3.2 矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組

矩陣乘法是第一個真正把「行」與「列」結合起來的矩陣運算。它也是矩陣之所 以能表達複合、線性方程組與逆矩陣的核心原因。所以這條規則不能只靠死記； 讀者需要理解每一步的大小條件所表達的結構。

動機

矩陣加法與數乘都是逐項進行。矩陣乘法則不同：輸出中的一個元素，是由左邊 矩陣的一整行與右邊矩陣的一整列共同決定。

這個大小條件也有結構上的原因。一個 $n \times p$ 矩陣把具有 $p$ 個元素的 向量送到具有 $n$ 個元素的向量，而一個 $m \times n$ 矩陣恰好可以接收這個 結果，再把它送到具有 $m$ 個元素的向量。因此先做 $B$、再做 $A$ 的複合作用 大小為 $m \times p$，正好就是 $AB$ 的大小。相同的內側維數表示兩個作用能夠 銜接，外側維數則記錄複合作用的輸入與輸出。

定義

矩陣乘積何時有定義

若 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，$B$ 是 $n \times p$ 矩陣，則乘積 $AB$ 有定義，且結果是 $m \times p$ 矩陣。

若 $A$ 的列數不等於 $B$ 的行數，則 $AB$ 未定義。

內側大小必須配對；外側大小則給出結果矩陣的大小。

行乘列規則

定義

矩陣乘法

設 $A = [a_{ij}]$ 是 $m \times n$ 矩陣，$B = [b_{jk}]$ 是 $n \times p$ 矩陣。

則 $AB$ 的 $(i,k)$ 元素為

$$(AB)_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{in}b_{nk}.$$

也就是說，輸出中的一個元素，是 $A$ 的第 $i$ 行與 $B$ 的第 $k$ 列按位相 乘後再相加。

這個定義同時說明三件事：

• 矩陣乘法不是逐項相乘；
• 內側大小必須吻合；
• 一個輸出元素會用到整行與整列中所有對應位置。

例題

細算一個矩陣乘積

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

由於兩者都是 $2 \times 2$，所以 $AB$ 有定義。其元素為

$$(AB)_{11} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 14,$$$$(AB)_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2,$$$$(AB)_{21} = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 7,$$$$(AB)_{22} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

矩陣乘向量就是方程組語言

若 $x$ 是列向量，那麼 $Ax$ 只是矩陣乘法的特例，但它剛好把線性方程組的左 邊全部打包起來。

對

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

有

$$Ax = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 並不是純粹縮寫，而是把整個方程組寫成一個矩陣乘積。

逐行讀出 Ax 對應的方程

下面的圖解保留同一個符號化的 $2 \times 3$ 乘 $3 \times 1$ 乘積，同時把 $A$ 的每一行讀成 $Ax = b$ 裏的方程。它的角色是連接上面的公式和本頁稍後的可編輯乘法工具。

觀看行乘列乘法如何把 Ax = b 變成完整方程組：每一行讀出一條方程。

1. 先檢查大小

   2 x 3 矩陣可以乘 3 x 1 向量，因為 A 的每一行剛好有三個元素與 x 配對。

2. 讀第 1 行

   第一個輸出元素是 A 的第 1 行與 x 配對：a11*x1 + a12*x2 + a13*x3。

3. 設成 b1

   當 Ax = b，這個第一輸出元素就成為方程組的第一條方程。

4. 讀第 2 行

   第 2 行給出第二條方程：a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 = b2。

5. 疊成方程組

   Ax = b 就是把所有按行讀出的方程上下疊起，再用一條矩陣方程寫出。

6. 推廣到 AB

   若 B = [u v]，則 AB = [Au Av]。一般矩陣乘積就是多個 Ax 式乘積並排。

行乘列規則解釋了為何一條緊湊的 Ax = b 可以保存整個線性方程組。A 的每一行提供一條方程；完整乘積 AB 則對 B 的每一列重複同一想法。

單位矩陣是刻意「甚麼也不改變」的矩陣

定義

單位矩陣

對每個正整數 $n$，$I_n$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣：主對角線上全是 $1$， 其餘位置全是 $0$。

