5.2 Cauchy 序列与另一个实数模型

上一页用一个已知的极限 $L$ 来定义收敛。这一页要问一个更深的问题：

如果我们还未先知道那个极限是一个现成存在的实数，能否仍然看出一个序列 正在“收敛”？

这个问题把我们带到 Cauchy 序列，也带到实数的第二种构造方式。

为什么需要一个内部的收敛测试？

考虑不断加入更小分数所得到的有理逼近：

$$1,\qquad 1+\frac12,\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2},\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2}+\frac1{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1},\ \ldots$$

准确地说，指标 $n\ge0$ 对应的项是 $x_n=\sum_{k=1}^{n+1}1/k!$。每一项都可以用有理数运算计算。若要指出一个实数极限，还需要存在性论证；单凭这张列表不能完成论证。

因此，我们不先问“它是否接近某个外在的 $L$”，而是先问：

这个序列后面的那些项，是否彼此越来越接近？

在以下有理数构造中，$x_n\in\mathbb Q$、$\varepsilon\in\mathbb Q_{\gt 0}$，且 $N\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$。稍后会明确使用已构造的 Dedekind 实数域来验证完备性。

Cauchy 序列的定义

定义

Cauchy 序列

序列 $(x_n)$ 称为 Cauchy，如果对每个 $\varepsilon\gt 0$，都存在 $N$ 使得当 $n,m\gt N$ 时，

$$|x_n-x_m|\lt \varepsilon.$$

同一个阈值必须对每一对后续指标都有效，即使两个指标相距很远。先固定 $\varepsilon$，再选 $N$，最后考虑任意 $n,m>N$。仅仅让相邻差 $|x_{n+1}-x_n|$ 变小，本身并不能控制一长段尾部两端的距离。

这个定义和普通极限定义有相同的量词骨架，但比较对象变了：

• 在一般收敛定义里，你拿 $x_n$ 去和固定的 $L$ 比较；
• 在 Cauchy 定义里，你拿晚期的 $x_n$ 和 $x_m$ 彼此比较。

所以 Cauchy 序列描述的是：尾部会被压进越来越窄的区域内。

常见错误

Cauchy 不等于单调

Cauchy 序列不一定单调增加，也不一定单调减少。定义只要求晚期各项彼此 接近，并没有要求它必须单方向移动。

例题

不先指出极限，也能控制尾部

对于上面的有理部分和，当 $n>m\ge0$ 时，由 $k!\ge2^{k-1}$ 得到

$$0<x_n-x_m =\sum_{k=m+2}^{n+1}\frac1{k!} \le\sum_{j=m+1}^{n}2^{-j} <2^{-m}\le\frac1{m+1}.$$

严格上界来自有限等比和，而 $2^m\ge m+1$ 可用归纳法证明。给定有理数 $\varepsilon>0$，取自然数 $N>1/\varepsilon$。若 $n,m>N$，必要时交换两者使 $n\ge m$。相同指标的误差为零；否则上式的界小于 $\varepsilon$。因此，在尚未指出极限之前，仅用有理数估计就证明了该序列是 Cauchy 序列。

接下来的构造有三个任务：判断哪些逼近代表同一个数，使运算与代表元选择无关，并证明所得数系完备。

为什么收敛一定推出 Cauchy？

先证明以下命题。

定理

收敛序列一定是 Cauchy 序列

若有理序列 $(x_n)$ 收敛到有理极限 $L$，那么 $(x_n)$ 一定是 Cauchy 序列。

完整证明不长；先把关键思路看清楚。

利用三角不等式的证明

假设 $x_n\to L$，任取 $\varepsilon\gt 0$。

由于 $x_n\to L$，存在 $N$ 使得对所有 $n\gt N$，

$$|x_n-L|\lt \frac{\varepsilon}{2}.$$

那么只要 $n,m\gt N$，由三角不等式得

$$|x_n-x_m| = |(x_n-L)+(L-x_m)| \le |x_n-L|+|x_m-L| \lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon.$$

