3.1 矩陣加法、減法與純量乘法

為甚麼要匹配對應位置

矩陣把數量放在指定的行欄位置。例如，各行可以代表產品，各欄可以代表月份。只有當兩個表格的相同位置描述同一類資料時，把它們相加才有意義。以代數語言來說，這要求兩個矩陣大小完全相同，而且所有元素都來自同一個純量域。

條件確定後，三種運算都是逐格進行的：

• 加法結合對應位置的元素；
• 減法逐格量度一個矩陣相對於另一個矩陣的變化；
• 純量乘法用同一個比例因子縮放每個元素。

概念視角結構

一次觀察一個位置

逐項運算在位置 $(i,j)$ 的輸出，只使用輸入矩陣在同一位置的元素。這同時解釋了為甚麼要求大小相同，以及為甚麼輸出保持原來的大小：每個輸出位置都在各輸入中有對應位置。因此，證明可以先固定一個任意位置，再在那裏使用通常的純量代數。

矩陣乘法使用不同規則：一個輸出元素由一個矩陣的整行與另一個矩陣的整欄共同構成。兩個 $2\times3$ 矩陣可以相加，它們的矩陣乘積卻沒有定義。檢查大小時必須跟隨具體運算；兩個矩陣適合相加，並不自動說明它們適合相乘。

定義逐項運算

定義 3.1.1

（矩陣相等）

設 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$。等式 $A=B$ 同時表示兩件事：$A$ 與 $B$ 大小相同，並且對每個容許的行指標 $i$ 與欄指標 $j$，都有

$$a_{ij}=b_{ij}.$$

只核對少數幾個元素並不足夠；矩陣相等是涵蓋整個矩陣的逐項陳述。

固定正整數 $m,n$ 與一個純量域 $\mathbb F$，本課程通常取 $\mathbb R$。記號 $\mathbb F^{m\times n}$ 表示所有元素都屬於 $\mathbb F$ 的 $m\times n$ 矩陣所組成的集合。要求矩陣與純量處於同一個域，可以避免在沒有說明的情況下混用不同數系。若要把實矩陣放入更大的數系，必須先明確選定共同底域。

定義 3.1.2

（矩陣加法、減法與純量乘法）

設 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$ 均屬於 $\mathbb F^{m\times n}$，並設 $c\in\mathbb F$。

• 和 $A+B$ 是由 $[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ 定義的 $m\times n$ 矩陣。
• 純量倍 $cA$ 是由 $[cA]_{ij}=ca_{ij}$ 定義的 $m\times n$ 矩陣。
• $A$ 的加法逆元是 $-A=(-1)A$，而減法定義為 $A-B=A+(-B)$。

若兩個矩陣大小不同，加法與減法便沒有定義；純量乘法則必定保留原矩陣的大小。

定義 3.1.3

（零矩陣）

$\mathbb F^{m\times n}$ 中的零矩陣在此記作 $O$，它是每個元素都等於零的 $m\times n$ 矩陣。大小是零矩陣身份的一部分：$2\times 3$ 零矩陣與 $3\times 2$ 零矩陣並非同一個對象。

若 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$，逐格規則可以簡寫為

$$[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\qquad [A-B]_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\qquad [cA]_{ij}=ca_{ij}.$$

這三條公式亦提供了一種可靠的相等性證明方法：先確認兩個矩陣表達式大小相同，再比較任意 $(i,j)$ 位置的元素。

線性組合與封閉性

這三種運算經常一同出現。若 $A,B$ 屬於 $\mathbb F^{m\times n}$，$r,s$ 屬於 $\mathbb F$，則

$$rA+sB$$

稱為 $A$ 與 $B$ 的一個線性組合。它的 $(i,j)$ 元素是 $ra_{ij}+sb_{ij}$，大小仍為 $m\times n$。所得結果仍屬於 $\mathbb F^{m\times n}$，這種性質稱為封閉性。封閉性不只是一個術語，它保證我們用容許的對象計算後，不會突然離開正在研究的集合。

很多常見表達式都是線性組合的特例。差 $A-B$ 使用係數 $1$ 與 $-1$；在 $\mathbb R$ 上，平均值 $(1/2)A+(1/2)B$ 使用兩個和為一的係數；零矩陣則可以寫成 $0A$。係數可以為正、為負或為零。因此，「縮放」不一定把元素的絕對值放大：負係數亦會改變正負號，零係數則把所有元素變成零。