例如

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

單位矩陣之所以重要，是因為它對任何大小相容的矩陣都不起改變作用：

$$AI_n = A, \qquad I_m A = A.$$

例題

為甚麼乘上單位矩陣不會改變矩陣

若

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},$$

則

$$AI_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}.$$

因為 $I_2$ 的第一列會抽出 $A$ 的第一列，第二列會抽出 $A$ 的第二列。

這正是往後定義逆矩陣的原因：若 $A^{-1}$ 存在，就要求 $AA^{-1} = I$。

看行乘列規則與單位矩陣的作用

下面的圖解分別展示本節最重要的兩個機制：$AB$ 的一個元素由一行與一列計算出來，而乘上單位矩陣會保留相容的行或列。比較這些情況後，再用下面的互動工具自己選擇不同輸出位置。

觀看一個矩陣乘積元素如何由行列求和形成，再看單位矩陣為何會保留原本的行與列。

1. 大小入口

   2 x 3 矩陣可以乘 3 x 2 矩陣，因為內側大小吻合。外側大小決定 AB 是 2 x 2 矩陣。

2. 一個元素

   左上角輸出元素使用 A 的第 1 行與 B 的第 1 列：c11 = 1*4 + 2*5 + (-1)*6 = 8。

3. 整個乘積

   對每個輸出格重複行乘列規則。乘積不是把對應位置逐格相乘而成。

4. 右邊單位矩陣

   在 A I_n = A 中，I_n 的列會選出 A 的各列，所以右乘單位矩陣保持 A 不變。

5. 左邊單位矩陣

   在 I_m A = A 中，I_m 的行會選出 A 的各行，所以左乘單位矩陣也保持 A 不變。

6. 次序提醒

   單位矩陣是特殊情況。一般而言，AB 與 BA 回答的是不同的行列問題，不必相等。

矩陣乘積由相容的內側大小決定是否有定義。每個輸出元素都是行列求和，而單位矩陣會保持相容矩陣不變，因為它的行和列會選回原本的行與列。

乘法一般不交換

線性代數最早令學生不習慣的地方之一，就是

$$AB \ne BA$$

一般而言就是如此。

有時兩個乘積都定義，但結果不同；有時其中一個有定義，另一個根本未定義。 所以次序同時影響「能不能做」與「做出來是甚麼」。

反例模式

大小相容並不保證交換

「任意兩個同樣大小的方陣都滿足 $AB=BA$」是錯誤命題，即使兩種次序的乘積都有定義且大小相同。取

$$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

兩者都是 $2\times2$ 實矩陣，滿足所提命題的假設。直接按行乘列計算，得到

$$AB=\begin{bmatrix}0&2\\0&4\end{bmatrix},\qquad BA=\begin{bmatrix}0&0\\3&4\end{bmatrix}.$$

例如，$(AB)_{12}=1\cdot0+2\cdot1=2$，但 $(BA)_{12}=0\cdot2+0\cdot4=0$。只要一對對應元素不同，就足以證明 $AB\ne BA$。失敗的結構原因是：右乘這個 $B$ 會保留第二列、把第一列歸零；左乘它則保留第二行、把第一行歸零。

一個正確的修訂是：方陣與同樣大小的單位矩陣的任意純量倍都可交換。事實上，若 $B=cI$，則 $AB=A(cI)=cA=(cI)A=BA$。對於任意方陣，交換性需要另行論證；大小相容只保證乘法有定義，並不保證因子可以調換。

下面的圖可以幫你直接看到：一個輸出元素，是如何由一行與一列構成的。

用列的觀點讀取乘積

除了逐項計算之外，矩陣乘法還有另一種非常重要的讀法。

若把 $B$ 的列寫成

$$B = [b_1\ b_2\ \cdots\ b_p],$$

則有

$$AB = [Ab_1\ Ab_2\ \cdots\ Ab_p].$$

換言之，乘積的每一列，都可以理解為 $A$ 乘上 $B$ 的對應列向量。

例題

逐列讀取同一個乘積

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.$$

把 $B$ 的兩列記為

$$b_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}, \qquad b_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

