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下一节: 1.1 命题逻辑
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MATH1090 笔记里的内容
- 定理卡
- 78
- 定义
- 61
- 反例
- 1
- 概念视角
- 1
- 思想史
- 2
- 证明透视
- 1
数字只算这门课 23 节公开笔记里写了什么，不是网上已记录的关系。目前其中 0 节已细致地记录到网上。
在网上定理卡 78 · 定义 61 · 反例 1 · 概念视角 1 · 思想史 2 · 证明透视 1
第 1 章 · 3 节
逻辑
处理陈述、连接词与量词的推理工具。
第 2 章 · 2 节
集合与关系
基本的集合语言、函数与关系。
第 3 章 · 5 节
由构造得到的数系
自然数、整数与有理数如何构造，以及 Q 还欠缺什么。
- 3.1
自然数与 Peano 公理
从 Peano 观点认识自然数，并理解后继运算真正代表什么。
- 3.2
归纳法与递归算术
把归纳法当作证明模式，并能读懂 + 和 · 的递归公式而不丢失基本情况。
- 3.3
由等价类构造整数
用自然数对的等价类构造整数，并把每个等价类读成一个有符号数。
- 3.4
有理数与良定运算
把有理数定义成等价类，并检查常用公式不会依赖你选哪个代表元。
- 3.5
Q 的缺口与 sqrt(2)
只用有理数的平方与上界描述 Q 的缺口，不预先假设边界处已有一个实数。
第 4 章 · 6 节
序与完备性
全序、上下界、上确界与下确界，以及 Q 与 R 的完备性差异。
- 4.1
全序与有序域
先把全序与偏序分开，再理解 Z 与 Q 的熟悉次序如何与域运算配合。
- 4.2
上下界、上确界与下确界
分清最大值、最小值与上界、下界，再理解上确界与下确界如何提供真正需要的极值语言。
- 4.3
完备性与 Q 的缺口
用有理条件定义的有界集合，说明有序域的运算性质为何不能保证完备性。
- 4.4
实数公理与第一次近似构造
把实数视为目标中的完备有序域，然后用小数近似建立第一次构造的动机。
- 4.5
Dedekind 分割与 Q 的嵌入
把实数定义成 Q 的左右分割，理解有理分割为何能忠实嵌入 Q，并看清序与运算如何在分割上重建。
- 4.6
小数展开与无理数
把无限小数的直觉转成分割，并用 sqrt(2) 看清无理数如何住在完成后的数系里。
第 5 章 · 3 节
序列与最初的极限理论
序列、Cauchy 收敛，以及函数极限的第一轮 ε-δ 处理。
- 5.1
序列与 epsilon-N 极限
把序列视作定义在 N 上的函数，再透过具体例子学会 ε-N 的收敛定义。
- 5.2
Cauchy 序列与另一个实数模型
理解 Cauchy 序列如何抓住内部收敛，再勾勒有理 Cauchy 序列的等价类如何给出另一个 R 的模型。
- 5.3
Delta-epsilon 极限、极限定律与连续性
由序列极限走向函数极限，学会 ε-δ 定义，并整理第一套判别不存在、极限定律与连续性的工具。
第 6 章 · 3 节
大型集合
基数、可数性、Cantor 定理、选择原则、区间、Cantor 集、稠密性与良序。
- 6.1
基数、可数性与基数不等式
用双射、单射与明确的可数枚举比较有限与无限集合大小。
- 6.2
Cantor 定理、连续统与选择公理
用 Cantor 定理证明幂集严格更大，再把连续统假设与选择公理放入脉络。
- 6.3
区间、Cantor 集、稠密性与良序
研究区间、Cantor 集、稠密性与良序，分清不同的大小与次序概念。
第 7 章 · 1 节
带结构的集合
二元运算，以及建立在集合之上的第一批代数结构。
- 7.1
二元运算、幺半群与群
由纯集合走向二元运算，再用代数公理分清幺半群与群。