因此 $(x_n)$ 是 Cauchy。

这个命题表示：真正的收敛一定会令序列尾部压缩起来。

等价的 Cauchy 序列

如果 Cauchy 序列要代表实数，那么两个“其实指向同一点”的序列，应该要 被视作同一个实数。

定义

等价的 Cauchy 序列

两个 Cauchy 序列 $(x_n)$ 与 $(y_n)$ 称为等价，如果对每个 $\varepsilon\gt 0$，都存在 $N$ 使得对所有 $n,m\gt N$，

$$|x_n-y_m|\lt \varepsilon.$$

这表示：两个序列的尾部最终可以彼此靠得任意近。直观上，它们是在描述数 线上的同一个极限点。

下面分别检验自反性、对称性与传递性。其中传递性需要用三角不等式连接两个尾部估计。

等价关系及其同指标形式

有理数三角不等式来自 $-|a|\le a\le|a|$ 与 $-|b|\le b\le|b|$：相加后，和位于 $-(|a|+|b|)$ 与 $|a|+|b|$ 之间，故 $|a+b|\le|a|+|b|$。

上述关系的自反性正是 Cauchy 条件；对称性来自交换指标。证明传递性时，设 $x\sim y$ 且 $y\sim z$。对容差 $\varepsilon/2$ 选共同阈值，再固定一个超过它的 $k$。对任意超过阈值的 $n,m$，

$$|x_n-z_m|\le|x_n-y_k|+|y_k-z_m|\lt \varepsilon.$$

所以该关系是等价关系。它也等价于使用有理容差的条件 $x_n-y_n\to0$。一个方向取 $m=n$；反方向使用

$$|x_n-y_m|\le|x_n-y_n|+|y_n-y_m|$$

并给每项分配一半容差。第二项使用了 $y$ 的 Cauchy 性质。改变有限项不改变等价类，因为可以把阈值增大到所有改动指标之后。不同的有理常数给出不同的类：当 $q\ne r$ 时，容差 $|q-r|/2$ 排除了等价的可能。

用等价类构造 $R$

现在可以把这个想法写成正式定义。

定义

把实数定义为有理 Cauchy 序列的等价类

令 $F$（$R$ 的 Cauchy 模型）为所有有理 Cauchy 序列的等价类所成的集合。这些等价类提供了另 一个实数模型。

这是一个重要的观点转换：

• 在 Dedekind cut 模型里，实数是把 $Q$ 分成左右两边的切割；
• 在 Cauchy 模型里，实数是一整个“彼此不可区分”的逼近序列家族。

两个模型都同样严格，也都在构造同一个实数系统。

有理数如何嵌入这个模型？

还需要说明：在这个构造中，我们应如何理解有理数本身？最自然的答案 是：有理数 $q$ 由常数序列

$$(q,q,q,q,\ldots)$$

所代表。

例题

$1/2$ 的不同代表元

实数 $1/2$ 可以由常数序列

$$\left(\frac12,\frac12,\frac12,\ldots\right)$$

来代表。

它也可以由其他收敛到同一点的有理 Cauchy 序列代表，例如

$$\left(\frac12+\frac11,\frac12+\frac12,\frac12+\frac13,\frac12+\frac14,\ldots\right).$$

第二条序列不是常数，但它的项越来越接近 $1/2$，所以它和常数序列 属于同一个等价类。

因此，一个实数不是某条单独代表序列本身，而是整个等价类。

常见错误

实数本身不是你最喜欢的那个代表序列

在这个模型中，改换到另一条等价的 Cauchy 序列，并不会改变那个实数。代 表序列只是描述方式，不是最终对象本身。

有界性与等价类上的有理运算

这里的序列各项都是有理数，指标属于 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$。在下面明确引入 Dedekind 实数域之前，所有容差都属于 $\mathbb Q_{\gt 0}$，所有阈值都属于 $\mathbb N$。

每个 Cauchy 序列都有界

选 $N_0$ 使超过它的项两两相差小于 $1$，再令 $k=N_0+1$。对每个 $n\gt N_0$，有 $|x_n|\lt |x_k|+1$。有限个较早项 $x_0,\ldots,x_{N_0}$ 的绝对值也有有理上界。取这些界与 $1$ 的最大值，得到有理全局界 $M\ge1$。作为比较基准的 $k$ 必须严格超过 Cauchy 阈值。

例题

有界、无界与非单调序列

有界序列 $x_n=(-1)^n$ 不是 Cauchy 序列。取容差 $1$。给定任意阈值 $N$， 选一个 $m\gt N$ 的偶数和一个 $n\gt N$ 的奇数，就有 $|x_m-x_n|=2\gt1$。所以有界性本身并不能保证 Cauchy 条件。

序列 $x_n=n$ 无界，也不满足 Cauchy 条件：取容差 $1$，相邻的晚期项 $x_{N+1}$ 与 $x_{N+2}$ 的差恰为 $1$。相反，$(-1)^n/(n+1)$ 虽然不单调， 却收敛到零，因此是 Cauchy 序列。这些例子区分了有界性、单调性和定义中 真正要求的尾部条件。