那麼

$$Ab_1 = \begin{bmatrix} 14 \\ 7 \end{bmatrix}, \qquad Ab_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.$$

這與逐項使用行乘列規則所得的答案相同。列的觀點強調的是：一個矩陣乘積把 多個矩陣乘向量的運算並列地組合在一起。

矩陣乘法其實表示複合

矩陣乘法不是任意規定的公式，而是用來表達線性映射複合的規則。

若向量 $x$ 先被送到 $Bx$，再將結果送到 $A(Bx)$，則整體作用就是

$$(AB)x.$$

所以內側大小一定要吻合，因為第一個變換的輸出，必須是第二個變換可以接收 的輸入。

定理

結合律對應重複複合

只要相關乘積有定義，就有

$$A(BC) = (AB)C.$$

所以一串矩陣乘積可以改變分組方式，而不改變最後的線性變換。

這並不表示可以改變因子的次序。結合律只允許改變括號，而不允許重新排列因子。

例題

可以改變括號，但不能改變次序

設 $A$ 是 $2 \times 3$ 矩陣，$B$ 是 $3 \times 4$ 矩陣，$C$ 是 $4 \times 2$ 矩陣。

此時 $AB$ 與 $BC$ 都有定義，所以 $(AB)C$ 與 $A(BC)$ 都有意義；結合律說明 它們相等。更具體地說，$AB$ 的大小是 $2 \times 4$，所以 $(AB)C$ 的大小是 $2 \times 2$；$BC$ 的大小是 $3 \times 2$，所以 $A(BC)$ 也是 $2 \times 2$。

但是 $BA$ 根本沒有定義，因為它的兩個內側維數 $4$ 與 $2$ 不相等。因此矩陣 乘法具有結合律，卻一般不具有交換律。

標準基向量解釋列的觀點為何自然

在 $\mathbb{R}^n$ 中，$e_k$ 是第 $k$ 個位置等於 $1$、其餘位置都為 $0$ 的向量。 若 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，則 $Ae_k$ 恰好是 $A$ 的第 $k$ 列。

因此單位矩陣並不神秘。$I_n$ 的各列就是 $e_1, e_2, \ldots, e_n$，所以 右乘 $I_n$，其實就是逐列把 $A$ 本身完整地重建出來。

同樣的基本檢驗亦適用於零矩陣。若右邊矩陣的每一列都是零向量，則乘積 的每一列都會變成零向量，所以任何大小相容的 $A0$ 都一定是零矩陣。

定理

矩陣由它對向量的作用唯一確定

設 $A$ 與 $B$ 都是 $m \times n$ 矩陣。若

$$Ax=Bx \qquad \text{對每個 } x\in\mathbb{R}^n,$$

則 $A=B$。

證明

利用標準基證明

對每個 $k=1,\ldots,n$，把標準基向量 $e_k$ 代入假設，得到 $Ae_k=Be_k$。 其中 $Ae_k$ 是 $A$ 的第 $k$ 列，而 $Be_k$ 是 $B$ 的第 $k$ 列。因此兩個 矩陣的第 $k$ 列對每個 $k$ 都相同。它們的所有列、因而所有元素都相同，故 $A=B$。

「對每個 $x$」是不可缺少的條件。兩個不同矩陣可以在某一個向量上作用相同； 例如，兩者都會把零向量送到零向量。上面的證明還給出更強的檢驗方法：無須 逐一檢查所有向量，只要檢查 $n$ 個標準基向量，就能逐列確定整個矩陣。

