5.1 序列与 epsilon-N 极限

一个序列即使有很多项接近某个数，仍可能反复偏离它。收敛要求更强的条件：无论指定多小的正误差，所有充分后面的项都必须留在该数附近。 epsilon-N 定义把这个要求写成精确的量词条件。

序列是一个函数，不只是一串数字

很多人第一次见到序列时，会把它理解成像

$$1,2,3,4,\ldots$$

或者

$$1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots$$

这样的列表。这个熟悉观念需要被说得更精确。

定义 5.1.1

（集合中的序列）

设 $X$ 是一个集合。$X$ 中的一个序列，就是一个函数

$$N\to X.$$

若 $n\in N$ 的像记作 $x_n$，我们就把这个序列记作 $(x_n)$。

所以，一个序列未必一定由某条简单公式产生。正式要求只有一个：每个自然数 $n$ 都要对应到 $X$ 中某个元素 $x_n$。

定义 5.1.2

（有理序列与实序列）

有理数序列是映射 $N\to Q$。实数序列是映射 $N\to R$。

这个函数观点之所以重要，是因为它提醒你：序列有定义域、目标集合，也有索引变量。$...$ 只是非正式缩写，不是数学定义本身。

控制整段尾部的容差

索引表示一项在序列中的位置。阈值 $N$ 把有限的初始段与其后整段尾部分开。要表达序列趋近 $L$，就要求每个正容差都对应某个阈值，使其后所有项与 $L$ 的距离都小于该容差。

正式定义

定义 5.1.3

（实数序列的极限）

一个实数序列 $(x_n)$ 的极限是 $L\in R$，如果对每个正实数 $\varepsilon\gt0$，都存在 $N\in N$ 使得当 $n\gt N$ 时，

$$|L-x_n|\lt\varepsilon.$$

在这种情况下，我们写作

$$L=\lim_{n\to\infty}x_n$$

或者说 $(x_n)$ 收敛到 $L$。

量词的次序决定各项选择可以依赖哪些先前条件：

$$\lim_{n\to\infty}x_n=L \iff \forall \varepsilon\gt0\ \exists N\in N\ \forall n\gt N,\ |x_n-L|\lt\varepsilon.$$

怎样正确阅读这串量词

把定义拆开之后，会清楚很多。

1. $\forall \varepsilon\gt0$：不是只要对某一个误差带成立，而是对每一个正误差带都要成立。
2. $\exists N\in N$：当别人先指定了 $\varepsilon$ 之后，你可以按这个 $\varepsilon$ 去选一个尾部起点 $N$。
3. $\forall n\gt N$：一旦越过这个 $N$，之后每一项都要留在该误差带内。

因此，收敛是一个关于尾部的陈述。前面有限多项可以表现得很差，问题不大；关键在于足够后面的项有没有稳定地留在 $L$ 附近。

常见错误

（N 可以依赖 epsilon，但不可以依赖 n）

证明收敛时，你可以在给定 $\varepsilon$ 之后选 $N$。但一旦 $N$ 定了，不等式就要对所有 $n\gt N$ 同时成立。你不可以对不同的 $n$ 再另外挑不同的 $N$。

定义使用严格不等式 $n\gt N$。如果某个估计在整数 $K≥1$ 且 $n≥K$ 时成立，取 $N=K$ 就安全，因为 $n\gt N$ 会推出 $n≥K+1≥K$。如果估计需要 $n\gt K$，就选择满足 $N≥K$ 的整数 $N$。$N$ 可以在给出 $\varepsilon$ 后选择，但不能等看到后来的 $n$ 才选择。