整個表達式仍受同型條件約束。若 $A$ 是 $2\times 3$ 矩陣而 $B$ 是 $3\times 2$ 矩陣，那麼即使 $rA$ 與 $sB$ 各自有定義，$rA+sB$ 仍然沒有定義。純量乘法不能修補維數不配合的問題。此外，純量與矩陣元素都必須在選定的共同底域中理解，使每一次純量乘法與加法都有一致意義。

固定大小下的代數法則

定理 3.1.4

（矩陣加法規律）

設 $A,B,C\in\mathbb F^{m\times n}$，則

$$A+B=B+A,$$$$(A+B)+C=A+(B+C),$$$$A+O=O+A=A,$$

以及

$$A+(-A)=(-A)+A=O.$$

因此，同一域上固定大小的矩陣在加法下封閉，並且具有交換性、結合性、唯一的零矩陣，以及每個矩陣唯一的加法逆元。

定理 3.1.5

（純量乘法規律）

設 $A,B\in\mathbb F^{m\times n}$，$r,s\in\mathbb F$，則

$$r(A+B)=rA+rB,\qquad (r+s)A=rA+sA,$$$$(rs)A=r(sA),\qquad 1A=A.$$

由此亦可推出

$$0A=O,\qquad rO=O,\qquad (-1)A=-A.$$

兩條分配律並不相同：第一條把一個純量分配到矩陣之和，第二條把純量之和分配到同一個矩陣。

逐項證明這些法則

上述規律都源自相應的純量規律，但矩陣證明必須明確落實到元素。首先留意每條等式兩邊都是 $m\times n$ 矩陣，再固定任意位置 $(i,j)$。

以加法結合律為例，

$$[(A+B)+C]_{ij} =(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij} =a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}) =[A+(B+C)]_{ij}.$$

中間一步使用 $\mathbb F$ 中純量加法的結合律。因為每個位置都相等，矩陣相等的定義便給出 $(A+B)+C=A+(B+C)$。

對於純量對矩陣和的分配律，

$$[r(A+B)]_{ij} =r(a_{ij}+b_{ij}) =ra_{ij}+rb_{ij} =[rA+rB]_{ij}.$$

同理，

$$[(r+s)A]_{ij}=(r+s)a_{ij} =ra_{ij}+sa_{ij}=[rA+sA]_{ij},$$

並且

$$[(rs)A]_{ij}=(rs)a_{ij} =r(sa_{ij})=[r(sA)]_{ij}.$$

交換律、零元素規律、逆元規律及 $1A=A$，都可以在任意元素上套用相應的純量恆等式。這是一種可以反覆使用的證明方法：同型，再加上每個任意元素相等，便能推出矩陣相等。

推論與消去律

利用上述兩個定理，可以推導實用規律，不必把它們當成額外公式死記。由於 $A-B=A+(-B)$，分配律給出

$$r(A-B)=rA-rB.$$

其中 $r(-B)=(-r)B=-(rB)$，可以在任意元素上直接核對。不過，減法本身一般既不符合交換律，亦不符合結合律。通常 $A-B\ne B-A$，而 $(A-B)-C$ 亦未必等於 $A-(B-C)$。把每個減法改寫為加上逆元，便能清楚看出正確的括號和正負號。

矩陣加法還有消去律。若 $A,B,C$ 同屬 $\mathbb F^{m\times n}$ 且滿足 $A+B=A+C$，就在等式兩邊都加上 $-A$。結合律與零矩陣規律會把等式化為 $B=C$。對固定的 $A,D\in\mathbb F^{m\times n}$，以 $X\in\mathbb F^{m\times n}$ 為未知矩陣的方程 $A+X=D$ 因而有唯一解 $X=D-A$。所謂把一項「移到等式另一邊」，其實是對等式兩邊施行同一個容許的加法運算。

純量消去則需要額外條件。若 $rA=rB$ 且 $r\ne0$，兩邊乘以純量 $1/r$ 可得 $A=B$。若 $r=0$，無論 $A,B$ 是甚麼，等式兩邊都會成為 $O$，所以不能推出原矩陣相等。同理，只有在 $r$ 非零時，$rA=O$ 才能推出 $A=O$。明確寫出這個條件，可以避免常見的邏輯錯誤。

最後，在 $\mathbb R$ 上，矩陣方程其實是一組位於對應位置的純量方程。若 $X=[x_{ij}]$ 且 $2X+A=B$，每個元素都滿足 $2x_{ij}+a_{ij}=b_{ij}$。同時解這些純量方程便得到 $X=(1/2)(B-A)$。簡潔的矩陣移項與逐項求解並非兩種互相競爭的方法，而是同一段推理的兩種表述。