最先要記住的代數法則

當乘法有定義之後，下一個問題是：它與已熟悉的其他矩陣運算如何配合。

只要大小相容，矩陣乘法滿足

$$A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)C = AC + BC,$$

而純量亦可以搬進搬出：

$$(cA)B = c(AB) = A(cB).$$

零矩陣提供最直接的基本檢驗。若 $0$ 是大小相容的零矩陣，便有

$$A0 = 0, \qquad 0A = 0.$$

原因是：行乘列時只要其中一邊全部是零，所有輸出元素都只能是零。

這幾條法則雖然基本，但往後討論逆矩陣、分塊矩陣計算和更長的乘積推理時， 都會默認使用。如果不把它們明確掌握，後面的長計算便很難核對。

未知元素與因子的次序

含有未知元素的乘積把三個要點連在一起：相容的大小、決定每個輸出元素的 行與欄，以及因子的次序。先用這些結構資訊建立關係，再求解所得的純量方程。

例題

由部分已知乘積反推出未知數

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \\ b & a \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$$

假設

$$AB = \begin{bmatrix} 1 & c \\ 3 & d \end{bmatrix}.$$

乘積有定義，因為 $A$ 是 $2 \times 4$，$B$ 是 $4 \times 2$，所以 $AB$ 必定是 $2 \times 2$。只計算需要比較的元素，可得

$$AB = \begin{bmatrix} a+b+5 & a+b+8 \\ a+2b+1 & 2a+b+2 \end{bmatrix}.$$

把第一列與已知矩陣比較，得到

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

因此

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

第二條減第一條得到 $b=6$，再代入得到 $a=-10$。餘下元素是

$$c=a+b+8=4, \qquad d=2a+b+2=-12.$$

這類題目的重點，不是把所有元素都盲目乘出來，而是抽出已知乘積元素所強制 的少數方程。

例題

展開乘積時不要假設矩陣可交換

令 $A$ 與 $B$ 是相同大小的方陣。則

$$(5A-B)(2A+3B) = 5A(2A+3B)-B(2A+3B).$$

繼續分配右邊因子：

$$5A(2A+3B)-B(2A+3B) =10A^2+15AB-2BA-3B^2.$$

中間兩項是 $15AB$ 與 $-2BA$。除非已知 $AB=BA$，否則不能把它們合併成 $13AB$。

同一個警告亦解釋了常見錯誤：

$$(A+B)(A-B) =A^2-AB+BA-B^2.$$

只有在額外知道 $AB=BA$ 時，這才等於 $A^2-B^2$。實數代數會遮住這個問題， 因為實數乘法可交換；矩陣代數不會。

例題

零乘積不代表其中一個因子必定為零

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

兩個矩陣都不是零矩陣，但

$$AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}.$$

所以矩陣乘法與實數乘法不同：$AB = 0$ 並不推出 $A = 0$ 或 $B = 0$。

定理

單位矩陣是唯一的

如果 $E$ 是一個 $n \times n$ 矩陣，而且對每個相容的 $n \times n$ 矩陣 $A$ 都滿足

$$EA = A \qquad \text{and} \qquad AE = A,$$

那麼必有 $E = I_n$。

證明

為何不可能存在第二個單位矩陣

取 $A = I_n$。由 $E$ 的性質得到 $EI_n = I_n$。但任何矩陣右乘 $I_n$ 都保 持不變，所以 $EI_n = E$。因此 $E = I_n$。

常見錯誤

常見錯誤

矩陣乘法不是逐項相乘

$(AB)_{ik}$ 不是 $a_{ik}b_{ik}$。它來自 $A$ 的第 $i$ 行與 $B$ 的第 $k$ 列。

常見錯誤

一個方向可乘，不代表反方向也可乘

若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 4$，則 $AB$ 有定義，但 $BA$ 沒有。不要自動把順序反過來。

常見錯誤

列觀點是看右邊因子的列

如果 $B=[b_1\ b_2]$，則 $AB=[Ab_1\ Ab_2]$。乘積的各列是 $A$ 的列的線性 組合，而權重來自 $B$ 的對應列。不要寫成 $AB=[a_1b_1\ a_2b_2]$；這並不 符合矩陣乘法的定義。

