1.2 讀懂定理與證明語言

定理把明確的假設與結論連繫起來，證明則須說明：每個滿足假設的對象為甚麼都滿足結論。只看公式，容易忽略蘊含的方向、量詞的範圍，或存在性與唯一性的區別。

命題、假設與結論

本課很多定理都有相同的邏輯形狀：

定理 1.2.1

（定理常見的形狀）

假設 $P$ 滿足，則結論 $Q$ 成立。

定理不是單獨宣稱假設一定成立。它說的是：每當某個情況滿足假設，該情況便同時滿足結論。

例如，實數 $x,y$ 若滿足 $x=y$，則 $x^2=y^2$。這並不是說任意兩個實數都相等，也沒有證明逆命題：$x=1$、$y=-1$ 的平方相等，兩個數卻不相等。

後面關於矩陣的定理也有同樣的邏輯形式：

若一個方陣可逆，則它的 RREF 是單位矩陣。

這並不是說每個方陣都可逆。逆命題「RREF 是單位矩陣的方陣可逆」需要獨立的理由，不能僅把原命題的方向倒過來就當作證明。

定義 1.2.2

（條件命題）

條件命題的形式是「若 $P$，則 $Q$」。其中 $P$ 是假設，$Q$ 是結論。

讀定理時，先把以下四件事分清楚：

1. 討論的是甚麼物件？
2. 這些物件被加上了甚麼假設？
3. 定理保證的結論是甚麼？
4. 你現在是正向使用定理、反向使用定理，還是在使用一個等價定理？

證明透視

選擇證明方法之前，先拆開命題

考慮命題：若 $u,v$ 是同一個方程組 $Ax=b$ 的解，則 $A(u-v)=0$。首先固定對象：$A$ 是 $m\times n$ 實矩陣，$b\in\mathbb R^m$，$u,v\in\mathbb R^n$。假設是兩個等式 $Au=b$ 與 $Av=b$，結論則涉及兩解的差，不是任何一個解本身。

「是同一個方程組的解」這個定義把文字變成上述兩個等式，再由分配律得到

$$A(u-v)=Au-Av=b-b=0.$$

每個等號都有理由：第一個使用矩陣運算律，第二個同時使用兩個假設，最後一個是向量相減。我們沒有假設任何一個解為零，也沒有假設解唯一；更沒有要求矩陣是方陣或可逆。這些更強條件都不是這段論證所需要的。

反向讀證明時，可以問：刪去哪一個假設會令計算失效？若只有 $Au=b$ 與 $Av=c$，且右端不同，同樣計算只給出 $A(u-v)=b-c$，未必為零。這就準確找到了「同一個方程組」在證明中的作用。讀懂證明，應能指出假設在哪一步被使用，而不只是記住開頭列出了哪些條件。

讀清「且」「或」的作用範圍

說一個矩陣對稱且可逆，就要求兩個性質同時成立；只驗證對稱並不足夠。數學裏的或通常是包含兼有情況的：說「$u=0$ 或 $v=0$」，也容許兩者都為零。當假設同時含有幾個條件時，括號用來說明分組。例如「$A$ 是方陣，且 $A$ 奇異或對稱」要求無論後面哪種情況成立，矩陣都必須是方陣。

結論也要這樣讀。要證明兩個結論同時成立，必須分別給出依據；要否定保證兩個結論的命題，則須找出滿足全部假設、卻至少違反一個結論的對象。只列舉幾個互不相關的計算例子，既不構成完整證明，也不構成合格反例。

逆命題是另一個命題

「若 $P$，則 $Q$」的逆命題是「若 $Q$，則 $P$」。兩者不是同一個命題，一個可以為真而另一個為假。

例題 1.2.3

（不要自動把定理倒轉）

命題

$$\text{若 } A \text{ 可逆，則 } Ax=0 \text{ 只有零解}$$

的逆命題是

$$\text{若 } Ax=0 \text{ 只有零解，則 } A \text{ 可逆。}$$

對方陣而言，這兩句都在可逆矩陣字典中為真。但那是另一個定理提供的額外資訊，不是因為前一句看似合理便可以自動倒轉。

這就是為何 MATH1030 常把結果寫成字典：

定理 1.2.4

（等價命題格式）

以下命題互相邏輯等價：

1. $P$;
2. $Q$;
3. $R$.

