2.3 高斯消元與最簡行階梯形

為甚麼要學消元

高斯消元把方程組改寫成一系列樞軸方程，讓我們能夠讀出它的解。每一階段先選定 樞軸，清掉它下方的元素，再處理餘下的行與欄。每一步都要保持解集不變，同時 讓下一個變量更容易分離出來。

本節先說明目標形狀，再走完一次計算：先區分 REF 與 RREF，然後用完整例子 觀察每個樞軸如何建立，以及最後的矩陣如何描述全部解。

目標：樞軸形成階梯

我們想得到的，不只是「比較簡單的矩陣」，而是方便讀出結構的矩 陣。

實際上，這表示你要不斷做以下事情：

1. 選一個主元，
2. 把它下面的元素清掉，
3. 轉到右下角較小的子矩陣，
4. 如果想要最易讀的形式，再把主元上方的元素也清掉。

所以，消元其實是在一步一步建立一條主元階梯。

定義

REF 與 RREF

矩陣屬於 行階梯形（REF），表示：

1. 全 0 行都放在最下面；
2. 每一個非零行的第一個非零元素，都比上一行的第一個非零元素更靠 右。

矩陣屬於 最簡行階梯形（RREF），則還要再滿足：

1. 每個主元都等於 $1$；
2. 每個主元所在的欄，除了那個主元之外，其餘位置全部都是 $0$。

每一個非零行最左邊的第一個非零元素，叫做 主元。含有主元的欄， 叫做 主元欄。當增廣系統一致時，沒有主元的係數欄才對應 自由變量；常數欄不對應未知量。

這些詞彙很重要，因為之後你判斷「唯一解 / 無限多解 / 無解」時，就 是靠它們。

定理

為甚麼行化簡是安全的？

如果兩個增廣矩陣是行等價的，那麼它們代表的是等價方程組，也就是說 它們有相同的解集。

所以，行化簡不是在改題目，而是在重新排列同一題的資訊。

兩個問題：合法的路徑與有用的終點

概念視角算法

高斯消元是在行等價類中選擇一條算法路徑

行等價回答哪些改變合法，高斯消元回答怎樣選擇這些改變，使有限的計算抵達容易讀懂的形式。兩個問題並不相同。不斷交換同一對行，每一步都保留解集，卻不會完成求解。一個有效算法既需要保持不變的對象，也需要能夠持續前進的指標。

這裡的不變量是增廣系統的解集。向下消元的進展則是主元逐行下移，並且嚴格向右移動。一旦某個主元下方已經清零，後續只對更低的行運算，就不會破壞那些零。局部化簡能夠逐步累積，而不是互相抵消，正是算法成立的關鍵。

更精確地說，先觀察尚未處理的行，尋找其中最靠左且含非零元素的一欄。必要時交換行，把可用元素移到未處理部分的第一行，作為主元，並清除它下方的元素。隨後轉到更低的行，只向右繼續尋找。如果某一欄在尚未處理的行中全為零，就跳過該欄，不必嘗試除以零，也不必硬造一個主元。

“最靠左”這一要求有證明上的作用：新的主元出現以前，所有尚未處理的行在更左位置都是零。對這些行取線性組合，仍然保持這個零前綴。因此，新行的首個非零元素不會跑到先前主元的左邊。階梯條件是算法逐步建立的不變量，而不是算完之後碰巧成立的外觀。

如果尚未處理的行全部為零，向下消元立即結束。否則，每選一個主元都會佔用新的一行和新的一欄。行數與欄數有限，所以步驟必然終止。這個論證說明階梯形總能構造出來，而不依賴某個特別簡單的數值例子；但它尚未證明階梯形唯一。不同的合法選擇仍可產生不同的主元數值和主元上方元素。

向上清除為何不會破壞已經完成的欄

從 REF 開始，先把每個非零主元縮放為一，再從最後一個主元行向上處理。要清除某個主元上方的元素，就減去主元行的適當倍數。主元行在首個非零元素以前全為零，因此不會改變更早的主元欄；它右側已經清理完的主元欄，在當前行中也都是零，所以同樣不會被破壞。

這樣，每完成一欄，該欄便只有主元位置的 $1$ 非零。逐步向上處理，最後所有主元欄都滿足這個條件，便得到 RREF。這個證明也說明，按確定次序清除通常比到處任意代換更容易檢查。

