3.2 矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組

矩陣乘法記錄兩次線性計算依次進行的結果。把第一次計算的輸出代入第二次計算，就會得到行乘欄規則。

動機

矩陣加法與數乘都是逐項進行。矩陣乘法則不同：輸出中的一個元素，是由左邊矩陣的一整行與右邊矩陣的一整欄共同決定。

這個大小條件也有結構上的原因。一個 $n \times p$ 矩陣把具有 $p$ 個元素的向量送到具有 $n$ 個元素的向量，而一個 $m \times n$ 矩陣恰好可以接收這個結果，再把它送到具有 $m$ 個元素的向量。因此先做 $B$、再做 $A$ 的複合作用大小為 $m \times p$，正好就是 $AB$ 的大小。相同的內側維數表示兩個作用能夠銜接，外側維數則記錄複合作用的輸入與輸出。

例如，先計算 $y_1=4x_1$ 與 $y_2=5x_1+x_2$，再計算 $z_1=y_1+2y_2$ 與 $z_2=3y_1-y_2$。代入後得到

$$\begin{aligned} z_1&=(1\cdot4+2\cdot5)x_1+(1\cdot0+2\cdot1)x_2=14x_1+2x_2,\\ z_2&=(3\cdot4-1\cdot5)x_1+(3\cdot0-1\cdot1)x_2=7x_1-x_2. \end{aligned}$$

每個係數都把第二次計算的一行與第一次計算的一欄結合起來。把第一次計算的係數矩陣記為 $B$，第二次的記為 $A$，複合計算的係數矩陣就是 $AB$；最右邊的因子先作用。

返回目前講解與白板

定義 3.2.1

（矩陣乘積何時有定義）

若 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，$B$ 是 $n \times p$ 矩陣，則乘積 $AB$ 有定義，且結果是 $m \times p$ 矩陣。

若 $A$ 的欄數不等於 $B$ 的行數，則 $AB$ 未定義。

內側大小必須配對；外側大小則給出結果矩陣的大小。

行乘欄規則

定義 3.2.2

（矩陣乘法）

設 $A = [a_{ij}]$ 是 $m \times n$ 矩陣，$B = [b_{jk}]$ 是 $n \times p$ 矩陣。

則 $AB$ 的 $(i,k)$ 元素為

$$(AB)_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{in}b_{nk}.$$

也就是說，輸出中的一個元素，是 $A$ 的第 $i$ 行與 $B$ 的第 $k$ 欄按位相乘後再相加。

這個定義同時說明三件事：

• 矩陣乘法不是逐項相乘；
• 內側大小必須吻合；
• 一個輸出元素會用到整行與整欄中所有對應位置。

返回逐步計算

例題 3.2.3

（細算一個矩陣乘積）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

由於兩者都是 $2 \times 2$，所以 $AB$ 有定義。其元素為

$$(AB)_{11} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 14,$$$$(AB)_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2,$$$$(AB)_{21} = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 7,$$$$(AB)_{22} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

返回白板目前選取的元素

矩陣乘向量就是方程組語言

若 $x$ 是列向量，那麼 $Ax$ 只是矩陣乘法的特例，但它剛好把線性方程組的左邊全部打包起來。

對

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

有

$$Ax = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 並不是純粹縮寫，而是把整個方程組寫成一個矩陣乘積。

逐行讀出 Ax 對應的方程

$A$ 的每一行提供 $Ax=b$ 中一個方程的係數。

單位矩陣是刻意「甚麼也不改變」的矩陣

定義 3.2.4

（單位矩陣）

對每個正整數 $n$，$I_n$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣：主對角線上全是 $1$，其餘位置全是 $0$。

