4.4 实数公理与第一次近似构造

更大的有序数系需要满足什么？

有理数已经支持加法、减法、乘法和非零除法，次序也与这些运算相容。然而，有理数集合 $S=\{q\in Q:q^2\lt2\}$ 非空且有上界，却在 $Q$ 中没有最小上界。因此，扩大数系时，除了保留有理数的运算，还必须补上这样的界。

完备有序域同时规定了这两项要求。提出这个目标，并不等于已经证明模型存在。下文的 $R$ 暂指一个满足这些公理的模型；Dedekind 构造将只用有理数资料建立这样的模型。

正式目标

定义 4.4.1

（实数模型）

集合 $R$ 称为实数模型，如果它带有：

• 元素 $0,1\in R$；
• 二元运算 $+$ 与 $\cdot$；
• 一个全序 $\le$；

而且满足：

• $(R,0,1,+,\cdot,\le)$ 是有序域；
• $(R,\le)$ 是完备的。

完备性要求每个非空且有上界的子集都有最小上界；等价地，每个非空且有下界的子集都有最大下界。这些界属于所在的域，未必属于子集本身。

定理 4.4.2

（实数的唯一性）

任何两个完备有序域，都存在保持加法、乘法与次序的同构。因此，不同的有效构造都可以视为同一个 $R$ 的模型。

这里陈述唯一性定理，不给出证明。

这个定理解释了为什么不同构造可以代表同一个 $R$。Dedekind 分割和 Cauchy 序列的内部形式很不同；但只要两个构造都满足完备有序域公理，它们在本课程关心的结构上就是同一个实数系统。

例题 4.4.3

（为什么 Q 还不是实数模型）

$Q$ 已经满足有序域那一部分。失败的地方在于完备性。

集合

$$S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}$$

在 $Q$ 中非空而且上有界，却没有有理 supremum。因此 $Q$ 很接近目标，但仍然不是实数系统。

为什么无限小数还不是完整答案

无限小数提供一连串有理截断值，因此适合用来记录近似资料，但这还没有定义数字串之间的相等关系或运算。例如，熟悉的 $0.9999\ldots=1$ 提醒我们：不同数字串可能需要表示同一对象；这个等式的正式证明须待构造完成后才能给出。此外，十进制只是记号的选择，有序域本身不应依赖这种选择。

近似的想法

假设模型 $R$ 及其中的小数表示已经给定，以

$$r=10.234890234809234\ldots$$

为例，可以用有理数从下方与上方逼近它：

$$10\lt r\lt 11,$$ $$10.2\lt r\lt 10.3,$$ $$10.23\lt r\lt 10.24,$$

如此类推。

每增加一位小数，就缩小一个有理区间。最终的构造必须说明：为什么这些有限比较会决定同一条边界。

例题 4.4.4

（由下、由上的有理围栏）

若有一个小数展开 $r=3.1415\ldots$，那前几个有理围栏可以写成

$$3\lt r\lt 4,\qquad 3.1\lt r\lt 3.2,\qquad 3.14\lt r\lt 3.15.$$

每多看一位小数，就得到一个更窄的有理区间去包含 $r$。

把有理数分成左右两边

在这样的模型中，$r$ 决定两个有理数集合：

$$A=\{q\in Q\mid q\lt r\}, \qquad B=\{q\in Q\mid q\ge r\}.$$

这两个集合保存了所有有理数与 $r$ 的比较，而不限于有限次近似。不过，定义仍然使用了 $r$，因此不能单靠它构造 $r$。

若比较规则只用有理数运算，就可以反过来由集合定义新对象。例如，

$$C=\{q\in Q:q\le0\text{ 或 }q^2\lt2\}$$

只用有理数便记录了上述缺口的整个下侧，没有预先使用实数平方根。所有非正有理数都必须包括在内，因为 $S$ 本身并不向下封闭。 Dedekind 分割构造 将把这类下集作为数，并定义其运算。以下先推导任何完备有序域模型都必须满足的性质；这些条件下的推论，并不是模型存在的前提。