封闭性与代表元无关性

用 $F$ 表示商集。定义

$$[x]+[y]=[(x_n+y_n)],\qquad [x][y]=[(x_ny_n)],\qquad -[x]=[(-x_n)].$$

必须检查封闭性与代表元无关性。对加法，和的差不超过两个原序列的差之和；在共同尾部把每项控制在 $\varepsilon/2$ 以下。对乘法，先给两个序列选有理共同界 $M\ge1$，则

$$|x_ny_n-x_my_m|\le |x_n||y_n-y_m|+|y_m||x_n-x_m| \le M|y_n-y_m|+M|x_n-x_m|\lt \varepsilon$$

只需使每个原序列的差小于 $\varepsilon/(2M)$。因此乘积序列是 Cauchy 序列。取负直接保留绝对差。

若 $x\sim x'$ 且 $y\sim y'$，加法使用相同证明，只需改用不同指标的代表元误差。对乘法，选一个同时控制四个序列的有理界 $M\ge1$。在共同尾部，等价性使每个误差小于 $\varepsilon/(2M)$，于是

$$|x_ny_n-x'_my'_m|\le M|y_n-y'_m|+M|x_n-x'_m|\lt \varepsilon.$$

所以运算良定义。结合律、交换律、分配律逐项由有理数运算得到。常数序列 $0$ 与 $1$ 给出单位元；$(-x_n)$ 给出加法逆元。

例题

每一项非零仍可能代表零类

令 $x_n=1/(n+1)$。每一项都非零，但该序列代表 $[0]$：给定有理容差 $\varepsilon\gt0$，选 $N$ 使 $1/(N+1)\lt\varepsilon$，则对每个 $n\gt N$ 都有 $|x_n|\lt\varepsilon$。逐项取倒数得到 $u_n=n+1$，它不是 Cauchy 序列， 因为在容差 $1$ 下，任意阈值之后的相邻项差都恰为 $1$。因此，仅仅知道每 项非零并不足以取倒数；非零等价类需要最终统一地远离零的下界。

乘法逆元需要统一的正下界

设 $[x]\ne[0]$。必存在有理数 $c\gt 0$ 和自然数 $N$，使每个 $n\gt N$ 都满足 $|x_n|\ge c$。否则，给定有理数 $\varepsilon\gt 0$，先选对应 $\varepsilon/2$ 的 Cauchy 阈值 $N_0$。反设保证存在 $k\gt N_0$ 使 $|x_k|\lt \varepsilon/2$。对每个 $n\gt N_0$，三角不等式给出 $|x_n|\lt \varepsilon$，即 $x\sim0$，矛盾。

当 $n\gt N$ 时定义 $u_n=1/x_n$，较早项取 $0$。倒数序列是 Cauchy 序列，因为超过此阈值后，

$$|u_n-u_m|=\frac{|x_n-x_m|}{|x_nx_m|}\le\frac{|x_n-x_m|}{c^2}\lt \varepsilon$$

只需原序列的差小于有理容差 $c^2\varepsilon$。

为检查代表元无关性，设 $x'\sim x$，并为 $|x'_m|$ 选一个最终成立的有理下界 $d\gt 0$。在共同尾部，

$$\left|\frac1{x_n}-\frac1{x'_m}\right|\le\frac{|x_n-x'_m|}{cd}\lt \varepsilon$$

这是对容差 $cd\varepsilon$ 使用等价性的结果。有限个初始值的选择也无影响。最后，尾部满足 $x_nu_n=1$，故 $[x][u]=[1]$。这就证明了良定义的逆元存在。唯一性来自结合律：若 $ab=ac=1$，则 $b=b(ac)=(ba)c=c$。

次序必须与代表元选择无关

直接要求最终逐项比较不符合这个要求。等价序列 $0$ 与 $1/(n+1)$ 跟零序列的逐项比较不同。我们改为定义

$$[x]\le_F[y]\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon\in\mathbb Q_{\gt 0}\ \exists N\in\mathbb N\ \forall n\gt N,\quad x_n\le y_n+\varepsilon.$$

若代表元换为 $x'$ 与 $y'$，把 $\varepsilon/3$ 分别分配给 $|x'_n-x_n|$、原有次序容差和 $|y_n-y'_n|$。在共同尾部便得到 $x'_n\le y'_n+\varepsilon$。反向更换即可证明代表元无关性。下面通过证明这个关系与此前实数域的次序完全一致，验证所有次序性质。

