1.1 方程與解集

線性方程組的求解目標，是找出同時滿足全部方程的所有有序數組。 找到一個解只回答了存在性；完整求解還要說明有沒有其他解，以及它們是甚麼。

這個解集可以只有一點，可以完全沒有，也可以是一整族無限多點。 本節先把這種語言立清楚，因為之後的代入、消去、矩陣、行化簡和零 空間，其實都只是在更有效率地描述同一個解集。

哪些方程是線性的？

先固定未知數的次序 $x_1,\ldots,x_n$，並規定它們都取實數值。關於這些未知數的線性方程具有形式

$$a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b,$$

其中係數 $a_1,\ldots,a_n$ 與右端常數 $b$ 都是固定實數。線性方程組就是使用同一列未知數的有限條這類方程。某個未知數在某條方程中的係數可以為零，但它在未知數列表中的位置仍須保留。係數是題目給定的資料，未知數才是我們要選擇的數值。

例如，$3x-2y=7$ 關於 $x,y$ 是線性的；$xy=7$ 與 $x^2+y=7$ 則不是，因為前者含未知數的乘積，後者含未知數的平方。若 $a$ 是固定參數，$ax+y=1$ 關於 $x,y$ 仍是線性的；若把 $a$ 也列為未知數，乘積 $ax$ 就不再符合定義。因此，「線性」必須相對於指定的未知數來判斷，不能只憑公式中出現哪些字母。

容許零係數對消元尤其重要。$0x+0y=0$ 對平面中的每個有序數對都成立，而 $0x+0y=1$ 對任何有序數對都不成立。兩者都不是要求我們除以零，而是仍須解釋的條件。這正是全零行與矛盾行具有完全不同意義的原因。

解集記錄甚麼

定義

解集

解集是所有同時滿足整個方程組的數字或向量所組成的集合。

若方程組有未知數 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，一個解就是一個有序 $n$ 元組 $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$，使得把每個 $x_i$ 都換成 $s_i$ 之後， 每條方程都變成真命題。

次序是重要的。$(2, 3)$ 和 $(3, 2)$ 是不同的有序數對。解也不是一 個集合，所以若真解是 $(2, 3)$，我們不會寫成 $\{2,3\}$。

整個方程組可以理解為多個條件的交集：

• 第一條方程先篩出滿足它的有序元組；
• 第二條方程再篩出滿足它的有序元組；
• 解集就是全部條件的交集。

所以只要其中一條方程不成立，該有序元組就不是解。

概念視角結構

方程描述哪些有序元組可以被保留

先固定所在空間 $\mathbb R^n$。一條方程從中選出滿足條件的元組，整個方程組則只保留同時通過每條方程的元組。因此，找到一個合適的元組只證明了解存在；真正解方程組，還須描述全部合適元組組成的集合。

增加一條方程，相當於讓原解集再與一個條件取交集。結果可以不變，也可以縮小，卻不可能產生新的解。例如，在 $x+y=4$ 後面增加 $2x+2y=8$，解集不變；增加 $x=1$，只剩下 $(1,3)$；增加 $x+y=5$，便沒有任何元組留下。同樣是多寫一條方程，卻有三種不同效果，所以不能單憑方程條數判斷解的情況。

反過來，刪去一條方程可能擴大解集。要保證刪除後答案不變，就必須說明其餘方程已經蘊含被刪去的方程。「冗餘」指的是這種邏輯關係，而不只是兩條方程看起來相似。判斷操作是否合理時，應追問每一個舊解與每一個新解能否互相對應。