不循环地推出 Archimedean 性质

不能把 $R$ 的 Archimedean 性质当作没有说明的事实。它可以从完备性推出。反设自然数集在 $R$ 中有上界。由最小上界原理，它有上确界 $s$。因为 $s-1\lt s$，$s-1$ 不可能是上界，所以存在自然数 $n$ 使 $s-1\lt n$。于是 $n+1\gt s$，这与 $s$ 是上界矛盾。因此自然数在 $R$ 中无上界；对每个 $x\in R$，都存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。

定理 4.4.5

（Archimedean 逼近原理）

对每个 $x\in R$，存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。等价地，对每个 $\varepsilon\gt 0$，存在 $n\in N$ 且 $n\ge1$ 使 $1/n\lt \varepsilon$。这个结论来自完备性，不是先假设小数展开已经构造了实数直线。

例题 4.4.6

（选择有理围栏的宽度）

给定 $\varepsilon\gt 0$，取 $n\gt 1/\varepsilon$，便有 $1/n\lt \varepsilon$。如果一个逼近区间的宽度不超过 $1/n$，它就小于 $\varepsilon$。这说明逐位小数围栏为什么能够任意变窄。

常见错误

（不要把结论当成构造本身）

在还没有证明围栏确定边界以前，就说“取这个实数的小数展开”，会把要构造的对象预先放进论证。应先使用次序和完备性，再用 Archimedean 性质控制逼近宽度。

稠密性与有理围栏

Archimedean 性质不只是抽象的无界性；它能按指定精度在任意实数两侧放置有理数。下一节会把这个网格论证完整写出：先用良序性选择最小整数，再除以正整数，得到有理围栏。这个机制不依赖十进制表示。

定理 4.4.7

（带指定误差的有理逼近）

对每个 $x\in R$ 和 $\varepsilon\gt 0$，存在 $q\in Q$ 使 $|x-q|\lt \varepsilon$。把下文的区间论证应用到 $x-\varepsilon$ 和 $x+\varepsilon$ 即可。

例题 4.4.8

（在指定区间中找有理数）

取 $n=1000$，则 $1/n=0.001\lt 1.42-1.41$。严格大于 $1000(1.41)=1410$ 的最小整数是 $m=1411$，所以 $m/n=1.411$ 严格位于 $(1.41,1.42)$ 内。若误取 $n=100$，得到的会是右端点 $1.42$；这说明网格宽度的严格不等式不可省略。

例题 4.4.9

（为什么仍然需要完备性）

任意两个不同有理数之间都有另一个有理数，即两者的中点。然而， $S=\{q\in Q:q^2\lt2\}$ 仍然没有有理上确界。因此，在给定端点之间找到数，与为每个非空且有上界的集合找到最小上界，是不同的要求。

三歧性、绝对值与误差控制

全序公理给出任意两个实数的三种且仅有三种可能：$x\lt y$、$x=y$ 或 $y\lt x$。特别地，每个实数都正、为零或负；差的符号也决定它位于一个区间的哪一侧。这三种情形既穷尽所有可能，又互相排斥，因此证明可以按符号分类而不遗漏情况。

定理 4.4.10

（有理误差项的三角不等式）

对 $u,v\in Q$（在有序域公理建立后也对 $u,v\in R$），有

$$|u+v|\le |u|+|v|.$$

因此若 $|x-q|\lt\varepsilon$ 且 $|q-r|\lt\delta$，则 $|x-r|\lt\varepsilon+\delta$。

证明第一条时，若 $u+v\ge0$，则 $|u+v|=u+v\le|u|+|v|$，因为 $u\le|u|$ 且 $v\le|v|$。若 $u+v\lt0$，则 $|u+v|=-(u+v)=(-u)+(-v)\le|u|+|v|$，因为 $-u\le|u|$ 且 $-v\le|v|$。两种符号情形涵盖所有可能。对于推论，把 $x-r=(x-q)+(q-r)$，再应用三角不等式：