定理

终点定理：Cauchy 模型就是 Dedekind 实数域

完成下面的验证后，映射

$$\Phi:F\longrightarrow R_D,\qquad \Phi([x])=\lim_{n\to\infty}x_n$$

是保持次序的域同构，并且固定每一个嵌入的有理数。证明明确使用了前面已 构造的 Dedekind 完备有序域 $R_D$，包括其最小上界性质、有理数稠密性和 Archimedean 性质。因此这里是与前面 Dedekind 模型的对应，而不是仅凭 Cauchy 定义从头独立证明完备性。

利用 Dedekind 实数域验证模型

令 $R_D$ 为第 4 章构造的完备有序域。上述商集定义只使用有理数数据；以下完备性验证依赖前面的 Dedekind 构造，并不是从头独立证明完备性。 我们使用 $R_D$ 的最小上界性质和有理数稠密性。正有理容差足以检验实数误差，因为每个正实数容差都有一个更小的正有理数。

有理 Cauchy 序列在 $R_D$ 中收敛

将有界的有理 Cauchy 序列视为 $R_D$ 中的序列，定义

$$\ell_N=\inf_{n\gt N}x_n,\qquad u_N=\sup_{n\gt N}x_n,\qquad L=\sup_{N\in\mathbb N}\ell_N.$$

每个尾部都非空且有界，所以其下确界与上确界存在，而递增、有界的下界序列也有上确界 $L$。对每个 $N$，有 $\ell_N\le L\le u_N$：选一个指标同时超过 $K,N$ 的项，就能看出每个 $\ell_K$ 都不超过 $u_N$。

给定正实数容差 $\eta$，选有理数 $0\lt \rho\lt \eta$，再为 $\rho$ 选 Cauchy 阈值 $N$。固定 $m\gt N$，尾部所有项满足 $x_n\lt x_m+\rho$，故 $u_N\le x_m+\rho$。因此 $u_N-\rho$ 是尾部的下界，故 $u_N-\rho\le\ell_N$，即 $u_N\le\ell_N+\rho$。$L$ 与每个后续的 $x_n$ 都属于 $[\ell_N,u_N]$，所以 $|x_n-L|\le\rho\lt \eta$。这就证明了收敛，并未预先假设 Cauchy 收敛定理。

$R_D$ 中的极限唯一：若不同的 $L,M$ 都是极限，对每个极限取容差 $|L-M|/3$，三角不等式将给出 $|L-M|\lt 2|L-M|/3$，矛盾。

两个模型之间的双射

定义

$$\Phi:F\longrightarrow R_D,\qquad \Phi([x])=\lim_{n\to\infty}x_n.$$

若 $x\sim y$，极限分别为 $L,M$，把任意正实数容差分为三份，在共同尾部控制 $|L-x_n|$、$|x_n-y_n|$、$|y_n-M|$。中间一项使用更小的正有理容差。因此 $|L-M|$ 小于每个正容差，故 $L=M$，映射良定义。反过来，若两者极限都为 $L$，则共同尾部满足 $|x_n-y_m|\le|x_n-L|+|y_m-L|\lt \varepsilon$，故 $x\sim y$，证明了单射性。

对 $r\in R_D$，有理数稠密性给出 $q_n\in\mathbb Q$，使 $|q_n-r|\lt 1/(n+1)$。可用第 4 章的整数夹逼性质明确选择：取唯一整数 $k_n$ 满足 $k_n\le(n+1)r\lt k_n+1$，再令 $q_n=k_n/(n+1)$。Archimedean 性质给出 $q_n\to r$；三角不等式说明 $(q_n)$ 是 Cauchy 序列。因此 $\Phi([q])=r$，证明了满射性。常数序列说明 $\Phi$ 保持嵌入的有理数。

保持运算与次序

设 $x_n\to L$、$y_n\to M$。估计

$$|(x_n+y_n)-(L+M)|\le|x_n-L|+|y_n-M|$$

中，每项分配一半目标容差，即证明保持加法。对乘法，取 $|x_n|$ 的有理界 $B\ge1$，并在 $R_D$ 中令 $K=\max(B,|M|,1)$，则

$$|x_ny_n-LM|\le |x_n||y_n-M|+|M||x_n-L| \le K\bigl(|y_n-M|+|x_n-L|\bigr).$$

对正实数容差 $\eta$，在共同尾部使每个差小于 $\eta/(2K)$。这样直接证明了乘积收敛，没有引用未证明的序列极限定律。因此 $\Phi$ 保持乘法，并通过常数序列保持 $0$ 与 $1$。