例如

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

單位矩陣之所以重要，是因為它對任何大小相容的矩陣都不起改變作用：

$$AI_n = A, \qquad I_m A = A.$$

例題 3.2.5

（為甚麼乘上單位矩陣不會改變矩陣）

若

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},$$

則

$$AI_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}.$$

因為 $I_2$ 的第一欄會抽出 $A$ 的第一欄，第二欄會抽出 $A$ 的第二欄。

這正是往後定義逆矩陣的原因：若 $A^{-1}$ 存在，就要求 $AA^{-1} = I$。

看行乘欄規則與單位矩陣的作用

$AB$ 的一個元素由一行與一欄共同決定；乘上單位矩陣則保留相容的行或欄。

乘法一般不交換

一般而言，

$$AB \ne BA.$$

有時兩個乘積都定義，但結果不同；有時其中一個有定義，另一個根本未定義。所以次序同時影響「能不能做」與「做出來是甚麼」。

反例模式

大小相容並不保證交換

「任意兩個同樣大小的方陣都滿足 $AB=BA$」是錯誤命題，即使兩種次序的乘積都有定義且大小相同。取

$$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

兩者都是 $2\times2$ 實矩陣，滿足所提命題的假設。直接按行乘欄計算，得到

$$AB=\begin{bmatrix}0&2\\0&4\end{bmatrix},\qquad BA=\begin{bmatrix}0&0\\3&4\end{bmatrix}.$$

例如，$(AB)_{12}=1\cdot0+2\cdot1=2$，但 $(BA)_{12}=0\cdot2+0\cdot4=0$。只要一對對應元素不同，就足以證明 $AB\ne BA$。失敗的結構原因是：右乘這個 $B$ 會保留第二欄、把第一欄歸零；左乘它則保留第二行、把第一行歸零。

一個正確的修訂是：方陣與同樣大小的單位矩陣的任意純量倍都可交換。事實上，若 $B=cI$，則 $AB=A(cI)=cA=(cI)A=BA$。對於任意方陣，交換性需要另行論證；大小相容只保證乘法有定義，並不保證因子可以調換。

下面的圖可以幫你直接看到：一個輸出元素，是如何由一行與一欄構成的。

用欄的觀點讀取乘積

除了逐項計算之外，矩陣乘法還有另一種非常重要的讀法。

若把 $B$ 的欄寫成

$$B = [b_1\ b_2\ \cdots\ b_p],$$

則有

$$AB = [Ab_1\ Ab_2\ \cdots\ Ab_p].$$

換言之，乘積的每一欄，都可以理解為 $A$ 乘上 $B$ 的對應列向量。

例題 3.2.6

（逐欄讀取同一個乘積）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

把 $B$ 的兩欄記為

$$b_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}, \qquad b_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

那麼

$$Ab_1 = \begin{bmatrix} 14 \\ 7 \end{bmatrix}, \qquad Ab_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

這與逐項使用行乘欄規則所得的答案相同。欄的觀點強調的是：一個矩陣乘積把多個矩陣乘向量的運算並列地組合在一起。

矩陣乘法其實表示複合

矩陣乘法不是任意規定的公式，而是用來表達線性映射複合的規則。

若向量 $x$ 先被送到 $Bx$，再將結果送到 $A(Bx)$，則整體作用就是

$$(AB)x.$$

所以內側大小一定要吻合，因為第一個變換的輸出，必須是第二個變換可以接收的輸入。

定理 3.2.7

（結合律對應重複複合）

只要相關乘積有定義，就有

$$A(BC) = (AB)C.$$

所以一串矩陣乘積可以改變分組方式，而不改變最後的線性變換。

這並不表示可以改變因子的次序。結合律只允許改變括號，而不允許重新排列因子。

例題 3.2.8

（可以改變括號，但不能改變次序）

設 $A$ 是 $2 \times 3$ 矩陣，$B$ 是 $3 \times 4$ 矩陣，$C$ 是 $4 \times 2$ 矩陣。

此時 $AB$ 與 $BC$ 都有定義，所以 $(AB)C$ 與 $A(BC)$ 都有意義；結合律說明它們相等。更具體地說，$AB$ 的大小是 $2 \times 4$，所以 $(AB)C$ 的大小是 $2 \times 2$；$BC$ 的大小是 $3 \times 2$，所以 $A(BC)$ 也是 $2 \times 2$。

但是 $BA$ 根本沒有定義，因為它的兩個內側維數 $4$ 與 $2$ 不相等。因此矩陣乘法具有結合律，卻一般不具有交換律。

標準基向量解釋欄的觀點為何自然

在 $\mathbb{R}^n$ 中，$e_k$ 是第 $k$ 個位置等於 $1$、其餘位置都為 $0$ 的向量。若 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，則 $Ae_k$ 恰好是 $A$ 的第 $k$ 欄。