這表示幾個命題同真同假。實際解題時，你可以用其中一個推出另一個。但若要證明整個字典，便要寫出足夠的蘊涵，把所有命題連起來，而不是只把它們列成清單。

逆否命題與直接證明

「若 $P$，則 $Q$」的逆否命題是「若非 $Q$，則非 $P$」。條件命題與其逆否命題邏輯等價。

不過，在本課中，很多論證最適合直接證明。矩陣與向量證明通常牽涉等式，而等式最容易在「由假設出發，逐步推出結論」的寫法中保持清楚。

定義 1.2.5

（直接證明）

直接證明從假設出發，使用定義、已證定理與計算，一步一步推出目標結論。

例如要證明某矩陣的零空間是子空間，可從 $Au=0$ 與 $Av=0$ 出發，檢查封閉性：

$$A(u+v)=Au+Av=0+0=0, \qquad A(cu)=cAu=c0=0.$$

論證有效，是因為每一步計算都緊扣零空間的定義條件。

定義不是定理

定義引入一個名稱或一個條件。它不是需要證明的真偽命題。一旦定義被引入，後續論證便可以使用它。

定義 1.2.6

（閱讀定義的習慣）

讀定義時，要找出：

1. 定義適用於哪些物件；
2. 被引入的名稱是甚麼；
3. 定義條件是甚麼；
4. 要理解該條件，還需要哪些已引入的定義。

例如「矩陣 $A$ 對稱」的定義是 $A^T=A$。要證明一個具體矩陣對稱，便計算其轉置並核對這個條件；要在後文使用對稱性，則可根據定義把 $A^T$ 換成 $A$。

量詞、存在與唯一

「對所有」、「存在」、「至多一個」、「唯一」這些字眼都帶有數學內容，不是修飾詞。

固定矩陣 $A$。「對每個 $b$，存在 $x$ 使 $Ax=b$」容許所選的解依賴右端向量。它的意思是：任意給出目標之後，都能找到一個解。調換次序所得的「存在 $x$，使對每個 $b$ 都有 $Ax=b$」，卻要求一個固定的解同時對應所有目標。雖然出現的是同一個等式，兩個命題的要求完全不同。

取一維單位矩陣 $A=[1]$。前一句是真的，因為給定任意實數 $b$ 後，選擇 $x=b$ 即可。後一句是假的，因為同一個數不可能同時滿足 $x=0$ 與 $x=1$。這個例子無需複雜矩陣計算，就能顯示選擇次序的意義。寫存在性證明時，應先引入任意給定的右端，再構造解；否則讀者無法判斷構造出來的對象是否容許依賴該右端。

否定命題時，量詞也須改變。要否定「每個目標都有解」，應給出一個完全沒有解的目標；嘗試猜解卻沒有猜到，並不足夠。要否定「所有解都是零」，則應給出一個非零解，並核對它滿足原方程。兩種情況中，否定的邏輯形式都明確指出了應該提供甚麼對象，以及還要驗證甚麼性質。

定理 1.2.7

（存在唯一命題的兩部分）

「存在唯一一個滿足性質 $P$ 的物件」包含兩部分：

1. 存在性：至少有一個物件滿足 $P$；
2. 唯一性：至多有一個物件滿足 $P$。

在線性代數中這個拆分很重要。當我們說某向量相對於有序基的座標唯一，存在性說每個向量都能用該基表示；唯一性說同一個向量不可能有兩組不同係數。

例題 1.2.8

（至多一個通常怎樣證明）

要證明至多有一個物件滿足某性質，不要一開始便尋找該物件。應先假設有兩個物件都滿足該性質，再證明它們必須相等。

例如要證明座標唯一，假設

$$x=a_1b_1+\cdots+a_pb_p \qquad\text{且}\qquad x=c_1b_1+\cdots+c_pb_p.$$

相減得

$$0=(a_1-c_1)b_1+\cdots+(a_p-c_p)b_p.$$

若 $b_1,\ldots,b_p$ 線性無關，則所有係數都必須為零。因此每個 $a_i=c_i$。

反例用來否定全稱命題

很多錯誤命題可由反例推翻。反例必須滿足原命題的假設，但不滿足其結論。

定義 1.2.9

（反例）

對「若 $P$，則 $Q$」而言，反例是一個具體物件或情況，使得 $P$ 為真而 $Q$ 為假。

準備反例往往是最難的部分；正式寫出來時，則要清楚完成三步：

1. 指定那個具體物件；
2. 驗證它滿足假設；
3. 驗證它不滿足結論。

例題 1.2.10

（一個線性代數反例）

考慮錯誤命題：

若兩個 $2\times 2$ 矩陣有相同行列式，則它們相等。

取

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12 \end{bmatrix}.$$

兩者都是 $2\times 2$ 矩陣，且

$$\det(A)=1,\qquad \det(B)=1.$$

所以假設成立。但 $A\ne B$，因此結論失敗。這一個例子已足以推翻該全稱命題。

反例模式

漏掉一個假設，命題就變了

考慮下面這條規則：只要 $Ax=0$ 只有零解，每個方程組 $Ax=b$ 就都有解。這裏漏掉了可逆矩陣字典中的方陣假設。要檢驗這個擴大後的命題，取

$$A=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.$$

未知數 $x$ 是一個實數。齊次方程要求 $x=0$ 與 $0=0$，所以確實只有零解；但 $Ax=b$ 要求 $x=0$ 與 $0=1$ 同時成立，因此沒有解。我們已經逐項驗證：所提規則的假設成立，結論卻不成立。

