6.4 線性相依與線性獨立

動機

張成列表說明哪些向量可以生成，但列表本身可能含有冗餘：若某個向量是其餘向量的線性組合，刪去它不會改變張成。線性相依正是判斷這種冗餘的條件。

定義

定義 6.4.1

（線性獨立）

在實向量空間 $V$ 中，對有限向量列表，若

$$\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\cdots+\alpha_nu_n=0$$

只可能有 $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$，則 $(u_1,\ldots,u_n)$ 稱為線性獨立。

定義 6.4.2

（線性相依）

若存在一組不全為 $0$ 的係數，使

$$\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\cdots+\alpha_nu_n=0,$$

則 $(u_1,\ldots,u_n)$ 稱為線性相依。

所有係數皆為 $0$ 的關係式稱平凡關係；只要有一個係數非零，即為非平凡關係。獨立表示只存在平凡關係。

哪個向量可以刪去？

定理 6.4.3

（相依等價於某向量可由其餘向量表示）

對有限向量組 $(u_1,\ldots,u_n)$（$n\ge2$），以下等價：

1. 這組向量線性相依；
2. 其中至少一個向量可寫成其餘向量的線性組合。

因此，相依向量組必含可刪除而不改變張成空間的向量。

證明

（冗餘判準的證明）

$(1) \Rightarrow (2)$：由非平凡關係 $\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i u_i=0$ 出發，選 $\alpha_k\ne0$，可解得

$$u_k=-\sum_{i\ne k}\frac{\alpha_i}{\alpha_k}u_i,$$

故 $u_k$ 可由其他向量表示。

$(2) \Rightarrow (1)$：若 $u_k=\sum\limits_{i\ne k}\beta_i u_i$，移項後即得非平凡關係，故相依。

證明透視

一條關係指出哪些向量可以刪去

非平凡關係的意思是至少一個係數非零，並不要求所有係數非零。冗餘判準的證明只能除以已知非零的係數。因此，一條具體關係只在其非零係數的位置指出可刪去的向量，不能據此隨意刪除任意一個向量。

例如，$\mathbb R^2$ 中的列表 $(e_1,e_2,2e_1)$ 滿足 $-2e_1+0e_2+1(2e_1)=0$。第一或第三個向量都能由其餘兩個恢復；但若刪去 $e_2$，剩下的都只是 $e_1$ 的純量倍數，原本張成空間中的 $e_2$ 便無法再生成。$e_2$ 的係數為零，不能提供恢復它的公式。這就是證明必須先選定一個係數非零的指標，再移項的原因。

例題 6.4.4

（刪去冗餘向量，不會改變張成）

令

$$u_1 = \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\qquad u_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad u_3 = \begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}.$$

這裡 $u_3 = u_1 + u_2$。因此任何

$$a u_1 + b u_2 + c u_3$$

都可改寫成

$$(a+c)u_1 + (b+c)u_2.$$

所以

$$\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

第三個向量改變了描述方式，但沒有改變張成本身。

定理 6.4.5

（冗餘向量可以刪去，而不改變張成）

若一組向量之中有一個向量是其餘向量的線性組合，刪去它之後，張成不會改變。

證明

（為甚麼張成保持不變）

較短那一組是較長那一組的子集，所以它的張成一定包含在較大張成之內。反過來，冗餘向量可以用其他向量代替，整理同類項後，長一點的線性組合也會變成短一點那組的線性組合。

反例模式

張成不能保證線性獨立

錯誤斷言。 只要一個列表張成整個所在空間，它就一定線性獨立。

重新考察 $\mathbb R^2$ 中的 $(e_1,e_2,2e_1)$。任意 $(a,b)^T$ 都等於 $ae_1+be_2+0(2e_1)$，所以這個列表張成整個 $\mathbb R^2$。然而 $-2e_1+0e_2+1(2e_1)=0$ 是非平凡關係。因此，張成保證表示存在，獨立性則要求表示唯一；存在本身並不能保證唯一。

修正。 要得到一組基底，必須同時要求張成與線性獨立。在此刪去 $2e_1$，餘下的 $(e_1,e_2)$ 仍張成全空間，而 $ae_1+be_2=0$ 逐座標推出 $a=b=0$。這樣消除了冗餘，卻沒有失去任何可生成的向量。

從關係式到齊次系統

這裏的未知量是係數。非零解將記錄原生成向量之間的一條非平凡關係；主元判準把這一觀察變成計算方法。

定理 6.4.6

（$R^m$ 中的行化簡判別準則）

令 $u_1,\ldots,u_n\in R^m$，組成

$$A=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].$$

則 $u_1,\ldots,u_n$ 線性獨立當且僅當齊次系統 $Ax=0$ 只有零解。等價地說，把 $A$ 化為 RREF 後，全部欄都必須是 主元欄。

等價地，這個欄矩陣的零空間為 $N(A)=\{0\}$。

證明

（行化簡準則的證明）

依定義，相依與否等同於是否存在非零係數向量 $x$ 令 $\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0$，即 $Ax=0$。初等行變換保持齊次系統解集不變，因此可在 RREF 判斷：若有自由變數，則有非零解（相依）；若無自由變數，只有零解（獨立）。

