MATH1030
線性代數 I
由方程組與行化簡開始，逐步把矩陣計算連結到生成空間、線性無關、基與維數，再用行列式、特徵向量和內積理解計算背後的代數與幾何結構。
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下一節: 1.1 方程與解集
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MATH1030 筆記裏的內容
- 定理卡
- 140
- 定義
- 68
- 反例
- 13
- 概念視角
- 12
- 思想史
- 3
- 證明透視
- 5
數字只算這門課 35 節公開筆記裏寫了甚麼，不是網上已記錄的關係。目前其中 3 節已細緻地記錄到網上。
在網上定理卡 140 · 定義 68 · 反例 13 · 概念視角 12 · 思想史 3 · 證明透視 5
第 1 章 · 2 節
方程組
學習把方程讀成完整的解集。
第 2 章 · 5 節
矩陣與消元
建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。
- 2.1
矩陣基礎
在做行化簡前先建立矩陣直覺：大小、元素、行、列，以及運算意義。
- 2.2
增廣矩陣與行變換
把方程組翻譯成增廣矩陣，並理解每種行變換保留了甚麼。
- 2.3
高斯消元與最簡行階梯形
把高斯消元看成一連串有目的的操作，而不只是死記步驟。
- 2.4
解集的種類
透過最簡形式判斷方程組有唯一解、無限多解，還是無解。
- 2.5
行階梯形的存在性
閱讀可選的歸納證明：每個矩陣都與某個 REF 行等價，並可再到達 RREF。
第 3 章 · 6 節
矩陣代數
矩陣算術、乘法、轉置、特殊與初等矩陣，以及分塊結構。
- 3.1
矩陣加法、減法與純量乘法
學會哪些矩陣運算是逐格進行、為何大小必須配合，以及零矩陣如何充當加法單位元。
- 3.2
矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組
理解何時可以做矩陣乘法、行乘欄規則怎樣運作，以及單位矩陣為何在解線性方程組時重要。
- 3.3
轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣
用轉置、對稱性、反對稱性與交換乘積去讀懂矩陣結構，而不是把公式當成零散技巧。
- 3.4
特殊矩陣
認識對角矩陣、三角矩陣、單位矩陣與初等矩陣，並理解它們的特殊形狀為何能令後面的論證更短。
- 3.5
初等行變換矩陣
把初等行變換表示成左乘初等矩陣，再用反向行變換理解可逆性。
- 3.6
分塊矩陣
把大型矩陣分成較小部分，令加法與乘法可以逐塊進行，同時保持原來的數學意思。
第 4 章 · 2 節
解的結構
齊次方程組、零空間與完整解集的結構。
第 5 章 · 2 節
可逆性
理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。
- 5.1
可逆矩陣
把逆矩陣、行化簡與非奇異矩陣的實際意義連接起來。
- 5.2
RREF 唯一性與秩的良定性
證明最簡行階梯形的唯一性，並用它說明秩不依賴所選行化簡路徑。
第 6 章 · 8 節
向量空間
由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。
- 6.1
向量空間
由熟悉例子開始，理解向量空間公理到底想保護甚麼結構。
- 6.2
子空間
用子空間測試把真正的線性結構，和那些缺少封閉性或零向量的集合分開。
- 6.3
線性組合與張成
把線性組合看成有控制的搭建指令，再把張成理解成所有能這樣搭出來的向量。
- 6.4
線性相依與線性無關
把相依看成冗餘，把無關看成每個係數都真正有作用的情況。
- 6.5
基底與維數
看清基底為何是空間最小而完整的座標系統，以及維數為何是在數真正需要多少個方向。
- 6.6
列空間、行空間與秩
把行化簡與基底觀念結合起來，讀懂欄空間、行空間與秩，並分清楚行變換到底保留甚麼。
- 6.7
矩陣子空間、基底與維數
把張成、基底與維數由欄向量子空間推廣到矩陣子空間，例如全矩陣空間、上三角矩陣與反對稱矩陣。
- 6.8
基底延伸與基變換
用基底存在性、替換定理與基變換矩陣，嚴謹比較不同坐標系統。
第 7 章 · 3 節
行列式
行列式、餘因子公式，以及把行變換、轉置與可逆性連起來的結構化代數。
- 7.1
行列式與餘因子展開
先用子式與餘因子仔細定義行列式，再理解餘因子展開如何把一個純量變成方陣結構的精確摘要。
- 7.2
行運算、乘積與可逆性
精確追蹤行運算如何改變行列式，再把這種行為連到乘積公式、逆矩陣與可逆性測試。
- 7.3
轉置、列運算與克萊瑪法則
用轉置與列運算從第二個角度去讀行列式，再以伴隨矩陣、逆矩陣公式與克萊瑪法則收束整章。
第 8 章 · 3 節
特徵值與對角化
特徵值、特徵空間、相似與對角化，作為行列式之後的下一層結構。
- 8.1
特徵值、特徵向量與特徵空間
由方程 Av=λv 定義特徵值與特徵向量，再把同一個概念改寫成零空間與行列式問題，令整個結構變得可計算。
- 8.2
對角化與相似
把對角化理解成由特徵向量組成的基變換，再用相似關係說明何時矩陣可以在不改變核心特徵值資料的情況下被簡化。
- 8.3
特徵多項式與對角化測試
用特徵多項式、代數與幾何重數，以及「互異特徵值」測試去判斷何時特徵值資料已足夠推出可對角化。
第 9 章 · 4 節
內積與正交性
內積、正交性、標準正交基與 Gram-Schmidt，作為特徵值之後的幾何層次。
- 9.1
內積、範數與夾角
定義 R^m 上的標準內積與範數，再把這些公式連到長度、夾角與最基本的不等式結構。
- 9.2
正交集與標準正交基
利用正交性建立正交基與標準正交基，然後在不每次重解線性系統的情況下直接讀出坐標係數。
- 9.3
Gram-Schmidt 正交化
把 Gram-Schmidt 過程用來把一組基底轉成正交基或標準正交基，同時保持張成空間不變。
- 9.4
Cauchy-Schwarz 與三角不等式
把 Cauchy-Schwarz 與三角不等式當作內積空間中控制長度、夾角與等號條件的兩條核心估計。