若 $L\le M$，对任意有理数 $\varepsilon\gt 0$，选共同尾部使两个极限误差都小于 $\varepsilon/2$。于是 $x_n\lt y_n+\varepsilon$，即 $[x]\le_F[y]$。反过来，若 $[x]\le_F[y]$ 却有 $L\gt M$，选有理数 $0\lt \rho\lt (L-M)/3$。当两个极限误差都小于 $\rho$ 时，得到 $x_n-y_n\gt L-M-2\rho\gt \rho$，与容差 $\rho$ 的次序定义矛盾。因此

$$[x]\le_F[y]\quad\Longleftrightarrow\quad\Phi([x])\le\Phi([y]).$$

转移最小上界性质

这个双射保持运算与次序，所以 $F$ 是有序域。设 $S\subseteq F$ 非空且以 $b$ 为上界。其像在 $R_D$ 中非空且以 $\Phi(b)$ 为上界。令 $t=\sup\Phi(S)$、$s=\Phi^{-1}(t)$。次序保持性说明 $s$ 是 $S$ 的上界。若 $v$ 是 $S$ 的任意上界，则 $\Phi(v)$ 是 $\Phi(S)$ 的上界，所以 $t\le\Phi(v)$，从而 $s\le v$。因此 $s=\sup S$。

至此已验证有理 Cauchy 商集是完备有序域。完备性通过与 Dedekind 模型对应来证明，而商集的定义、代表元检查与逆元估计始终只使用有理数。

快速检查

思考检查

『收敛』与『Cauchy』两个定义的主要分别是什么？

集中在 $x_n$ 是和什么比较。

解答 · 答案

收敛是把晚期项 $x_n$ 和固定的极限 $L$ 比较；Cauchy 则是把晚期项 $x_n$ 和 $x_m$ 彼此比较。

思考检查

在 Cauchy 序列模型中，有理数 q 是怎样出现的？

想想最简单的 Cauchy 序列。

解答 · 答案

它由常数序列 $(q,q,q,q,\ldots)$ 的等价类表示。

思考检查

为什么证明『Cauchy 序列的乘积仍是 Cauchy』时需要有界性？

看 $|x_my_m-x_ny_n|$ 的估计式。

解答 · 答案

因为有界性让我们可以用同一个常数 $M$ 去控制 $|x_m|$ 和 $|y_n|$， 从而把乘积差距化成 $|x_m-x_n|$ 与 $|y_m-y_n|$ 这两个可由 Cauchy 条件 控制的量。

练习

思考检查

证明每条常数有理序列都是 Cauchy。

利用任意两项之差都等于零。

解答 · 引导解答

若对所有 $n$ 都有 $x_n=q$，其中 $q\in Q$，则任意 $n,m$ 都有

$$|x_n-x_m|=|q-q|=0.$$

因此不论给什么 $\varepsilon\gt 0$，任何 $N$ 都可行。故常数有理序 列一定是 Cauchy。

思考检查

设 $q$ 是有理数，$x_n=q+1/(n+1)$。直接证明该序列等价于常数序列 $q$。

写出一个对同一阈值之后每一对指标都成立的界。

解答 · 示范解答

对每个 $n,m$，有 $|x_n-q|=1/(n+1)$。给定有理数 $\varepsilon>0$，取 $N>1/\varepsilon$。每个 $n,m>N$ 都满足 $|x_n-q|<\varepsilon$。序列 $(x_n)$ 收敛到有理数 $q$，所以是 Cauchy 序列；不同指标的比较条件则证明它与常数序列等价。因为另一个代表元是常数，指标 $m$ 不会带来额外误差。

思考检查

序列 $x_n=0$ 与 $y_n=1/(n+1)$ 等价。解释为什么最终逐项比较不能定义等价类上的次序。

比较 $[y]\le[0]$ 与“最终有 $y_n\le0$”这两个陈述。

解答 · 示范解答

因为 $[y]=[0]$，自反性要求 $[y]\le[0]$。但 $y_n>0$ 对每个 $n$ 都成立；换用等价代表元 $x_n=0$，却有每项都满足 $x_n\le0$。最终逐项比较的结果会随代表元改变。本页用容差定义次序，允许在足够后面的尾部出现任意小的正误差，从而解决这个问题。

前置与继续阅读

建议先读 5.1 序列与 epsilon-N 极限 及 4.3 完备性与 Q 的缺口。 之后可接着读 5.3 Delta-epsilon 极限、极限定律与连续性。

完备性验证还使用4.5 Dedekind 分割与有理数嵌入。