這給出一個完整流程。

1. 把向量排成欄向量矩陣 $A=[u_1\ \cdots\ u_n]$。
2. 解齊次系統 $A\alpha=0$。
3. 如果有自由變數，就給其中一個自由變數選取非零值，並讀出一條非平凡關係。
4. 如果每一欄都是主元欄，則只有平凡解，向量組線性獨立。

還有一個立即可用的捷徑：$R^m$ 中多於 $m$ 個向量必定線性相依，因為 $m \times n$ 矩陣在 $n>m$ 時不可能每一欄都有主元。

常見錯誤

（行化簡是為了看齊次系統，不是要改變原來的向量）

做相依性測試時，行化簡 $A$ 不是把原本的向量換成另一批想研究的新向量，而是在簡化方程 $A\alpha=0$。行等價矩陣有相同的齊次解集，所以它們有相同的相依關係。

讀出關係，再檢查獨立列表

例題 6.4.7

（從行化簡讀出一條關係式）

考慮

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix},$$

其三欄分別是 $u_1=(1,2,1)^T$、$u_2=(0,1,1)^T$、$u_3=(1,3,2)^T$。行化簡得

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

第三欄不是主元欄，所以 $\alpha_3$ 是自由變數。取 $\alpha_3=1$，便有 $\alpha_1=-1$、$\alpha_2=-1$，因此

$$-u_1-u_2+u_3=0,$$

也就是 $u_3=u_1+u_2$。

例題 6.4.8

（用 RREF 測試獨立性）

令

$$u_1=(1,2,0),\quad u_2=(0,1,1),\quad u_3=(2,5,1).$$

把它們放入 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ 的各欄，並依次消去第一欄與第二欄的下方元素：

$$A=\begin{bmatrix} 1&0&2\\ 2&1&5\\ 0&1&1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1} \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&1\\ 0&1&1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.$$

第三欄不是主元欄，因此 $Ax=0$ 中的 $x_3$ 是自由變數。存在非零係數解，所以該列表線性相依。

例題 6.4.9

（用行化簡判斷獨立）

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}2\\4\\3\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}.$$

把向量放入 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ 的各欄。先消去第一欄的下方元素，再交換第二、第三行：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2\leftrightarrow R_3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}.$$

所得階梯形矩陣每一欄都有主元，所以齊次系統只有零解。這三個向量線性獨立。

例題 6.4.10

（含零向量必相依）

若 $u_2=0$，則

$$0\cdot u_1+1\cdot u_2+0\cdot u_3+\cdots+0\cdot u_n=0$$

已是非平凡關係（$u_2$ 係數為 1），故向量組必相依。

相依關係背後的幾何意義

下方圖解把代數判準與幾何聯繫起來。第三個向量若在前兩個向量的張成內，就能由它們恢復；加入它只會改變列表，不會擴大張成。

先用代數判斷是否相依，再用下方圖像比較對應的幾何情形。

低維快速判斷

定理 6.4.11

（兩個非零向量獨立，當且僅當它們不是彼此的純量倍數）

對有序對 $(u,v)$，若兩個向量都非零，則它們線性獨立，當且僅當其中一個不是另一個的純量倍數。這裏採用列表約定，即使 $u=v$，也保留兩個位置。

證明

（兩個向量為何只需看倍數關係）

若 $au+bv=0$ 是一條非平凡關係式，那麼 $a$、$b$ 之中至少有一個不為 $0$。若 $b\ne 0$，可解出

$$v = -\frac{a}{b}u.$$

若 $a\ne 0$，可解出

$$u = -\frac{b}{a}v.$$

反過來，若 $v=\lambda u$，則 $\lambda u-v=0$ 是非平凡關係；$u=\lambda v$ 的情況相同。因此，兩個向量線性相依，當且僅當其中一個是另一個的純量倍數。

例題 6.4.12

（$R^2$ 裡的兩個向量）

令

$$u = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \qquad v = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}.$$

因為 $v=2u$，所以這對向量相依。幾何上，它們指向同一個方向。

例題 6.4.13

（$R^2$ 裡三個向量一定相依）

若 $u_1,u_2,u_3 \in R^2$，則矩陣 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ 是一個 $2\times 3$ 矩陣。行化簡後最多只有兩個主元，所以一定有一欄不是主元欄。這就表示 $A\alpha=0$ 有自由變數，因此這三個向量相依。

例題 6.4.14

（$R^3$ 裡位於同一平面的三個向量）

若 $R^3$ 中三個向量都落在平面 $z=0$，它們全都屬於 $e_1$ 和 $e_2$ 的張成。但那個平面本身只需要兩個獨立方向來描述，所以第三個向量不可能再提供新的獨立方向。這組向量相依。