因此單位矩陣並不神秘。$I_n$ 的各欄就是 $e_1, e_2, \ldots, e_n$，所以右乘 $I_n$，其實就是逐欄把 $A$ 本身完整地重建出來。

同樣的基本檢驗亦適用於零矩陣。若右邊矩陣的每一欄都是零向量，則乘積的每一欄都會變成零向量，所以任何大小相容的 $A0$ 都一定是零矩陣。

定理 3.2.9

（矩陣由它對向量的作用唯一確定）

設 $A$ 與 $B$ 都是 $m \times n$ 矩陣。若

$$Ax=Bx \qquad \text{對每個 } x\in\mathbb{R}^n,$$

則 $A=B$。

證明

（利用標準基證明）

對每個 $k=1,\ldots,n$，把標準基向量 $e_k$ 代入假設，得到 $Ae_k=Be_k$。其中 $Ae_k$ 是 $A$ 的第 $k$ 欄，而 $Be_k$ 是 $B$ 的第 $k$ 欄。因此兩個矩陣的第 $k$ 欄對每個 $k$ 都相同。它們的所有欄、因而所有元素都相同，故 $A=B$。

「對每個 $x$」是不可缺少的條件。兩個不同矩陣可以在某一個向量上作用相同；例如，兩者都會把零向量送到零向量。上面的證明還給出更強的檢驗方法：無須逐一檢查所有向量，只要檢查 $n$ 個標準基向量，就能逐欄確定整個矩陣。

最先要記住的代數法則

當乘法有定義之後，下一個問題是：它與已熟悉的其他矩陣運算如何配合。

只要大小相容，矩陣乘法滿足

$$A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)C = AC + BC,$$

而純量亦可以搬進搬出：

$$(cA)B = c(AB) = A(cB).$$

零矩陣提供最直接的基本檢驗。若 $0$ 是大小相容的零矩陣，便有

$$A0 = 0, \qquad 0A = 0.$$

原因是：行乘欄時只要其中一邊全部是零，所有輸出元素都只能是零。

這幾條法則雖然基本，但往後討論逆矩陣、分塊矩陣計算和更長的乘積推理時，都會默認使用。如果不把它們明確掌握，後面的長計算便很難核對。

未知元素與因子的次序

含有未知元素的乘積把三個要點連在一起：相容的大小、決定每個輸出元素的行與欄，以及因子的次序。先用這些結構資訊建立關係，再求解所得的純量方程。

例題 3.2.10

（由部分已知乘積反推出未知數）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \\ b & a \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$$

假設

$$AB = \begin{bmatrix} 1 & c \\ 3 & d \end{bmatrix}.$$

乘積有定義，因為 $A$ 是 $2 \times 4$，$B$ 是 $4 \times 2$，所以 $AB$ 必定是 $2 \times 2$。只計算需要比較的元素，可得