比較逐項運算

加法、減法與純量乘法改變元素，卻保留行欄位置和矩陣大小。

嘗試計算線性組合

下面的互動區可以在 $A+B$、$A-B$ 與 $cA$ 之間切換。讀取輸出之前，先預測一個指定元素及結果大小。無論選擇哪一種運算，輸出都會保留輸入矩陣的大小。

計算時檢查大小與符號

例題 3.1.6

（矩形矩陣的數值計算）

設

$$A=\begin{bmatrix}1&-2&3\\0&4&-1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}5&1&-3\\2&-4&6\end{bmatrix}.$$

兩者都是 $\mathbb R$ 上的 $2\times 3$ 矩陣，因此和與差都有定義。保持位置對齊可得

$$A+B =\begin{bmatrix} 1+5&-2+1&3+(-3)\\ 0+2&4+(-4)&-1+6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6&-1&0\\2&0&5\end{bmatrix},$$

以及

$$A-B =\begin{bmatrix} 1-5&-2-1&3-(-3)\\ 0-2&4-(-4)&-1-6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-4&-3&6\\-2&8&-7\end{bmatrix}.$$

最後，

$$-2A=\begin{bmatrix}-2&4&-6\\0&-8&2\end{bmatrix}.$$

三個結果仍然都是 $2\times 3$；純量 $-2$ 改變正負號與數值大小，並不改變維數。

例題 3.1.7

（逐項解矩陣方程）

設以下矩陣的元素都是實數，並有

$$3X-2A=B,$$

其中

$$A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix}.$$

矩陣加法容許與純量代數相同的移項：

$$3X=B+2A,\qquad X=\frac13(B+2A).$$

這裏要實際計算，而不要把分數誤稱為「矩陣除法」：

$$B+2A =\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}2&-4\\6&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6&3\\3&6\end{bmatrix},$$

所以

$$X=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}.$$

代入檢驗是解題的一部分：

$$3X-2A =\begin{bmatrix}6&3\\3&6\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}2&-4\\6&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix}=B.$$

例題 3.1.8

（用數值核驗分配律）

取

$$P=\begin{bmatrix}1&-2\\0&3\end{bmatrix},\qquad Q=\begin{bmatrix}4&1\\-5&2\end{bmatrix}.$$

等式 $-2(P+Q)=-2P+(-2)Q$ 的左邊為

$$-2(P+Q) =-2\begin{bmatrix}5&-1\\-5&5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-10&2\\10&-10\end{bmatrix}.$$

右邊為

$$-2P+(-2)Q =\begin{bmatrix}-2&4\\0&-6\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-8&-2\\10&-4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-10&2\\10&-10\end{bmatrix}.$$

一個例子不能證明定理，但它既檢查了算術，亦展示了一般逐項證明在具體數值中的表現。

為甚麼零矩陣重要

若 $O$ 是與 $A$ 同型的零矩陣，則 $A+O=A$。這很重要，因為由 $m\times n$ 矩陣組成的向量空間需要一個加法單位元。這個單位元取決於矩陣大小：在矩陣相等或加法中，$2\times 2$ 零矩陣不能代替 $3\times 3$ 零矩陣。

方程 $A+X=O$ 亦恰好只有一個解 $X=-A$。要說明唯一性，可以在等式兩邊加上 $-A$，再使用結合律。因此，零矩陣與加法逆元是結構中的必要對象，而不只是方便的記號。

常見錯誤

常見錯誤

（只看元素，不檢查維數）

$A+B$ 與 $A-B$ 要求行數相同且欄數相同。元素總數相同並不足夠；$2\times 3$ 矩陣不能與 $3\times 2$ 矩陣相加。

常見錯誤

（只把純量乘到部分元素）

在 $cA$ 中，純量要乘到每個元素，包括零與負數。例如 $-2(-3)=6$，漏掉這個正負號是常見的算術錯誤。

常見錯誤

（把純量當作矩陣加數）

按照本課程的定義，$A+5$ 沒有意義。除非另有明確規定，否則既不能把 $5$ 加到所有元素，也不能只加到對角元素。

常見錯誤

（把純量乘法說成矩陣除法）

由 $3X=C$ 得到 $X=(1/3)C$，用的是純量 $1/3$ 的乘法，並沒有假定矩陣之間可以相除。

需要掌握的運算法則

• 矩陣相等要求維數相同，而且每個對應元素都相等。
• 加減法要求矩陣同屬一個 $\mathbb F^{m\times n}$；純量乘法則保留這個空間及矩陣大小。
• 零矩陣與 $-A$ 分別提供加法單位元和加法逆元。
• 加法與純量乘法遵守熟悉的規律，是因為相應規律在純量域的每個任意 $(i,j)$ 元素上都成立。
• 可靠的計算次序是：先檢查維數，保持位置對齊，算完每個元素；若解矩陣方程，再把答案代入原式。

