MATH1090：集合论

从逻辑与集合建立严谨的数学推理，再构造数系、理解完备性与极限，并比较无穷集合。从命题开始，逐步学会以明确假设组织证明。

1.1 命题逻辑

浏览章节

章节 1

逻辑

处理陈述、连接词与量词的推理工具。

章节 2

基本的集合语言、函数与关系。

章节 3

自然数、整数与有理数如何构造，以及 Q 还欠缺什么。

章节 4

全序、上下界、上确界与下确界，以及 Q 与 R 的完备性差异。

4.1 全序与有序域
先把全序与偏序分开，再理解 Z 与 Q 的熟悉次序如何与域运算配合。
阅读本节
4.2 上下界、上确界与下确界
分清最大值、最小值与上界、下界，再理解上确界与下确界如何提供真正需要的极值语言。
阅读本节
4.3 完备性与 Q 的缺口
精确定义完备性，并用 `sqrt(2)` 下方那个有理数集合看出 Q 仍然有真正的缺口。
阅读本节
4.4 实数公理与第一次近似构造
把实数视为目标中的完备有序域，然后用小数近似建立第一次构造的动机。
阅读本节
4.5 Dedekind cut 与 Q 的嵌入
把实数定义成 Q 的左右分割，理解有理 cut 为何能忠实嵌入 Q，并看清序与运算如何在 cut 上重建。
阅读本节
4.6 小数展开与无理数
把无限小数的直觉转成 cut，并用 sqrt(2) 看清无理数如何住在完成后的数系里。
阅读本节

章节 5

序列、Cauchy 收敛，以及函数极限的第一轮 delta-epsilon 处理。

5.1 序列与 epsilon-N 极限
把序列视作定义在 N 上的函数，再透过具体例子学会 epsilon-N 的收敛定义。
阅读本节
5.2 Cauchy 序列与另一个实数模型
理解 Cauchy 序列如何抓住内部收敛，再勾勒有理 Cauchy 序列的等价类如何给出另一个 R 的模型。
阅读本节
5.3 Delta-epsilon 极限、极限定律与连续性
由序列极限走向函数极限，学会 delta-epsilon 定义，并整理第一套判别不存在、极限定律与连续性的工具。
阅读本节

章节 6

基数、可数性、Cantor 定理、选择原则、区间、Cantor set、稠密性与良序。

6.1 基数、可数性与基数不等式
用双射、单射与明确的可数枚举比较有限与无限集合大小。
阅读本节
6.2 Cantor 定理、连续统与选择公理
用 Cantor 定理证明幂集严格更大，再把 continuum hypothesis 与选择公理放入脉络。
阅读本节
6.3 区间、Cantor set、稠密性与良序
研究区间、Cantor set、稠密性与良序，分清不同的大小与次序概念。
阅读本节

章节 7

二元运算，以及建立在集合之上的第一批代数结构。