僅要求 REF 時，不必把主元變成一：二或負三都可以作為首個非零元素。要求 RREF 時，主元必須為一，這是定義中的額外條件。一致的階梯系統已經可以用回代求解；繼續化成最簡行階梯形，是為了直接展示所有主變量如何依賴參數。

算法的存在性和最終簡化結果的唯一性是兩個不同定理。消元過程證明至少能達到某個 RREF；唯一性定理說明，從同一矩陣出發，不同合法路徑若都完成了 RREF，所得矩陣必定相同。因此，中間步驟不同並不表示出錯，但兩個不同的最終 RREF 不能同時正確。後面的專節會給出唯一性證明。

走一次完整的消元路徑

消元法的核心做法，是由增廣矩陣開始， 然後反覆利用主元去清掉它下面的元素。現在我們沿着這個思路看一個 小例子：

$$\begin{aligned} x + 2y + 2z &= 4, \\ x + 3y + 3z &= 5, \\ 2x + 6y + 5z &= 6. \end{aligned}$$

它的增廣矩陣是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{bmatrix}.$$

例題

把每個行變換都讀成一個目的

左上角的 $1$ 已經是一個很方便的主元，所以第一個目標很清楚：

把這個主元下面的元素全部變成 $0$。

做

$$R_2 \leftarrow R_2 - R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.$$

就得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \end{bmatrix}.$$

現在第 1 欄已經完成。下一個主元在第 2 行第 2 欄，所以用它清掉下面 的 $2$：

$$R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.$$

矩陣變成

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -4 \end{bmatrix}.$$

到這一步，其實已經是 REF，可以用回代法解題。不過，如果你想得到最 方便直接閱讀的形式，就繼續做成 RREF。

先把最後一個主元改成 $1$：

$$R_3 \leftarrow -R_3 \quad\Rightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

然後清掉這個主元上方的元素：

$$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3, \qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_3,$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

最後，再把第二個主元上方的 $2$ 清掉：

$$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2,$$

就得到 RREF

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

這時解可以直接讀出：

$$x = 2,\qquad y = -3,\qquad z = 4.$$

這個例子要你記住的，不是孤立的步驟，而是以下節奏：

• 清主元下面的元素，建立 REF；
• 清主元上面的元素，建立 RREF；
• 到了 RREF，就可以直接讀解。

看主元階梯如何形成

下面的圖解序列沿用同一個例子。你可以把它當成正式行變換與互動步驟器 之間的橋：每一格都先固定一個數學目的，然後才進入下一步計算。

把同一個消元例子看成一段短圖解：選主元、清元素，最後從 RREF 讀出已解方程組。

1. 由增廣矩陣開始

   第一列在第 1 行已有方便的主元。眼前目標是把這個主元下方的元素全部變成 0。

2. 建立主元階梯

   第一次清下方元素之後，下一個主元出現在第 2 行第 2 列。再清它下方的元素，就得到列階梯形。

3. 標準化最後主元

   最後一個非零行的 leading entry 是 -1。把整行乘以 -1，主元變成 1，但解集不變。

4. 清主元上方

   只有當每個主元都是所在列唯一的非零元素時，才到達 RREF；因此後半段運算會向上清除。

5. 讀出已解變數

   當左邊變成單位矩陣，右邊一列就可以直接讀成 x = 2、y = -3、z = 4。

這個計算唔係一堆互不相干的行變換，而係有控制地改變形狀：先清主元下方得到 REF，再標準化主元並清主元上方得到 RREF。

用互動步驟器再走一次

下面的步驟器保留同一條消元路徑，但刻意放慢節奏。每到一步，都請你 同時觀察：

1. 正在處理哪一個主元；
2. 正在做哪一個行變換；
3. 做完之後，哪一部分變得更容易讀。

在較大的方程組中追蹤樞軸

在較大的方程組中，同一套樞軸策略需要貫穿多步計算。每一步開始前， 指出正在清除哪一欄、使用哪個樞軸；完成後，再檢查先前樞軸欄的結構 是否保留。

考慮增廣矩陣

$$C= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 1 & 2 & 5 & 1 \\ 5 & 10 & 3 & 2 & 4 & 11 & 8 \end{bmatrix}.$$