$$AB = \begin{bmatrix} a+b+5 & a+b+8 \\ a+2b+1 & 2a+b+2 \end{bmatrix}.$$

把第一欄與已知矩陣比較，得到

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

因此

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

第二條減第一條得到 $b=6$，再代入得到 $a=-10$。餘下元素是

$$c=a+b+8=4, \qquad d=2a+b+2=-12.$$

這類題目的重點，不是把所有元素都盲目乘出來，而是抽出已知乘積元素所強制的少數方程。

例題 3.2.11

（展開乘積時不要假設矩陣可交換）

令 $A$ 與 $B$ 是相同大小的方陣。則

$$(5A-B)(2A+3B) = 5A(2A+3B)-B(2A+3B).$$

繼續分配右邊因子：

$$5A(2A+3B)-B(2A+3B) =10A^2+15AB-2BA-3B^2.$$

中間兩項是 $15AB$ 與 $-2BA$。除非已知 $AB=BA$，否則不能把它們合併成 $13AB$。

同一個警告亦解釋了常見錯誤：

$$(A+B)(A-B) =A^2-AB+BA-B^2.$$

只有在額外知道 $AB=BA$ 時，這才等於 $A^2-B^2$。實數代數會遮住這個問題，因為實數乘法可交換；矩陣代數不會。

例題 3.2.12

（零乘積不代表其中一個因子必定為零）

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

兩個矩陣都不是零矩陣，但

$$AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}.$$

所以矩陣乘法與實數乘法不同：$AB = 0$ 並不推出 $A = 0$ 或 $B = 0$。

定理 3.2.13

（單位矩陣是唯一的）

如果 $E$ 是一個 $n \times n$ 矩陣，而且對每個相容的 $n \times n$ 矩陣 $A$ 都滿足

$$EA = A \qquad \text{且} \qquad AE = A,$$

那麼必有 $E = I_n$。

證明

（為何不可能存在第二個單位矩陣）

取 $A = I_n$。由 $E$ 的性質得到 $EI_n = I_n$。但任何矩陣右乘 $I_n$ 都保持不變，所以 $EI_n = E$。因此 $E = I_n$。

常見錯誤

常見錯誤

（矩陣乘法不是逐項相乘）

$(AB)_{ik}$ 不是 $a_{ik}b_{ik}$。它來自 $A$ 的第 $i$ 行與 $B$ 的第 $k$ 欄。

常見錯誤

（一個方向可乘，不代表反方向也可乘）

若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 4$，則 $AB$ 有定義，但 $BA$ 沒有。不要自動把順序反過來。

常見錯誤

（欄觀點是看右邊因子的欄）

如果 $B=[b_1\ b_2]$，則 $AB=[Ab_1\ Ab_2]$。乘積的各欄是 $A$ 的欄的線性組合，而權重來自 $B$ 的對應欄。不要寫成 $AB=[a_1b_1\ a_2b_2]$；這並不符合矩陣乘法的定義。

常見錯誤

（二項式公式需要可交換假設）

公式 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ 對矩陣不是自動成立。真正展開是

$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.$$

只有在 $AB=BA$ 時，才可以把中間兩項合併。

總結

若 $A$ 的大小為 $m \times n$、$B$ 的大小為 $n \times p$，則 $AB$ 的大小為 $m \times p$；內側維數不相等時，乘積沒有定義。每個元素由 $A$ 的一行與 $B$ 的一欄計算，而欄公式 $AB=[Ab_1\ \cdots\ Ab_p]$ 則把同一運算理解為多個矩陣乘向量的運算。因此，$Ax=b$ 正好能把一個線性方程組寫成一個對象。

單位矩陣不會改變大小相容的矩陣。矩陣乘法滿足結合律與分配律，但結合律只允許改變括號，並不允許調換因子；一般而言，$AB\ne BA$。最後，等式 $Ae_k=\operatorname{col}_k(A)$ 表明矩陣對標準基的作用會逐欄確定這個矩陣。所以若對每個 $x\in\mathbb{R}^n$ 都有 $Ax=Bx$，則必有 $A=B$。