第一个例子：$1/n \to 0$

基本例子是以下序列

$$\frac11,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots$$

的极限是 $0$。

例题 5.1.4

（证明 $\lim\limits_{n\to\infty} 1/n = 0$）

这里取 $n≥1$，所以即使课程约定把 0 包含在 $N$ 中，倒数也有定义。任取 $\varepsilon\gt0$。我们想要

$$\left|\frac1n-0\right|\lt\varepsilon,$$

也就是

$$\frac1n\lt\varepsilon.$$

这只要在

$$n\gt\frac1\varepsilon$$

时便成立。

Archimedean 性质 保证存在自然数 $N$ 使 $N\gt1/\varepsilon$。则每当 $n\gt N$，

$$\left|\frac1n-0\right|=\frac1n\lt\varepsilon.$$

故

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

这就是最典型的极限证明套路：先由 $|x_n-L|$ 出发，把它化简，再迫使 $n$ 足够大。

第二个例子：$\frac{5n+2}{3n-7} \to \frac53$

下面的有理式例子需要同时控制分母和误差。

例题 5.1.5

（证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53$）

先计算

$$\left|\frac{5n+2}{3n-7}-\frac53\right| = \left|\frac{3(5n+2)-5(3n-7)}{3(3n-7)}\right| = \left|\frac{41}{3(3n-7)}\right|.$$

当 $n$ 足够大时，分母为正，所以

$$\left|\frac{41}{3(3n-7)}\right|=\frac{41}{3(3n-7)}.$$

再取 $N$ 足够大，使得 $n\gt N$ 时有 $3n-7\ge 2n$。于是

$$\frac{41}{3(3n-7)}\le \frac{41}{6n}.$$

所以只要再令

$$\frac{41}{6n}\lt\varepsilon$$

便足够。

换言之，我们可以把 $N$ 取得更大，令 $n\gt N$ 时同时满足 $3n-7\ge 2n$ 与 $n\gt41/(6\varepsilon)$。那么

$$\left|\frac{5n+2}{3n-7}-\frac53\right|\lt\varepsilon.$$

因此

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n-7}=\frac53.$$

虽然这个例子的代数计算较长，但逻辑结构和 $1/n$ 完全一样：把误差项改写成一个随 $n$ 变大而变小的量。

怎样设计 epsilon 阈值

有理式例子要求同一个尾部同时满足两个条件：分母估计 $3n-7≥2n$ 要求 $n≥7$，误差估计要求 $n>41/(6\varepsilon)$。给定 $\varepsilon>0$，取整数

$$N\ge\max\left(7,\frac{41}{6\varepsilon}\right).$$

于是每个 $n>N$ 同时满足两个条件，故 $41/(6n)<\varepsilon$。证明的依赖次序是：先推导估计，再为所有限制选一个阈值，最后验证任意后续指标。

索引约定也很重要。$1/n$ 在 $n≥1$ 时有定义。若要把它写成定义在 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ 上的序列，就另行指定 $n=0$ 的值。有限个初始值的改变不影响收敛。

例题 5.1.6

（有限前缀与相同尾部）

令 $x_0=100$，而 $n≥1$ 时 $x_n=1/n$。给定 $\varepsilon>0$，取整数 $N>1/\varepsilon$ 且 $N≥1$。每个 $n>N$ 都满足 $|x_n|=1/n<\varepsilon$；特殊的第一项位于阈值之前。因此 $x_n→0$。

常数序列

对常值序列 $x_n=0$，极限可以直接看出。

例题 5.1.7

（常数序列收敛到其常数值）

若对所有 $n$ 都有 $x_n=0$，那么对每个 $\varepsilon\gt0$，

$$|x_n-0|=0\lt\varepsilon$$

对所有自然数 $n$ 都成立。

因此任何自然数都可以当作 $N$，所以

$$\lim_{n\to\infty}x_n=0.$$

从几何角度看收敛

若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L$，那就表示不论你在 $L$ 周围画一个多窄的误差带，序列的尾部最终都会整段留在这个带内。