練習

快速檢查

（為甚麼矩陣加法只對同型矩陣有定義？）

請在答案中使用「對應位置」這個說法。

解答 · 答案

矩陣加法是逐格進行的，所以一個矩陣中的每個元素都必須在另一個矩陣中有對應位置；這就要求行數與欄數分別相同。

快速檢查

（若 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩陣，那麼 $-A$ 的大小是多少？）

請只留意矩陣形狀，不要只看元素變號。

解答 · 答案

$-A$ 仍然是 $3\times 4$ 矩陣，因為乘以 $-1$ 只改變每個元素，不會改變行數或欄數。

快速檢查

（設 $A$ 是 $2 \times 3$，$B$ 是 $3 \times 2$。$A + B$、$A - B$、$2A$ 哪些有定義？）

請逐一寫出，並說明所得矩陣大小。

解答 · 引導解答

$A+B$ 沒有定義，因為大小不同；$A-B$ 亦因同一理由沒有定義。$2A$ 有定義且大小為 $2\times 3$，因為純量乘法只需要一個矩陣和一個純量。

快速檢查

（計算 $2A-B$，其中 $A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}3&2&-2\\-1&5&1\end{bmatrix}$。）

先寫出 $2A$，再逐項相減。

解答 · 引導解答

兩者都是 $2\times 3$ 矩陣，所以表達式有定義。先算

$$2A=\begin{bmatrix}2&-2&4\\0&6&8\end{bmatrix},$$

再得

$$2A-B =\begin{bmatrix}2-3&-2-2&4-(-2)\\0-(-1)&6-5&8-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&-4&6\\1&1&7\end{bmatrix}.$$

快速檢查

（解 $X+2A=C$，其中 $A=\begin{bmatrix}2&-1\\0&3\end{bmatrix}$，$C=\begin{bmatrix}5&4\\-2&1\end{bmatrix}$。）

先孤立 $X$，完成計算後再核對原方程的一個元素。

解答 · 引導解答

兩邊減去 $2A$：

$$X=C-2A =\begin{bmatrix}5&4\\-2&1\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}4&-2\\0&6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&6\\-2&-5\end{bmatrix}.$$

例如 $(1,2)$ 元素滿足 $6+2(-1)=4$，與 $C$ 的 $(1,2)$ 元素一致；核對其餘三個元素便可得到完整等式。

快速檢查

（為甚麼零矩陣稱為加法單位元？）

請寫出表達其作用的方程，並說明大小條件。

解答 · 引導解答

對每個 $A\in\mathbb F^{m\times n}$，同一空間中的零矩陣 $O\in\mathbb F^{m\times n}$ 都滿足 $A+O=O+A=A$。兩者必須同型，相關加法才有定義。

相關筆記

若仍想較慢地重溫行、欄、元素與矩陣大小，可以先讀 2.1 矩陣基礎。

繼續閱讀 3.2 矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組，學習第一種不是逐格進行的矩陣運算。

補充練習與完整解答

第 1 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A,B,C,D,E\in M_{6\times6}(\mathbb R),\quad a_{ij}=1,\quad b_{ij}=i+j,\quad c_{ij}=\begin{cases}1&i+j\text{ 為偶數},\\0&i+j\text{ 為奇數},\end{cases}\quad d_{ij}=(-1)^{i-j},\quad e_{ij}=\begin{cases}-1&i>j,\\0&i=j,\\1&i<j.\end{cases}$$

依次寫出 (a) A、(b) B、(c) C、(d) D、(e) E 的全部元素。(f) 若可能，求滿足 pC=A+qD 的數 p,q。

解答

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix}2&3&4&5&6&7\\3&4&5&6&7&8\\4&5&6&7&8&9\\5&6&7&8&9&10\\6&7&8&9&10&11\\7&8&9&10&11&12\end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&1\end{pmatrix}$$ $$D=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1&-1\\-1&1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1\\-1&1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1\\-1&1&-1&1&-1&1\end{pmatrix}$$ $$E=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\-1&0&1&1&1&1\\-1&-1&0&1&1&1\\-1&-1&-1&0&1&1\\-1&-1&-1&-1&0&1\\-1&-1&-1&-1&-1&0\end{pmatrix}$$ $$p=2,\qquad q=1,\qquad 2C=A+D.$$

固定行號 i，依次代入列號 j 即得上述矩陣。i−j 與 i+j 同奇偶。奇數位置要求 0=1−q，故 q=1；偶數位置要求 p=1+q=2。因此所取數值逐項滿足等式。