快速檢查

快速檢查

（若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 5$，那麼 $AB$ 的大小是甚麼？）

先檢查內側大小，再讀外側大小。

解答 · 答案

$AB$ 有定義，而且大小是 $2 \times 5$。

快速檢查

（把一個大小相容的矩陣乘上 $I_n$，會發生甚麼？）

用一句話回答。

解答 · 答案

矩陣保持不變。

快速檢查

（如果 $B$ 的列向量是 $b_1$ 和 $b_2$，應如何讀取 $AB$ 的各欄？）

用欄觀點回答。

解答 · 答案

$AB$ 的各欄分別是 $Ab_1$ 和 $Ab_2$。

快速檢查

（展開 $(5A-B)(2A+3B)$ 時，$BA$ 的係數是多少？）

請把 $AB$ 與 $BA$ 當作不同項處理。

解答 · 答案

$BA$ 的係數是 $-2$，因為該項來自 $-B(2A)$。

練習

快速檢查

（為甚麼 $Ax = b$ 可以同時代表多條方程？）

請在答案中使用「行」這個字。

解答 · 答案

因為 $A$ 的每一行與列向量 $x$ 配對後，都會產生一條方程，所以 $Ax$ 會把整個方程組一同打包。

快速檢查

（為甚麼 $Ax = 0$ 不論 $A$ 是甚麼，都至少有一個解？）

把 $x$ 看成列向量來回答。

解答 · 引導解答

取零向量 $x = 0$。由於 $A0$ 的每個元素都是把 $0$ 的元素做線性組合，所以全部都是 $0$。因此 $A0 = 0$，齊次系統永遠至少有平凡解。

快速檢查

（為何有時 $AB$ 有定義，但 $BA$ 卻沒有定義？）

請用內側大小條件作答。

解答 · 引導解答

$AB$ 有定義，要求 $A$ 的欄數等於 $B$ 的行數；而 $BA$ 有定義，要求 $B$ 的欄數等於 $A$ 的行數。這兩個條件不同，所以一個方向可以做，反方向未必可以做。

快速檢查

（令 $A$、$B$ 為上面含未知數例題中的矩陣。若 $AB$ 的第一欄是 $[1,3]^T$，求 $a$ 和 $b$。）

只使用第一欄給出的方程。

解答 · 引導解答

$AB$ 的第一欄給出

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

所以

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

相減得 $b=6$，再代入 $a+b=-4$ 得 $a=-10$。

快速檢查

（若 $A$ 的第一行是 $(4, -1, 2)$，而 $x = (x_1, x_2, x_3)^T$，那麼 $Ax$ 的第一個元素是甚麼？）

請直接用行乘欄規則寫出。

解答 · 引導解答

第一個元素是 $4x_1 - x_2 + 2x_3$。

相關筆記

本節建立在 2.1 矩陣基礎 之上。下一節可讀 3.3 轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣，或直接跳到 5.1 可逆矩陣。

有限實矩陣乘法法則的證明

設 $m,n,p,q$ 為正整數，$A\in\mathbb R^{m\times n}$、$B\in\mathbb R^{n\times p}$、$C\in\mathbb R^{p\times q}$。以下只用行乘欄定義與實數的有限求和。對任意輸出位置 $(i,\ell)$，

$$\begin{aligned} ((AB)C)_{i\ell} &=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}\\ &=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{k\ell}\right) =(A(BC))_{i\ell}. \end{aligned}$$

中間等號只交換兩個有限和的求和次序，並使用實數分配律。兩邊同為 $m\times q$ 矩陣，每個位置相等，便證明結合律；沒有調換矩陣因子的次序。

對 $D\in\mathbb R^{n\times p}$，同一定義給出

$$[A(B+D)]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+d_{jk}) =(AB)_{ik}+(AD)_{ik}.$$

對 $E\in\mathbb R^{m\times n}$，則有

$$[(A+E)B]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+e_{ij})b_{jk} =(AB)_{ik}+(EB)_{ik}.$$

所以在所寫的相容大小下，兩條分配律均成立。對任意實純量 $c$，

$$[(cA)B]_{ik}=\sum_j(ca_{ij})b_{jk} =c\sum_j a_{ij}b_{jk} =\sum_j a_{ij}(cb_{jk})=[A(cB)]_{ik},$$

逐項相等便證明 $(cA)B=c(AB)=A(cB)$。特別地，對 $x,y\in\mathbb R^n$ 與實數 $s,t$，

$$[A(sx+ty)]_i=\sum_j a_{ij}(sx_j+ty_j) =s(Ax)_i+t(Ay)_i.$$

這證明了比較同一線性系統的解時所用的矩陣乘向量線性性質。所有恆等式都只針對大小相容的有限實矩陣，不聲稱任意矩陣因子可交換或可消去。

補充練習與完整解答

第 3 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=\begin{pmatrix}-2&-5&2&0\\a&0&1&a\\1&-2&c&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&a\\-3&1\\1&a\\c&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}13&-5\\-11&0\\b&d\end{pmatrix},\quad AB=C.$$