第一欄已有可用主元。先清掉它下方的元素，得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

現在第 2 行提供下一個主元。用它清掉下面相同方向的元素：

$$R_3\leftarrow R_3-R_2, \qquad R_4\leftarrow R_4-3R_2.$$

再把之後出現的重複行清掉後，一個清楚的階梯階段是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

這裡要暫停閱讀結構：主元欄是第 $1$、$3$、$5$ 欄；自由欄是第 $2$、$4$、$6$ 欄。要到 RREF，只需清掉第 $5$ 欄主元上方的元素：

$$R_2\leftarrow R_2-R_3.$$

最後的最簡形是

$$C'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

令

$$x_2=u,\qquad x_4=v,\qquad x_6=w.$$

三條主元方程讀成

$$\begin{aligned} x_1+2x_2+x_4+2x_6 &= 1,\\ x_3-x_4-x_6 &= 5,\\ x_5+x_6 &= -3. \end{aligned}$$

所以所有解可以寫成

$$x= \begin{bmatrix} 1\\0\\5\\0\\-3\\0 \end{bmatrix} +u \begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +v \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +w \begin{bmatrix} -2\\0\\1\\0\\-1\\1 \end{bmatrix}.$$

這個例子說明，長消元的目的不只是製造 0，而是暴露主元與自由變量的 結構，然後由這個結構寫出完整解集。

怎樣讀一個 RREF 矩陣

當矩陣已經在 RREF 時，最重要的閱讀問題有三個：

• 每個變量欄都有主元嗎？
• 有沒有自由變量？
• 有沒有矛盾行？

例題

先讀結構，再做計算

假設你最後得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

這裡第 1、2 欄是主元欄，但第 3 欄不是，所以第三個變量是自由變量。

因此，這個系統不是唯一解。它會有無限多解，因為你可以先自由選 第三個變量，再回過頭求出另外兩個主元變量。

定理

矛盾行代表甚麼？

如果行化簡後出現

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$$

它對應的方程就是 $0 = 1$。這是不可能成立的，所以原方程組不相容， 也就是無解。

例題

矩陣幾乎是 RREF 時

有時矩陣已經很接近 RREF，只差某個主元欄還未清乾淨。例如

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

還不是 RREF，因為第 $5$ 欄的主元上方仍有一個 $2$。只要做

$$R_1\leftarrow R_1-2R_3$$

就得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

現在各主元欄已經清乾淨，所以矩陣在 RREF。自由變量是 $x_2$ 和 $x_4$；若令 $x_2=s$、$x_4=t$，則解為

$$x= \begin{bmatrix} -2\\0\\-1\\0\\3 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} -3\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -1\\0\\-1\\1\\0 \end{bmatrix}.$$

跳過一欄也是數學資訊

例題

第一欄為零，算法仍能正常結束

把最後一欄看作常數欄，考慮三個未知量的系統：

$$\left[\begin{array}{ccc|c}0&2&4&6\\0&0&3&3\end{array}\right].$$

第一欄全零，因此主元從第二欄開始。分別把兩行的主元縮放成一，然後清除第二個主元上方的元素：

$$\left[\begin{array}{ccc|c}0&1&2&3\\0&0&1&1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-2R_2} \left[\begin{array}{ccc|c}0&1&0&1\\0&0&1&1\end{array}\right].$$

結果給出 $x_2=1$、$x_3=1$，卻沒有限制 $x_1$。所以所有解為 $(t,1,1)$，其中 $t\in\mathbb R$。代回原來的兩行，得到 $2+4=6$ 和 $3=3$，都與參數無關。跳過第一欄並沒有遺漏方程或丟失條件，因為這個變量從一開始就沒有出現在任何方程中。

這個例子也說明主元不必在主對角線上。階梯形由每行首個非零元素的位置決定，並不要求第一行一定從第一欄開始。在較大的矩陣中，兩個相鄰主元之間也可以隔著多個非主元欄。

處理增廣矩陣時，變量欄和常數欄必須分清。最後一列出現主元，代表的是矛盾，而不是多了一個可求出的變量。因此要先檢查一致性，之後才能把非主元系數欄解釋為可任意指定的解坐標。非主元欄也不一定全零：其中的元素可以記錄自由變量怎樣影響多個主變量。

例如，前面結構例子中含有系數三和負二的欄雖然不是零欄，卻仍然沒有主元。相應變量可以自由選值，但主變量要隨之調整。“自由”是說它可以作為獨立選擇，不是說它對其他方程沒有影響。