一致與不一致

定義

一致與不一致方程組

一個線性方程組若至少有一個解，就叫一致。

若完全沒有解，就叫不一致。

這個定義很短，但含義很大。

• 一致方程組可以只有一個解。
• 一致方程組也可以有無限多個解。
• 不一致方程組沒有任何解，所以其解集是空集。

課程後面會證明，這就是全部可能。

定理

線性方程組只有三種可能的解集

對一個線性方程組而言，解集只可能是：

1. 單一元素集合，因此有唯一解；
2. 空集，因此是不一致方程組；
3. 無限集合，因此有無限多解。

這不是憑空假設。後面會用消去法和行化簡去證明。現在先記住： 一旦出現自由變數，就有無限多個選擇；一旦出現矛盾，就沒有解。

只有一個解的例子

例題

一個只有唯一解的小例子

解

$$x + y = 4, \qquad x - y = 0.$$

第二條方程說 $x = y$。代入第一條：

$$y + y = 4.$$

因此 $2y = 4$，所以 $y = 2$，再得 $x = 2$。

解集是

$$\{(2, 2)\}.$$

這是最簡單的一種一致方程組：只有一個有序數對可行。

完全沒有解的例子

例題

矛盾會導致空解集

考慮

$$x + y = 1, \qquad x + y = 3.$$

如果某個 $(x, y)$ 同時滿足兩條方程，同一個左邊就要等於兩個不同的數。 把第一條從第二條減去，得到

$$0 = 2,$$

這是不可能的。

所以這個方程組不一致，解集是空集：

$$\varnothing.$$

不一致不等於「很多解」。不一致就是「沒有解」。

常見錯誤

不一致不等於有多個解

有些同學見到「不一致」，會以為只是方程很多或太難。其實定義很 直接：不一致就是不存在任何同時滿足全部方程的有序元組。

無限多解的例子

例題

同一條直線可以寫成不同方程

考慮

$$x + y = 4, \qquad 2x + 2y = 8.$$

第二條只是第一條乘 $2$，沒有增加新條件。所有滿足 $x + y = 4$ 的點都同時滿足兩條方程。

若令 $x = t$，便有 $y = 4 - t$，其中 $t \in R$。所以解集是

$$\{(t, 4 - t) \mid t \in R\}.$$

因為每個實數 $t$ 都會給出不同的有序數對，所以這裡有無限多解。

這個現象在更多未知數的方程組中仍然成立。差別只在於參數會變得更 多，寫法也更長。

例題

一個四變數方程組的完整解集

解

$$x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 = 1, \qquad x_2 + x_3 - x_4 = 2, \qquad x_3 + 2x_4 = 3.$$

先由第三條得

$$x_3 = 3 - 2x_4.$$

代入第二條：

$$x_2 + (3 - 2x_4) - x_4 = 2,$$

所以

$$x_2 = -1 + 3x_4.$$

再把兩個式子代回第一條：

$$x_1 - 2(-1 + 3x_4) - (3 - 2x_4) + x_4 = 1.$$

化簡得

$$x_1 = 2 + 3x_4.$$

令 $x_4 = t$，則所有解都寫成

$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (2 + 3t, -1 + 3t, 3 - 2t, t),$$

因此解集是

$$\{(2 + 3t, -1 + 3t, 3 - 2t, t) \mid t \in R\}.$$

這種答案才是課程想要的完整描述：不是只給一個樣本解，而是把全部 解都寫出來。

參數形式必須雙向核對

上面的四元計算說明：任何一個解都必須具有所寫的形式。這是完整性方向：先取任意一個解，把它的第四座標命名為 $t$，再由方程推出其餘三個座標。這樣便證明，沒有解會落在所列的解族之外。

但還須反向檢查：對每個實數 $t$，所寫的元組都應滿足原來的全部方程。按原來的次序代入，得到

$$\begin{aligned} (2+3t)-2(-1+3t)-(3-2t)+t&=1,\\ (-1+3t)+(3-2t)-t&=2,\\ (3-2t)+2t&=3. \end{aligned}$$

這些是對所有實數參數成立的恆等式，所以解族中的每個元組確實都是解。最後，不同的 $t$ 會產生不同的第四座標。因此，這裏有無限多個不同的解，而不只是同一個解有無限種寫法。

這種雙向核對適用於任何由計算得到的候選解集。代入檢查保證沒有多算不合要求的答案，完整性論證則保證沒有漏解。只代入幾個參數值，既不能證明所有參數都有效，也不能證明已經找齊答案。參數也可以改名而不改變解集：對 $x+y=4$，$(t,4-t)$ 與 $(4-s,s)$ 描述同一集合，因為令 $s=4-t$ 可把前者改成後者，反向代換也成立。解集相等並不要求參數字母或公式外觀完全相同。