參數均為實數。(a) 求 b。(b) 寫出逐項比較所得、顯式含 a,c,d 中至少一個而不含 b 的全部簡化等式。(c) 在 a≠0 下求 a,c,d。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}13&-5\\a(c+2)+1&a^2+2a\\8&a(c+1)-3\end{pmatrix}.$$ $$\text{(a)}\ b=8;\qquad \text{(b)}\ a(c+2)=-12,\quad a(a+2)=0,\quad d=a(c+1)-3.$$ $$\text{(c)}\quad a=-2,\qquad c=4,\qquad d=-13.$$

按行乘列得到所列乘積。第一行的兩個等式恆成立，其餘元素恰好給出上述三個等式及 b=8。由 a≠0 和 a(a+2)=0 得 a=−2，依次代入得 c=4、d=−13；這些數值在每個位置均滿足 AB=C。

第 8 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}.$$

計算 AB 與 BA。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\\4&8&12&16\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1+4+9+16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30\end{pmatrix}.$$

AB 為 4×4 矩陣，其第 (i,j) 元素為 ij。BA 為 1×1 矩陣，唯一的元素是該行與該列的內積。兩種乘積的尺寸不同。

第 9 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=\begin{pmatrix}3&0\\-1&2\\1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&-1\\0&2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&4&2\\3&1&5\end{pmatrix}.$$

計算 (AB)C 與 A(BC)。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}12&-3\\-4&5\\4&1\end{pmatrix},\qquad BC=\begin{pmatrix}1&15&3\\6&2&10\end{pmatrix}.$$ $$(AB)C=\begin{pmatrix}12-9&48-3&24-15\\-4+15&-16+5&-8+25\\4+3&16+1&8+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&45&9\\11&-11&17\\7&17&13\end{pmatrix}.$$ $$A(BC)=\begin{pmatrix}3&45&9\\-1+12&-15+4&-3+20\\1+6&15+2&3+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&45&9\\11&-11&17\\7&17&13\end{pmatrix}.$$

先分別求出 3×2 與 2×3 的中間乘積，再按所列行列內積計算。兩個最終乘積均為 3×3，且逐項相等。

第 10 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=\begin{pmatrix}2&0&2&1\\2&8&1&0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}a&2\\1&b\\b&a\\-1&5\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}3&c\\4&d\end{pmatrix},\quad AB=C.$$

求實數 a,b,c,d。

解答

$$AB=\begin{pmatrix}2a+2b-1&9+2a\\2a+b+8&4+8b+a\end{pmatrix}.$$ $$a+b=2,\quad 2a+b=-4\ \Longrightarrow\ a=-6,\ b=8;\qquad c=9+2a=-3,\quad d=4+8b+a=62.$$

比較第一列得兩個線性方程，相減得 a=−6，再得 b=8；第二列確定 c,d。將四個值代回乘積，恰好得到 C，因此沒有遺漏條件。

第 11 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&1&-3\\-5&2&3\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}2&5&-1&-7\\-2&1&3&4\\3&2&1&2\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}3&6&0&-6\\-1&2&4&5\\4&3&2&3\end{pmatrix}.$$

(a) 判斷 B=C 是否成立並說明理由；(b) 計算 AB、AC；(c) 判斷 AB=AC 是否成立並說明理由。

解答

$$\text{(a)}\quad b_{11}=2\ne3=c_{11},\quad B\ne C.$$ $$\text{(b)}\quad AB=AC=\begin{pmatrix}9&5&-6&-13\\-7&5&-2&-16\\-5&-17&14&49\end{pmatrix}.$$ $$C-B=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$

例如 AB 的首元素為 1·2+(−2)(−2)+1·3=9，其他元素同樣按行乘列計算。另作驗證：C−B 的每一列都是 (1,1,1)ᵀ，而 A 將此向量映為零，故 AC−AB=0。因此 (c) 成立而 (a) 不成立，一般矩陣不能直接約去。

第 15 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A,B\in M_{n\times n}(\mathbb R),\qquad (2A+3B)(A-B)=aA^2+bAB+cBA+dB^2.$$

給出適當的實數 a,b,c,d。

解答

$$(2A+3B)(A-B)=2A^2-2AB+3BA-3B^2,\qquad (a,b,c,d)=(2,-2,3,-3).$$

使用分配律，並保持每個乘積中因子的先後次序。一般 AB 與 BA 不相等，故須分別保留其係數。展開式說明這些數對所有符合尺寸的 A,B 都適用。

第 16 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=\begin{pmatrix}a&0&0\\d&b&0\\e&f&c\end{pmatrix},\qquad a,b,c,d,e,f\in\mathbb R.$$