這個例子不反駁關於方陣的定理，因為矩陣有兩行一欄。它說明刪去維數假設必須有依據。另給一個規則成立的可逆方陣，也不能挽救這個全稱命題；一個合格的失敗例子就足以否定它。同樣，若所選矩陣的齊次方程有非零解，它就不滿足這裏的假設，不能充當這條規則的反例。修正後的命題必須恢復方陣假設：對於實方陣，若齊次系統只有零解，則每個維數相容的右端向量都對應唯一解。後面的可逆矩陣定理會證明這個蘊含。

存在與唯一需要不同的證據

「至多一個」的證明不會自動構造物件。實數方程 $x^2=-1$ 在邏輯上至多有一個實數解，因為根本不存在兩個不同的實數解；但它其實一個實數解也沒有。要聲稱恰好一個，必須同時證明存在與至多一個。反過來，寫出一個解只能證明存在，不能排除另一個解。

重讀前面的座標論證時，也應區分這兩個任務。線性無關保證兩次表示不會給出不同的係數列表；要保證所討論的向量至少有一次表示，還需要另一個張成假設。後面的基底理論恰好把這兩個條件結合起來。這說明拆開命題的邏輯結構，可以幫助我們理解一個數學定義為何需要不止一個條件。

之後應如何讀筆記

實際閱讀時，可按以下流程：

1. 每讀一個定理，先標出假設與結論；
2. 除非有等價定理，否則不要倒轉蘊涵；
3. 把定義當作可檢查、可使用的判準；
4. 把存在性與唯一性分開；
5. 面對錯誤的全稱命題時，用反例推翻。

快速檢查

（若定理說「若 $P$，則 $Q$」，哪一個命題一定與它等價？）

先分清楚逆命題與逆否命題。

解答 · 答案

逆否命題「若非 $Q$，則非 $P$」一定與原命題等價。逆命題「若 $Q$，則 $P$」是另一個命題，需要獨立證明。

練習

練習 1

某結果說：

若方陣 $A$ 的各欄線性無關，則 $A$ 可逆。

寫出它的逆命題。原命題本身是否已證明逆命題？

解答 · 練習 1 導引解答

逆命題是：

若 $A$ 可逆，則 $A$ 的各欄線性無關。

原命題本身沒有證明逆命題。在 MATH1030 中，逆命題確實為真，但它需要可逆矩陣字典中的定理支持，而不能靠自動倒轉原命題得到。

練習 2

推翻以下命題：

若實數 $x$ 滿足 $x^2>0$，則 $x>0$。

解答 · 練習 2 導引解答

取 $x=-1$。則 $x$ 是實數，且 $x^2=1>0$，所以假設成立。但 $x>0$ 為假。因此這個 $x$ 是反例，原命題為假。

練習 3：否定命題需要甚麼證據？

固定實矩陣 $A$，否定命題：「對每個大小相容的右端 $b$，恰好存在一個 $x$ 使 $Ax=b$。」解釋命題可以怎樣失敗，並用一維零矩陣分別說明兩種情況。

解答 · 練習 3 的解答

否定命題說：至少存在一個大小相容的右端，使方程並非恰好有一個解。對這個右端，要麼沒有解，要麼至少有兩個不同的解。要對具體矩陣給出完整論證，就應明確指出這樣的右端，並驗證其中一種失敗情況。

取 $A=[0]$。當 $b=1$ 時，方程是 $0x=1$，沒有解；當 $b=0$ 時，方程是 $0x=0$，$x=0$ 與 $x=1$ 都是解。任何一個右端已經足以否定原命題，但它們揭示的失敗不同：前者違反存在性，後者違反唯一性。不需要同一個右端同時違反兩者；無解與多解本來就是互不相容的情況。

練習 4：核對完整的等價鏈

已證明 $P\Rightarrow Q$ 與 $Q\Rightarrow R$，是否足以說明三個命題等價？再證明哪一個蘊涵就足夠？

解答 · 練習 4 的解答

還不足夠。已有的只是正向鏈條，不能從 $R$ 返回 $P$。再證明 $R\Rightarrow P$，便形成循環，從每個命題都能沿循環推出其他兩個。例如，先用 $Q\Rightarrow R$，再用 $R\Rightarrow P$，就得到 $Q\Rightarrow P$。這說明較長的矩陣定理字典不必逐對寫出全部蘊涵，卻仍必須提供比單向清單更完整的證明。