 $x$，在 $x\ge0$ 时给出 $2-x$。它按原写法在全体实数上定义函数吗？找出每处冲突，并说明一种修复方式，勿声称修复唯一。
5. 参数复合。 对 $g_a(x)=\ln(\sqrt{a-x}/(x+1))$，证明定义域非空当且仅当 $a>-1$，并解释两个严格端点来自不同条件。
6. 函数相等。 自然定义域上的 $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ 与全实数上的 $h(x)=x+1$ 是相同函数吗？说明确切成立的相等关系及如何定义延拓。

完整解答

1. 若包含关系失败，必须存在空集中的元素落在 $A$ 外，这是不可能的。元素关系则是 $A$ 是否把空集当作一个元素的独立问题，例如 $A=\{0\}$ 时不成立。空集的唯一子集是自身，故 $\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$。$\{0\}$ 的子集为 $\varnothing$ 和 $\{0\}$，其幂集有两个元素。
2. 在 $\mathbb R$ 中补集为 $(-\infty,0)\cup(1,\infty)$；在 $[-1,2]$ 中为 $[-1,0)\cup(1,2]$。补集由全集中不属于 $A$ 的元素组成，第二个全集去掉了其外部分，但非所属条件不变；因此必须指定全集。
3. 对数要求 $x^2-1>0$，即 $x<-1$ 或 $x>1$。分母要求平方根有定义且非零，即 $4-x^2>0$、$-2<x<2$。交集为 $(-2,-1)\cup(1,2)$。$\pm1$ 使对数真数为零，$\pm2$ 使分母为零；四点均排除，但原因不同。
4. 两个分支都适用于 $[0,1]$，只有 $x=2-x$、即 $x=1$ 时输出相同；它们在每个 $x\in[0,1)$ 冲突。可改为第一分支用 $x<1$、第二分支用 $x\ge1$；也可选择其他不重叠的分界。原条件没有指定唯一修复方式。
5. 要使对数输入为正，平方根须严格为正，故 $x<a$；分子不能为负，因此分母须正，即 $x>-1$。允许输入存在当且仅当严格区间 $(-1,a)$ 非空。右端点使分子为零，左端点使商的分母为零；两个端点因不同环节而无效。
6. 两者定义域不同，所以不是相等函数。对每个 $x\ne1$，因式分解给出 $f(x)=h(x)$，即 $f$ 等于 $h$ 限制在 $\mathbb R\setminus\{1\}$ 上的函数。定义新函数在该集合上与 $f$ 一致，并令其在 $x=1$ 处取值 $2$，就得到延拓 $h$。单独约分不会为原函数添上该值。

总结与术语

集合运算编码逻辑连接词。定义域交集汇总同时满足的要求，分段定义域并集汇总有效的备选分支。限制缩小函数定义域，延拓增加输入并给出相容输出。每个函数都有原像，但不一定有反函数。集合语言使公式定义域、分支条件与模型有效性在代数运算前变得明确。