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系统地建立真值表，用它检验等价式，并区分永真式、矛盾式与偶然式。
原子命题固定后，真值表便可记录复合公式在每一种真假赋值下的值。
若公式涉及 个命题变量，就有 种真假赋值。列出全部赋值并逐行检验，便穷尽了所有情况，因此完整的真值表可以构成证明。
定义 1.2.1
（真值表）
命题公式 的 真值表，会列出 中所有变量的每一种真假指派，并记录 在每一行的真假值。
例如，如果公式只涉及 和 ，那么共有四行：
所以真值表不只是一个表格，而是一份完整的分类讨论。
一张可靠的真值表必须有清楚的行次序和列次序。若有 个原子变量，就列出
行，并从头到尾保持同一个次序。例如三个变量可以依次列为
TTT, TTF, TFT, TFF, FTT, FTF, FFT, FFF。然后每一个子公式增加一列，先算最内层的连接词，最后才算整条公式。没有这些中间列，最后一列就很难检查。
例题 1.2.2
（分步建立 ）
先计算 ，再把这一列作为蕴含式的前件：
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | T |
最后一列只在已经算出的前件为真而 为假时为假。这里有三个独立变量，所以表有八行。
嵌套蕴含也要遵守同一原则。在 中，先计算内部的 。按 的次序，它的四个值是 ；再计算外层蕴含，得到 。所以该公式是永真式。即使 出现两次，也不能跳过内部列；每次出现的作用范围由它所属的连接词决定。
例题 1.2.3
（为什么 与 表达同一件事）
考虑公式 与 。
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
最后两列逐行完全一致。
因此
这个等价式在初等逻辑里非常重要。它说明了蕴含式只会在“前件真、后件假”的那一行失败。
定义 1.2.4
（逻辑等价）
如果两个公式 和 在所有变量指派之下都得到相同真假值，就说它们 逻辑等价，记作
逻辑等价比“恰好在某个例子里一样”强得多。它表示两个公式实际上定义了同一个 truth function。
这里需要特别注意，不要把下面两种记号混为一谈：
两者有关，但并不是同一个东西。
定理 1.2.5
（等价与双条件）
两个公式 与 逻辑等价，当且仅当
是一个永真式。
因此双条件可以拿来做检验：如果它的最后一列全部都是真，那么这两个公式就在每一行都一致。
定义 1.2.6
（三种基本类型）
设 是一个命题公式。
标准例子是：
它是永真式；而
则是矛盾式。
这个区分很重要，因为很多简短的逻辑论证，本质上就是证明某个公式总是真的，或者总是假的。
例题 1.2.7
（用真值表检验 De Morgan 定律）
我们检验
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | F | T | T | T | T |
第四列和第七列逐行一致，所以这两个公式逻辑等价。
这个例子说明了真值表的典型用途：它不只是用来算某一个公式，更是用来证明一条等价律。
定理 1.2.8
（检验有限命题推论）
对前提 和结论 ，其中 ，论证有效当且仅当
是永真式。这个蕴含式恰好在全部前提真而结论假时为假，这正是反模型。含有假前提的行不能否定论证的有效性。
例题 1.2.9
（比较两组前提）
以前提 推出 ，检验式为 。两个前提同时为真的唯一一行是 ，该行结论也真；其余各行的外层前件为假，外层蕴含式仍真。若改以前提 推出 ，检验式就在 处失败。改变前提就是改变所检验的论证。
例题 1.2.10
（替换等价的内部部分）
在 中，以 替换 。对任意赋值，两个内部表达式真值相同，与同一个 合取后的结果也相同。因此 ；外层连接词及其作用域保持不变。
前面介绍的等价式还提供了一套可审查的改写方法。先把每个双条件替换成 ，再用 替换所有蕴含；用德摩根律把否定向内推进；消去双重否定；需要重新分组时使用分配律。例如：
每一行都用逻辑等价式替换，因此最后一列的真假值保持不变。这样做的价值在于让只有 、、 的子公式更加显眼，便于建立中间列。这些等价式支持改写，但它们并没有免除检查原公式作用范围的要求。这里把只用 、、，且每个 直接作用于原子命题的形式称为否定范式；它是便于造表的目标，不是把所有证明都化成改写。
例题 1.2.11
（等价与蕴含不是一回事）
与 不等价：当 时，前者为假而后者为真。不过，论证 “，所以 ”是有效的，因为不存在前提真而结论假的一行。对应的检验式 是永真式。因此，等价要求两式的最终真值列在每一行都相同，而推论只要求不存在被禁止的前提真、结论假的一行。
下面这些真值表等价式适合在改写公式时使用：
交换律允许交换两个运算对象。结合律允许在重复使用同一个连接词时改变括号。分配律则会改变连接词结构，产生展开步骤。例如：
在更大的公式中使用这个步骤时，先找出完整的左侧模式，用右侧模式替换，再继续计算新的子公式。每一行的最终真假值都保持不变，因为上面每个式子都是由真值表验证的等价式。
交换律双条件是永真式：
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | F | F | T |
也是永真式。当 真而 假时， 为真；当 假而 真时， 为真；当真假相同时，两个蕴含式都真。
以下两个双条件在每一行的值相同：
| T | T | T | F | F | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
因此 。
例题 1.2.12
（完整计算 ）
的完整表如下：
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
最后一列全真，所以它是永真式，论证“，所以 ”有效；这不表示 与 等价，它们在 时仍然不同。
的否定恰好在两个值不同时为真：
这是列出双条件为假的两行后得到的“互异”条件。
对于循环蕴含，应避免使用有歧义的链式记号。三个蕴含 、、 迫使三个原子命题的真假值一致，因此精确的等价条件是
这个显式合取写出了需要的两个双条件；不能把 默认为三元连接词。
固定元素 后， 和 都有确定真值。因此，把前面的逻辑恒等式应用于每个元素的成员关系，就能证明相应的集合运算恒等式。对无限定义域使用量词则不同：有限的命题真值表不能枚举所有元素。下一页将用任意元素和经过检验的见证处理这类陈述。
常见错误
（只对上一两行并不够）
如果两个公式只是在某一行，甚至几行里一致，都不足以证明等价。等价要求的是所有可能指派全部一致。
常见错误
（不要把 和 当成同一个记号）
是放进真值表里计算的公式。 则是说两个公式定义同一个 truth function 的陈述。
跟着看一张真值表
选一个公式，看完整真值表中它的那一列。它在全部四个赋值下都为真吗？
| P | Q | P → Q | P ↔ Q | ¬P ∨ Q |
|---|---|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 真 | 假 | 真 |
| 假 | 假 | 真 | 真 | 真 |
灰底一列是 P → Q；加框并加下划线的格，是令它为假的赋值。
不成立：P → Q 是恒真式
反例：(P, Q) = (T, F) 使 P → Q 为假。它在其余 3 个赋值下为真，所以也不是永远为假。
要留意不是恒真式不等于永远为假：该列只要有一个 F 就不是恒真式，其余的 T 仍然成立。
快速检查
（如果一个公式涉及三个命题变量，真值表需要多少行？）
用真假配置数量的规则回答。
需要 行，因为三个变量都可以各自独立取真或假。
快速检查
（为什么 是永真式？）
逐行说明，不要只背结论。
如果 真，那么 因为左边真而成立；如果 假，那么 真，所以析取仍然成立。每一行都是真，因此它是永真式。
快速检查
（ 与 是否逻辑等价？）
指出至少一行让它们表现不同。
不是。例如当 、 时，有 ，但 。它们在这一行不同，所以不等价。
先自行作答，再检查答案。你可以修改后重试。
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