等价地说：

• 你可以容许有限多个初始项不受控制；
• 但在某个位置之后，序列不能再反复跑出 $\varepsilon$-带外。

这就是为什么“有很多项接近 $L$”仍然不够。收敛要求的是：所有充分后面的项都要接近 $L$。

图：收敛不只表示“看见一些项靠近 $L$”。真正的要求是：从某个足够大的 $N$ 之后，整条尾部都要留在所选的 $\varepsilon$ 带内。

互动地比较尾部行为

在下图中，先选择序列和容差 $\varepsilon$，再移动 $N$ 来检验所选尾部。图中的带符号误差 $x_n-L$ 显示哪些项落在开带 $-\varepsilon\lt x_n-L\lt\varepsilon$ 内。观察满足 $n\gt N$ 的项，并把图形与配套的代数说明对照：有限图形用来展示尾部，而估计必须保证每一个后续项都满足要求。

序列极限的证明工具

定义控制的是尾部，因此只要把尾部写清楚，就能得到几个重要结论。

定理 5.1.8

（极限唯一）

一个实数序列不能收敛到两个不同的极限。假设 $x_n→L$ 和 $x_n→M$，且 $L≠M$。取

$$\varepsilon=\frac{|L-M|}{3}\gt0.$$

当 $n$ 足够大时，同时有 $|x_n-L|\lt\varepsilon$ 和 $|x_n-M|\lt\varepsilon$。三角不等式给出

$$|L-M|\le |L-x_n|+|x_n-M|\lt2\varepsilon=\frac{2|L-M|}{3},$$

矛盾。因此极限若存在就必定唯一。

定理 5.1.9

（每个收敛序列都有界）

若 $x_n→L$，则存在实数 $m$、$M$ 使所有项满足 $m≤x_n≤M$。用 $\varepsilon=1$ 选择 $N$，使 $n\gt N$ 时有 $L-1\lt x_n\lt L+1$。满足 $n≤N$ 的项只有有限多个，因此有最小值 $m_0$ 和最大值 $M_0$。取

$$m=\min(m_0,L-1),\qquad M=\max(M_0,L+1)$$

就同时控制有限初始段和尾部。

定理 5.1.10

（绝对值保留极限）

若 $x_n→L$，则 $|x_n|→|L|$。反三角不等式是

$$\bigl||x_n|-|L|\bigr|\le |x_n-L|.$$

给定 $\varepsilon$ 时，使用控制 $|x_n-L|\lt\varepsilon$ 的同一个阈值即可，因为上式直接把估计传给绝对值。

例题 5.1.11

（推导两个三角不等式）

把三角不等式用于 $(x-y)+(y-z)$，得到

$$|x-z|=|(x-y)+(y-z)|\le |x-y|+|y-z|.$$

对于反三角不等式，把三角不等式用于 $x=(x-y)+y$ 并整理：

$$|x|\le |x-y|+|y|\quad\Longrightarrow\quad |x|-|y|\le |x-y|.$$

交换 $x$、$y$ 得到 $|y|-|x|≤|x-y|$；合并两式正好得到 $\bigl||x|-|y|\bigr|≤|x-y|$。

序列极限的代数运算

基本例子建立后，极限定律让我们把它们组合起来。证明也说明为什么同一个阈值必须同时控制每个误差。

定理 5.1.12

（序列的和与积定律）

若 $x_n\to L$ 且 $y_n\to M$，则 $x_n+y_n\to L+M$ 且 $x_ny_n\to LM$。

证明。 对于和，把每个误差控制在 $\varepsilon/2$ 以下，再在共同尾部使用三角不等式。对于乘积，先对 $x_n\to L$ 使用容差 $1$，取得固定的界 $|x_n|<|L|+1=:A$。令 $B=\max(1,|M|)$。给定 $\varepsilon>0$，选一个共同尾部，使

$$|y_n-M|<\frac{\varepsilon}{2A},\qquad |x_n-L|<\frac{\varepsilon}{2B}.$$

现在，对超过阈值的同一个任意 $n$，全部估计都成立，所以

$$|x_ny_n-LM| \le |x_n||y_n-M|+|M||x_n-L| <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$