驗證 (aI₃−A)(bI₃−A)(cI₃−A)=O₃×₃。

解答

$$(aI_3-A)(bI_3-A)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\df+e(c-b)&f(c-a)&(a-c)(b-c)\end{pmatrix},\quad cI_3-A=\begin{pmatrix}c-a&0&0\\-d&c-b&0\\-e&-f&0\end{pmatrix}.$$ $$\begin{aligned}t_{31}&=[df+e(c-b)](c-a)-df(c-a)-e(a-c)(b-c)=0,\\t_{32}&=f(c-a)(c-b)-f(a-c)(b-c)=0,\\t_{33}&=0.\end{aligned}$$

第一次相乘後只有最後一行可能非零。第二次相乘時，利用 (a−c)(b−c)=(c−a)(c−b)，所列最後一行的元素均抵消；其餘兩行本來為零，故全矩陣為零。不需要假設 a,b,c 兩兩不同。

第 17 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$\text{(a)}\quad [x\ y\ 1]\begin{pmatrix}a&h&g\\h&b&f\\g&f&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}. \qquad \text{(b.i)}\ x^2+9xy+y^2+8x+5y+2=0;\quad \text{(ii)}\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1;\quad \text{(iii)}\ xy=25;\quad\text{(iv)}\ y^2=12x.$$

所有標量均為實數。(a) 計算乘積。(b) 由此將四個方程分別寫成矩陣表達式等於零的形式。

解答

$$\text{(a)}\quad x(ax+hy+g)+y(hx+by+f)+(gx+fy+c)=ax^2+by^2+c+2hxy+2gx+2fy.$$ $$z=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix},\qquad \text{(b)}\quad z^TM_i z=0\quad(i=1,2,3,4),$$ $$M_1=\begin{pmatrix}1&9/2&4\\9/2&1&5/2\\4&5/2&2\end{pmatrix},\quad M_2=\begin{pmatrix}1/9&0&0\\0&1/16&0\\0&0&-1\end{pmatrix},$$ $$M_3=\begin{pmatrix}0&1/2&0\\1/2&0&0\\0&0&-25\end{pmatrix},\quad M_4=\begin{pmatrix}0&0&-6\\0&1&0\\-6&0&0\end{pmatrix}.$$

對稱的非對角元素各貢獻兩次。(b) 先將全部項移到左邊，再用 (a) 的公式匹配各係數；代入四個矩陣分別得到原來的四個方程。

第 19 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$\text{(a)}\quad A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}. \qquad\text{(b)}\quad A\in M_{m\times n}(\mathbb R),\ a_{ij}=1,\quad B\in M_{n\times n}(\mathbb R),\ b_{ij}=1+((i+j-2)\bmod n).$$

m,n 為正整數。(a) 求 AB。(b) B 的第一行為 1,2,…,n，以後每行循環左移一格。證明 AB=αA，並明確求出 α。

解答

$$\text{(a)}\quad AB=\begin{pmatrix}6&6&6\\6&6&6\end{pmatrix}.$$ $$\text{(b)}\quad (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n1\cdot b_{kj}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2,\quad \alpha=\frac{n(n+1)}2,\quad AB=\alpha A.$$

循環矩陣的每一列恰好包含一次 1 到 n。將此和與反序排列的同一個和相加，得到兩倍和為 n(n+1)。A 每個元素均為 1，所以常數元素矩陣就是 αA；(a) 對應 n=3。

第 20 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&0\end{pmatrix}.$$

判斷並證明真偽：(a) (A+B)²=A²+2AB+B²；(b) (A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³。

解答

$$A^2=A^3=A,\quad B^2=-B,\quad B^3=B,\quad AB=O,\quad BA=\begin{pmatrix}0&-2\\0&0\end{pmatrix},\quad A+B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$ $$\text{(a)}\quad (A+B)^2=I_2\ne \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=A-B=A^2+2AB+B^2.$$ $$\text{(b)}\quad (A+B)^3=A+B=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3.$$