不重算整題，也能分層檢查

檢查每個箭頭時，先核對目標位置是否按計劃改變，再核對整條受影響的行，特別是最後一欄。隨後檢查所宣稱的形式：REF 要滿足階梯條件並把全零行放在底部；RREF 還要有單位主元和乾淨的主元欄。兩類檢查針對不同錯誤。算術完全正確也可能尚未達到 RREF；外觀看起來正確的矩陣，也可能來自錯誤運算。

最後把參數表達式代回化簡後的方程。既然每一步都可逆，同一表達式也滿足原系統。把自由參數全設成零只能檢查一個特殊解；完整檢查要保留參數，並核對各參數的系數。否則，方向向量中的負號錯誤可能被一個恰好正確的特殊解掩蓋。

常見錯誤

常見錯誤

REF 不等於 RREF

很多人只要看到主元下面全是 $0$ 就停手。那樣可能已經足夠做回代，但 還未到 RREF。RREF 要求主元所在的欄，其他位置也全部是 $0$。

常見錯誤

做操作時沒有明確目標

不要因為「好像要減一下」就隨便做行變換。每一步之前，先把目的說清 楚：

• 你現在用的是哪個主元？
• 你想消去哪個元素？
• 為甚麼這一步是最自然的下一步？

這個習慣會令你的計算更穩定，也更容易檢查符號錯誤。

快速檢查

思考檢查

甚麼情況下應該先換行，再繼續消元？

想一想目前的主元位置。如果那個位置是 $0$，但同一欄更下面有非零元 素，會怎樣處理？

解答 · 答案

當目前的主元位置不能用，例如它是 $0$，但同一欄下面有非零元素時， 就應先換行，把可用的主元移上來，然後再繼續消元。

思考檢查

$\left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&1\end{array}\right]$ 是一行無害的資料嗎？

先把它翻譯回一條方程，再決定答案。

解答 · 答案

不是。它代表 $0 = 1$，是矛盾，所以方程組不相容，亦即無解。

思考檢查

在上面的長消元例子中，為甚麼 $x_2$、$x_4$、$x_6$ 是自由變量？

看最後的 RREF $C'$。哪些變量欄含有首 1？

解答 · 答案

首 1 位於第 $1$、$3$、$5$ 欄。因此第 $2$、$4$、$6$ 欄沒有主元， 所以 $x_2$、$x_4$、$x_6$ 是自由變量。

練習

練習 1

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

開始，如果你的目標是清掉第一個主元下面的元素，最自然的第一步行變 換是甚麼？

解答 · 練習 1 引導解答

第一個主元已經是第 1 行第 1 欄的 $1$。它下面的元素是 $2$，所以最自 然的做法是

$$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.$$

這一步可以一次過把第 1 欄主元下方的元素清掉。

練習 2

考慮矩陣

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].$$

它代表的系統有唯一解、無限多解，還是無解？

解答 · 練習 2 引導解答

這裡沒有矛盾行，所以不是無解。但第 3 欄沒有主元，因此存在自由變 量。只要有自由變量，解就不是唯一，而是無限多解。

練習 3

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

開始，哪一個單一步行變換可以把它化成 RREF？

解答 · 練習 3 引導解答

第 $5$ 欄的主元是第 3 行的 $1$。同一主元欄中唯一未清掉的非零元素， 是第 1 行的 $2$，所以應從第 1 行減去兩倍第 3 行：

$$R_1\leftarrow R_1-2R_3.$$

練習 4

對於 RREF

$$\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],$$

令 $x_2=u$、$x_4=v$、$x_6=w$。把 $x_1$、$x_3$、$x_5$ 寫成 $u$、 $v$、$w$ 的式子。

解答 · 練習 4 引導解答

讀出三條非零行：

$$\begin{aligned} x_1+2u+v+2w &= 1,\\ x_3-v-w &= 5,\\ x_5+w &= -3. \end{aligned}$$

因此

$$x_1=1-2u-v-2w,\qquad x_3=5+v+w,\qquad x_5=-3-w.$$

先讀這一頁

這一頁直接建立在 2.2 增廣矩陣與行變換 之上。如果你對「為甚麼行變換不會改變解集」仍然覺得不穩，請先回去 重讀那一頁，再練這裡的長消元路徑。