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|\lt\varepsilon+\delta.$$

这就是网格估计有用的原因：误差会被定量控制，而不只是“看起来很小”。

不隐藏选择的有理网格

稠密性论证可以完全写成明确步骤。给定 $x\lt y$，先取 $n\in N$、$n\ge1$，使 $1/n\lt y-x$。由 Archimedean 性质，严格大于 $nx$ 的整数集合非空；将它平移到 $N$ 后，用 自然数的良序性 取其中最小元 $m$。这条良序性质由归纳法推出，证明列于后面的次序讨论。最小性给出

$$m-1\le nx\lt m.$$

因为 $n>0$，除以 $n$ 不改变不等号方向，于是

$$x\lt\frac mn\le x+\frac1n\lt y.$$

$m/n$ 是有理数，并且严格位于所要求的区间。严格条件 $1/n\lt y-x$ 不可改成非严格条件；否则构造出的分数可能恰好落在 $y$ 上。

例题 4.4.11

（一个三段式逼近问题）

设 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。取 $n>2/\varepsilon$，并把网格构造应用到区间 $(x-\varepsilon/2,x+\varepsilon/2)$，得到有理数 $q$，满足 $|x-q|\lt\varepsilon/2\lt\varepsilon$。若另一个有理数 $r$ 满足 $|q-r|\lt\varepsilon/2$，三角不等式给出 $|x-r|\lt\varepsilon$。所以同一个证明既产生有理近似，也给出替换一个近似时的严格容差。

例题 4.4.12

（有理围栏附近的三歧性检查）

设实数 $x$ 满足 $1.41\lt x\lt1.42$。三歧性说明 $x\lt1.411$、$x=1.411$、 $1.411\lt x$ 恰有一个成立。若第三种成立，$q=1.411=1411/1000$ 是严格位于 $x$ 下方且仍在原区间内的有理数；若第一种成立，则把 $1.41$ 当作下围栏并用更细网格重复。等号情形并不是错误，而是说明有理围栏已经取到了 $x$。保留三种情形，可以避免把严格不等号悄悄换成非严格不等号。

这里的依赖关系是：完备性推出 Archimedean 性质，再推出有理稠密性。最后一步还使用最小整数的选择，以及除以正整数时不等号方向不变。这些结果控制了已给定模型中的近似；要构造模型，仍须定义对象的相等关系、运算和完备的次序，小数记号本身不能建立这些性质。

快速检查

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（Q 缺少哪个性质，所以不能成为实数模型？）

对照上面的正式定义。

解答 · 答案

$Q$ 缺少完备性。它虽然是有序域，但非空且有上界的子集未必在 $Q$ 内有上确界；对偶地，非空且有下界的子集也未必在 $Q$ 内有下确界。

快速检查

（不等式 $10.23<r<10.24$ 告诉了你关于 r 的什么信息？）

用有理近似的语言回答。

解答 · 答案

它把 $r$ 放进一个很窄的有理区间内，也就是给出一个下方的有理近似与一个上方的有理近似去夹住 $r$。

练习

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（设 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。找有理近似 $q,r$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$、$|q-r|<2\varepsilon/3$，并证明 $|x-r|<\varepsilon$。）

两次应用有理稠密性，分别记录两部分误差。

解答 · 参考解答

由有理稠密性可取 $q\in Q$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$。再以 $2\varepsilon/3$ 为容差逼近 $q$，得到 $r\in Q$。三角不等式给出

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{2\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$

两部分容差不必相等；关键是总和不超过所要求的误差范围。论证不需要指定任何小数展开。

快速检查

（假设用无限数字串构造实数。除了为每个数字串指定边界，还需要验证哪些关于相等和运算的性质？）

用 $1.25000\ldots=1.24999\ldots$ 检验相等的含义。

解答 · 参考解答

构造必须把表示同一边界的不同数字串认作同一对象。加法、乘法与次序的结果必须不依赖代表串的选择；还要验证有序域公理与完备性。近似记号很有用，但不能单独建立这些结构性质。

相关笔记

请先读 4.3 完备性与 Q 的缺口。然后继续读 4.5 Dedekind 分割与 Q 的嵌入，那一页会把这里提到的 $Q$ 的左右分割正式变成实数的严格定义。