先直接相乘得到所列 2×2 恆等式。(a) 兩邊右上角元素不同，故為假。(b) 中 A²B=AB=0 且 AB²=−AB=0；對角矩陣 A+B 的三次冪仍為自身，所以兩邊均為 A+B，結論為真。這裏沒有使用一般矩陣的交換二項式公式。

第 27 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A\in M_{m\times n}(\mathbb R),\quad B\in M_{n\times p}(\mathbb R),\quad 1\le k,\ell\le m,\quad a_{kr}=a_{\ell r}\ (1\le r\le n).$$

證明 AB 的第 k、ℓ 行相同。提示：可用適當的行或列分塊來組織乘法。

解答

$$(AB)_{kj}=\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{rj}=\sum_{r=1}^n a_{\ell r}b_{rj}=(AB)_{\ell j}\qquad(1\le j\le p).$$

由假設，兩行在每個內部座標 r 上相同，所以它們與 B 的任意固定第 j 列相乘時，各加項相同。因每個輸出列位置均相同，兩條輸出行相等。

第 28 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A\in M_{m\times n}(\mathbb R),\quad B\in M_{n\times p}(\mathbb R),\quad C\in M_{m\times p}(\mathbb R),\quad x=\sum_{j=1}^p B_{:j},\quad y=\sum_{j=1}^p C_{:j}.$$

m,n,p 為正整數。(a) 證明 AB=C 蘊含 Ax=y。提示：用矩陣乘法聯繫 B 與 x、C 與 y。(b) 判斷 Ax=y 是否蘊含 AB=C，並給出證明或反例。

解答

$$\text{(a)}\quad \mathbf1_p=\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix},\quad x=B\mathbf1_p,\quad y=C\mathbf1_p,\quad Ax=A(B\mathbf1_p)=(AB)\mathbf1_p=C\mathbf1_p=y.$$ $$\text{(b)}\quad m=n=1,\ p=2,\quad A=(1),\quad B=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}.$$ $$x=(0),\quad y=(0),\quad Ax=y,\qquad AB=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}\ne C.$$

全一列向量將矩陣各列相加，故 (a) 的兩個表示成立，再由結合律得結論。反例的尺寸滿足全部假設；列之和相等不能確定各列，而所列不相等的乘積明確否定了 (b)。

第 31 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix}a^\prime&b^\prime\\c^\prime&d^\prime\end{pmatrix},\quad R=\begin{pmatrix}aa^\prime&bb^\prime\\cc^\prime&dd^\prime\end{pmatrix},\quad PQ=R.$$

八個參數均為實數。(a) 證明 bc′=0、ab′+bd′=bb′、ca′+dc′=cc′、cb′=0。備註：通常的矩陣乘法一般不同於對應元素直接相乘。(b) 若另有 P=Q，證明 b=c=0，或 b=0 且 a+d=c，或 c=0 且 a+d=b。

解答

$$\text{(a)}\quad PQ=\begin{pmatrix}aa^\prime+bc^\prime&ab^\prime+bd^\prime\\ca^\prime+dc^\prime&cb^\prime+dd^\prime\end{pmatrix}=R.$$ $$bc^\prime=0,\quad ab^\prime+bd^\prime=bb^\prime,\quad ca^\prime+dc^\prime=cc^\prime,\quad cb^\prime=0.$$ $$\text{(b)}\quad bc=0,\quad b(a+d)=b^2,\quad c(a+d)=c^2.$$ $$b=c=0\quad\text{或}\quad [b=0\ \text{且}\ a+d=c]\quad\text{或}\quad[c=0\ \text{且}\ a+d=b].$$

(a) 比較四個元素，對角等式分別減去 aa′、dd′ 即得結論。(b) 代入 a′=a、b′=b、c′=c、d′=d。實數滿足 bc=0，故分為 b=c=0、b=0 而 c≠0、c=0 而 b≠0 三種窮盡情形。第二種將 c(a+d)=c² 除以非零 c，第三種將 b(a+d)=b² 除以非零 b，恰好得到所需析取。