第 2 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=(a_{ij})\in M_{5\times5}(\mathbb R),\qquad b_{ij}=a_{i,6-j},\quad c_{ij}=a_{6-i,6-j}.$$

用 A 的元素寫出 (a) B 和 (b) C。

解答

$$B=\begin{pmatrix}a_{15}&a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\\a_{25}&a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{21}\\a_{35}&a_{34}&a_{33}&a_{32}&a_{31}\\a_{45}&a_{44}&a_{43}&a_{42}&a_{41}\\a_{55}&a_{54}&a_{53}&a_{52}&a_{51}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}a_{55}&a_{54}&a_{53}&a_{52}&a_{51}\\a_{45}&a_{44}&a_{43}&a_{42}&a_{41}\\a_{35}&a_{34}&a_{33}&a_{32}&a_{31}\\a_{25}&a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{21}\\a_{15}&a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\end{pmatrix}.$$

在 B 中，6−j 將列次序反轉而行號不變。在 C 中，6−i 還將行次序反轉。對每個位置代入定義即可驗證兩個矩陣的 25 個元素。

第 4 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A,B,C\in M_{m\times n}(\mathbb R).$$

由定義或已證結果證明：(a) −(A+B)=−A−B；(b) 若 A+C=B+C，則 A=B。

解答

$$\text{(a)}\quad (-(A+B))_{ij}=-(a_{ij}+b_{ij})=-a_{ij}-b_{ij}=(-A-B)_{ij}.$$ $$\text{(b)}\quad a_{ij}+c_{ij}=b_{ij}+c_{ij}\ \Longrightarrow\ a_{ij}=b_{ij}\qquad(1\le i\le m,\ 1\le j\le n).$$

兩個結論都歸結為實數的逐項運算。(a) 每個元素均相同，故矩陣相等。(b) 對每個 i,j，在等式兩邊減去 cᵢⱼ，得到對應元素相等，故 A=B。

第 5 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A\in M_{r\times s}(\mathbb R),\quad n\in\mathbb N_{>0}.$$

用數學歸納法證明 nA 等於 n 個 A 的和。

解答

$$1A=A,\qquad (k+1)A=kA+A=\underbrace{A+\cdots+A}_{k\ \text{項}}+A=\underbrace{A+\cdots+A}_{k+1\ \text{項}}.$$

n=1 時成立。設 k≥1 時結論成立。由數乘分配律，(k+1)A=kA+A；代入歸納假設，便得到 k+1 個 A 的和。因此結論對每個正整數成立。

第 6 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A,B,X\in M_{m\times n}(\mathbb R),\qquad 3\left(X+\tfrac12 A\right)=5\left(X-\tfrac34 B\right).$$

用 A,B 表示所有可能的 X。

解答

$$3X+\tfrac32 A=5X-\tfrac{15}4B\ \Longleftrightarrow\ 2X=\tfrac32 A+\tfrac{15}4B\ \Longleftrightarrow\ X=\tfrac34 A+\tfrac{15}8B.$$

每一步都只用了逐項加減和非零實數數乘，因而可以逆轉。故所列矩陣存在且唯一。代入原等式，兩邊都等於 15A/4+45B/8。

第 7 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$A=I_3,\quad B=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad X+A=2(X-B).$$

求滿足等式的全部 3×3 矩陣 X。

解答

$$X+A=2X-2B\ \Longleftrightarrow\ X=A+2B=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&2\\2&2&3\end{pmatrix}.$$

移項得到充要條件 X=A+2B，故解唯一。代入驗證：X+A=2A+2B=2(X−B)。

第 14 題

本題的矩陣及未另行說明的標量參數均取實數。矩陣尺寸為正整數；O 表示相應尺寸的零矩陣。

題目

$$w,x,y,z\in\mathbb R,\qquad \begin{pmatrix}x-y&y-z&z-w&w-x\\w-x&x-y&y-z&z-w\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x-w&y-x&z-y&w-z\\y-x&z-y&w-z&x-w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q&r&-q&-r\end{pmatrix}.$$

證明可以選取適當的 p,q,r 使所列分解成立，並明確給出這些數。

解答

$$\text{左邊}=\begin{pmatrix}w-y&x-z&y-w&z-x\\w-y&x-z&y-w&z-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w-y&x-z&-(w-y)&-(x-z)\end{pmatrix}.$$ $$p=1,\qquad q=w-y,\qquad r=x-z.$$

逐項相減後兩行完全相同。用所列列向量乘行向量便重現這兩行，所以此選擇對所有 w,x,y,z 成立，也包括 q 或 r 為零的情形。