為甚麼要談等價方程組

兩個方程組若有完全相同的解集，就叫等價。

定義

等價方程組

兩個線性方程組若且唯若有完全相同的解集，便互相等價。

這個定義比「看起來差不多」更嚴格，也比「方程條數一樣」更嚴格。 等價與否只看解集。

常見錯誤

方程條數一樣，不代表等價

兩個方程組可以有相同條數但不同解集；也可以有不同條數但仍然等 價。等價的關鍵是解集，不是外觀。

保持解集不變的基本方程操作有三種：

1. 交換兩條方程；
2. 把某條方程乘上一個非零常數；
3. 用一條方程的倍數加到另一條方程上。

這些操作就是之後增廣矩陣行運算的方程版。

定理

基本方程操作不會改變解集

若一個方程組可以經有限次基本方程操作變成另一個方程組，則兩者 等價。

證明

為甚麼三種基本方程操作都安全

每一步都可以逆轉。行替換中的來源方程與目標方程必須不同，這樣來源方程才會保留，供逆操作使用。

• 交換兩條方程，只是把條件的次序改寫。
• 將一條方程乘上一個非零常數，仍然是等價方程；逆操作是乘回它 的倒數。
• 把第 $i$ 條方程的 $\alpha$ 倍加到第 $j$ 條方程上，逆操作就是把 $\alpha$ 倍的第 $i$ 條方程從新的第 $j$ 條方程減回去。

既然每一步都能逆轉，解集就不會改變。

這就是消去法可以合法使用的原因：我們不是改題目，而是把同一個題 目改寫得更容易讀。

二元情況的幾何圖像

當只有兩個未知數時，只要 $a,b$ 不同時為零，方程 $ax+by=c$ 就表示平面上的一條直線。對兩條這樣的方程，解集就是兩條直線的交集。

• 兩條直線在一點相交，便有唯一解。
• 兩條直線平行而不同，便不一致。
• 兩條直線完全重合，便有無限多解。

零係數情況須另作解釋：$0x+0y=0$ 選出整個平面，而右端非零的 $0x+0y=c$ 選出空集，兩者都不表示直線。若有三條或更多方程，兩兩相交也不保證有共同解。例如 $x=0$、$y=0$、$x+y=1$ 兩兩相交，卻沒有一個點同時位於三條直線上。解的定義要求全部方程同時成立，不能把這個要求改成只檢查任意兩條。

這個幾何圖像很有用，因為它把三種可能看得很自然，不像是硬記。

用直線交集例子，把解集看成條件交集，再把可逆方程改寫接到增廣矩陣探索器。

1. 條件交集

   方程組是一疊同時成立的條件。有序元組只有通過每條方程，才屬於解集。

2. 一個點

   在 x+y=5 與 2x-3y=-5 中，兩條線交於 (2,3)，所以解集是單一元素集合 {(2,3)}。

3. 沒有交點

   平行而不同的直線交集為空。在二元圖像中，這表示方程組不一致。

4. 整條線

   重合直線產生無限多解。參數記錄的是整個解族，而不是某一個樣本點。

5. 等價改寫

   三種基本方程操作是安全的，因為每一種都有逆操作。它們改寫方程組，但保留解集。

6. 矩陣橋接

   增廣矩陣只是把同一批條件壓縮記錄：每一行仍然是一條方程。

眼前方程可以改寫，但我們真正保護的是完整解集：所有同時滿足每條方程的有序元組。

為甚麼本節先講解集

後面的矩陣語言不是要取代這一節，而是要把這一節正式化。

當我們引入係數矩陣和增廣矩陣後，同一個方程組可以用更精簡的方式 記錄。當我們引入行運算後，就可以把一個方程組變成另一個等價方程 組。當我們到達階梯形或簡化階梯形時，解集就更容易直接讀出。