定理 6.4.15

（在 $R^m$ 裡，太多向量一定相依）

$R^m$ 中任何多於 $m$ 個向量的列表都一定線性相依。

證明

（為甚麼超過 $m$ 個向量不可能全部獨立）

若 $A$ 是一個 $m\times n$ 矩陣，而且 $n>m$，那麼行化簡後最多只能有 $m$ 個主元欄，所以至少有一欄不是主元欄。這表示 $A\alpha=0$ 有自由變數，因此有非零解，也就是有非平凡關係式。

常見錯誤

常見錯誤

（把『相依』誤解成『不能張成』）

相依只表示有冗餘，不表示不能張成。很多相依向量組仍可張成同一空間。

常見錯誤

（以為重排向量會改變相依性）

更換排列不改變是否存在非平凡關係，因此不影響相依/獨立判斷。

總結

• 線性相依可以從定義直接理解，也可以解讀為張成列表中的冗餘，或欄矩陣零空間裡的一個非零向量。
• 行化簡是用來簡化係數方程 $A\alpha=0$，不是把原來向量換成另一組要研究的新向量。
• 自由變數會給出非平凡相依關係；每一欄都有主元則證明線性獨立。
• $R^2$ 中的倍數判斷，以及 $R^m$ 中超過 $m$ 個向量必相依，都是同一個主元數目邏輯的低維版本。

檢查點：從三種角度辨認冗餘

快速檢查

（判斷 $(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)$ 在 $R^3$ 是否線性獨立。）

可用冗餘判準或 RREF。

解答 · 練習 1

相依，因 $(1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)$。

快速檢查

（$R^2$ 中 $S=\{(1,1),(2,2)\}$ 是否獨立？）

先嘗試把其中一個寫成另一個的純量倍。

解答 · 練習 2

相依，因 $(2,2)=2(1,1)$。

快速檢查

（若 $\{u_1,u_2,u_3\}$ 已獨立，$\{u_1,u_2,u_3,u_1+u_2\}$ 還會獨立嗎？）

把問題改寫為線性關係式。

解答 · 練習 3

不會獨立，因 $u_1+u_2-(u_1+u_2)=0$ 是非平凡關係。

練習

快速檢查

（若 $R^3$ 裡有 5 個向量，能否線性獨立？）

用主元數目上限判斷。

解答 · 答案

不能。$3\times 5$ 矩陣最多只有 3 個主元，必有自由變數，所以必定存在非平凡線性關係。

快速檢查

（判斷 $\{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)\}$ 是否線性獨立。）

把三個向量放成矩陣欄，再做行化簡。

解答 · 引導解答

按題目次序把向量記為 $u_1,u_2,u_3$。答案是線性相依。把它們排成 $A$ 的欄：

$$A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&3&1\end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}.$$

第一步從第三行減去第一行和第二行，第二步從第一行減去第二行的兩倍。只有第一、第二欄是主元欄。取自由係數 $\alpha_3=1$，可得 $\alpha_1=2$、$\alpha_2=-1$。直接代入驗證：

$$2(1,0,1)-(2,1,3)+(0,1,1)=(0,0,0).$$

係數向量 $(2,-1,1)$ 非零，所以這是一條非平凡關係。等價地，$u_2=2u_1+u_3$。

快速檢查

（把 $\{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)\}$ 的相依關係寫出來。）

先找明顯倍數關係。

解答 · 引導解答

$(2,4,6)=2(1,2,3)$，所以 $2(1,2,3)-(2,4,6)+0(1,0,1)=0$ 是非平凡關係，故此集合線性相依。

快速檢查

（任何包含零向量的向量列，都一定相依嗎？）

直接從定義出發。

解答 · 答案

是。把零向量的係數取為 $1$，其餘係數取為 $0$，就已經構成一條非平凡關係式。

快速檢查

（若一個 $4\times 4$ 矩陣有四個主元欄，這代表它的欄向量有甚麼性質？）

用矩陣判據回答。

解答 · 答案

欄向量線性獨立，因為 $A\alpha=0$ 只有平凡解。

快速檢查

（解釋為甚麼線性獨立集合的任何子集也線性獨立。）

想想若子集自己有關係式，會對整個集合造成甚麼影響。

解答 · 引導解答

如果子集有一條非平凡關係式，把沒有用到的向量係數補成 $0$，同一條關係式也會變成整個大集合的關係式。那樣大集合就會相依，與原設前提矛盾。所以獨立集合的子集也獨立。

快速檢查

（某列表滿足 $2u_1-u_2+0u_3=0$。這條關係能證明刪去哪幾個向量不會改變張成？）

指出非零係數的位置；不要假設任意一個向量都能刪去。

解答 · 引導解答

關係給出 $u_2=2u_1$ 與 $u_1=\tfrac12u_2$，所以可刪去 $u_1$ 或 $u_2$。它沒有給出 $u_3$ 的表示。例如，若 $u_1=e_1$、$u_2=2e_1$、$u_3=e_2$，刪去 $u_3$ 會把張成從平面變成直線。

預備連結

請先熟悉 6.3 線性組合與張成 與 2.3 高斯消去與 RREF。

獨立性排除冗餘，卻不保證每個目標都能到達。6.5 基底與維數 將獨立性與張成性結合，再證明這種列表的長度是空間本身的性質。