常見錯誤

二項式公式需要可交換假設

公式 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ 對矩陣不是自動成立。真正展開是

$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.$$

只有在 $AB=BA$ 時，才可以把中間兩項合併。

總結

若 $A$ 的大小為 $m \times n$、$B$ 的大小為 $n \times p$，則 $AB$ 的大小 為 $m \times p$；內側維數不相等時，乘積沒有定義。每個元素由 $A$ 的一行 與 $B$ 的一列計算，而列公式 $AB=[Ab_1\ \cdots\ Ab_p]$ 則把同一運算理解為 多個矩陣乘向量的運算。因此，$Ax=b$ 正好能把一個線性方程組寫成一個對象。

單位矩陣不會改變大小相容的矩陣。矩陣乘法滿足結合律與分配律，但結合律只允許 改變括號，並不允許調換因子；一般而言，$AB\ne BA$。最後，等式 $Ae_k=\operatorname{col}_k(A)$ 表明矩陣對標準基的作用會逐列確定這個矩陣。 所以若對每個 $x\in\mathbb{R}^n$ 都有 $Ax=Bx$，則必有 $A=B$。

快速檢查

思考檢查

若 $A$ 是 $2 \times 3$、$B$ 是 $3 \times 5$，那麼 $AB$ 的大小是甚麼？

先檢查內側大小，再讀外側大小。

解答 · 答案

$AB$ 有定義，而且大小是 $2 \times 5$。

思考檢查

把一個大小相容的矩陣乘上 $I_n$，會發生甚麼？

用一句話回答。

解答 · 答案

矩陣保持不變。

思考檢查

如果 $B$ 的列向量是 $b_1$ 和 $b_2$，應如何讀取 $AB$ 的各列？

用列觀點回答。

解答 · 答案

$AB$ 的各列分別是 $Ab_1$ 和 $Ab_2$。

思考檢查

展開 $(5A-B)(2A+3B)$ 時，$BA$ 的係數是多少？

請把 $AB$ 與 $BA$ 當作不同項處理。

解答 · 答案

$BA$ 的係數是 $-2$，因為該項來自 $-B(2A)$。

練習

思考檢查

為甚麼 $Ax = b$ 可以同時代表多條方程？

請在答案中使用「行」這個字。

解答 · 答案

因為 $A$ 的每一行與列向量 $x$ 配對後，都會產生一條方程，所以 $Ax$ 會把整個方程組一同打包。

思考檢查

為甚麼 $Ax = 0$ 不論 $A$ 是甚麼，都至少有一個解？

把 $x$ 看成列向量來回答。

解答 · 引導解答

取零向量 $x = 0$。由於 $A0$ 的每個元素都是把 $0$ 的元素做線性組合，所 以全部都是 $0$。因此 $A0 = 0$，齊次系統永遠至少有平凡解。

思考檢查

為何有時 $AB$ 有定義，但 $BA$ 卻沒有定義？

請用內側大小條件作答。

解答 · 引導解答

$AB$ 有定義，要求 $A$ 的列數等於 $B$ 的行數；而 $BA$ 有定義，要求 $B$ 的列數等於 $A$ 的行數。這兩個條件不同，所以一個方向可以做，反方向 未必可以做。

思考檢查

令 $A$、$B$ 為上面含未知數例題中的矩陣。若 $AB$ 的第一列是 $[1,3]^T$，求 $a$ 和 $b$。

只使用第一列給出的方程。

解答 · 引導解答

$AB$ 的第一列給出

$$a+b+5=1, \qquad a+2b+1=3.$$

所以

$$a+b=-4, \qquad a+2b=2.$$

相減得 $b=6$，再代入 $a+b=-4$ 得 $a=-10$。

思考檢查

若 $A$ 的第一行是 $(4, -1, 2)$，而 $x = (x_1, x_2, x_3)^T$，那麼 $Ax$ 的第一個元素是甚麼？

請直接用行乘列規則寫出。

解答 · 引導解答

第一個元素是 $4x_1 - x_2 + 2x_3$。

相關筆記

本節建立在 2.1 矩陣基礎 之上。 下一節可讀 3.3 轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣， 或直接跳到 5.1 可逆矩陣。