所以，若解集是主角，後面所有方法都只是不同的觀察角度。

若你已經熟習如何把小型方程組理解為一組條件，可以先試試下面這個 互動預覽。

常見錯誤與細微處

常見錯誤

解是有序元組，不是數字袋

$(2, 3)$ 是二元方程組的一個解，但 $\{2,3\}$ 不是同一回事。次序有 意義，因為第一個數對應 $x_1$，第二個數對應 $x_2$。

常見錯誤

出現矛盾行，表示沒有解

若消去後出現 $0 = 1$ 之類的式子，方程組就是不一致。這不是仍可 以「繼續算落去」的有效方程。

常見錯誤

自由變數也是答案的一部分

當解集用參數表示時，參數不是缺失答案，而是描述整個解族的正確 方法。

快速檢查

思考檢查

哪一個有序數對同時滿足 $x + y = 4$ 和 $x - y = 0$？

把候選答案代入兩條方程。

解答 · 答案

$(2, 2)$。

思考檢查

方程組 $x + y = 1$、$x + y = 3$ 是否一致？

請直接用一致性的定義。

解答 · 答案

不一致，因為兩條方程互相矛盾。

思考檢查

若兩個方程組有完全相同的解集，我們稱它們甚麼？

這是課程中的定義。

解答 · 答案

等價方程組。

思考檢查

為甚麼交換兩條方程不會改變解集？

想一想「解」的定義。

解答 · 引導解答

解必須同時滿足每一條方程。方程出現的次序不影響哪一個有序元組 會同時滿足全部條件，所以交換次序不會改變解集。

練習

思考檢查

把 $x_1 - 5x_4 = 1$、$x_2 + x_4 = 2$、$x_3 + 3x_4 = 3$ 寫成參數式解集。

只用一個自由參數。

解答 · 引導解答

令 $x_4 = t$。則

$$x_1 = 1 + 5t, \qquad x_2 = 2 - t, \qquad x_3 = 3 - 3t.$$

所以解集是

$$\{(1 + 5t, 2 - t, 3 - 3t, t) \mid t \in R\}.$$

思考檢查

找出 $c$，使 $x + 2y - 5z = 6$、$2x + 3y - 2z = 7$、$x + cy + z = 0$ 沒有解。

可以先消去 $x$。

解答 · 引導解答

先用第二條減去第一條的 $2$ 倍：

$$-y + 8z = -5.$$

再用第三條減去第一條：

$$(c - 2)y + 6z = -6.$$

要沒有解，這兩條新方程必須平行但不同，所以它們的係數列要成倍 數關係。解

$$\frac{c - 2}{-1} = \frac{6}{8},$$

得

$$c = \frac{5}{4}.$$

當 $c = 5/4$ 時，兩條方程平行但不重合，所以方程組沒有解。

核對特殊值，並排除遺漏的情況

上面的係數比較只找出一個候選特殊值；完整論證還應檢查它確實是唯一的特殊值。由 $-y+8z=-5$ 得 $y=5+8z$，代入剩餘方程可得

$$(8c-10)z=4-5c.$$

當 $c=5/4$ 時，式子變成 $0=-9/4$，矛盾十分明確。對其他所有 $c$，係數 $8c-10$ 非零，故唯一確定 $z$；隨後唯一確定 $y$，原來的第一條方程再確定 $x=6-2y+5z$。每一步代換都可逆，所以這個三元組確實滿足原方程組。這就同時核實了特殊值，並證明沒有遺漏其他情況。

這個例子也區分了題目參數與自由變量。這裏 $c$ 是給定方程組的一部分，改變它就是改變問題。固定一個非特殊的 $c$ 後，$x,y,z$ 都沒有自由選擇。前面四元例子的 $t$ 則是在同一個固定方程組的解中變化。引入分類討論之前，應先判斷字母表示不同題目，還是同一題目的不同解。

先看這裡

本節是後面矩陣法的起點。接下來最有用的頁面是：

• 2.2 增廣矩陣與行運算
• 2.3 高斯消去與簡化階梯形
• 4.1 齊次方程組與零空間