预先取得的界，防止因子 $x_n$ 不受控制地放大小误差；使用 $B$ 也涵盖 $M=0$ 的情形。

定理 5.1.13

（非零极限的倒数）

若 $x_n\to L$ 且 $L\ne0$，则在倒数有定义的尾部上有 $1/x_n\to1/L$。

证明。 先取尾部使 $|x_n-L|<|L|/2$。于是 $|x_n|>|L|/2$，并且

$$\left|\frac1{x_n}-\frac1L\right| =\frac{|x_n-L|}{|x_n||L|} \le\frac{2|x_n-L|}{|L|^2}.$$

给定 $\varepsilon>0$，再增大阈值，使 $|x_n-L|<\varepsilon|L|^2/2$ 同时成立。这样误差就小于 $\varepsilon$，而每一步除法都有先前的正下界作为依据。

例题 5.1.14

（应用序列定律）

对于 $n\ge1$，和定律给出 $1+1/n\to1$。把 $(1+1/n)/n$ 写成 $(1+1/n)(1/n)$，乘积定律便给出它趋于零。这两个结论都使用已证明的 $1/n\to0$，并保留明确的定义域。

更多例子：比较、振荡与增长

例题 5.1.15

（比较两个有理式极限）

对

$$x_n=\frac{5n^2+n+7}{n^3+3n^2+3n+1},$$

当 $n≥1$ 时，分母至少是 $n^3$，而 $5n^2+n+7≤13n^2$，所以

$$0\le x_n\le\frac{13n^2}{n^3}=\frac{13}{n}.$$

给定 $\varepsilon\gt0$，选取整数 $N\gt13/\varepsilon$，则 $n\gt N$ 时 $|x_n|\lt\varepsilon$，因此 $x_n→0$。

再看一个分子含有振荡项的有理式：

$$y_n=\frac{n^2-(-1)^n n-13}{n^2+n+1}.$$

减去 1 后

$$y_n-1=\frac{-(-1)^n n-n-14}{n^2+n+1}.$$

利用 $|(-1)^n|=1$，对 $n≥1$ 有

$$|y_n-1|\le\frac{2n+14}{n^2}\le\frac{16}{n}.$$

取 $N\gt16/\varepsilon$，便得到 $y_n→1$。

例题 5.1.16

（序列 $2^n$ 没有有限极限）

对所有 $n≥0$，归纳可得 $2^n≥n+1$：$n=0$ 时成立；若对 $n$ 成立，则 $2^{n+1}=2·2^n≥2(n+1)≥n+2$。所以 $2^n$ 无界。收敛的实数序列必定有界，因此 $2^n$ 不会收敛到任何实数。

例题 5.1.17

（有理化 $\sqrt{n+1}-\sqrt n$）

当 $n≥1$ 时，

$$0\lt\sqrt{n+1}-\sqrt n =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \le\frac{1}{\sqrt n}.$$

给定 $\varepsilon\gt0$，取整数 $N\gt1/\varepsilon^2$。当 $n\gt N$ 时 $1/\sqrt n\lt\varepsilon$，所以 $\sqrt{n+1}-\sqrt n\to0$。

例题 5.1.18

（离散极限 $n^2/4^n$）

当 $n≥4$ 时，归纳可证明 $n≤2^{n/2}$。初始情况是 $4≤4$；若对 $n≥4$ 成立，因为 $(n+1)/n≤5/4\lt\sqrt2$，便有 $n+1≤2^{(n+1)/2}$。因此

$$0\le\frac{n^2}{4^n}\le\frac{2^n}{4^n}=2^{-n}.$$

前面的归纳估计 $2^n\ge n+1$ 给出 $2^{-n}\le1/(n+1)$。给定 $\varepsilon\gt0$，取整数 $N>\max(4,1/\varepsilon)$。当 $n>N$ 时， $2^{-n}\le1/(n+1)<\varepsilon$，从而 $n^2/4^n→0$。

例题 5.1.19

（有限项的改变不影响极限）

如果两个序列在所有 $n\gt N_0$ 时相同，而其中一个收敛到 $L$，给定 $\varepsilon$ 后取原来的阈值，再把它扩大到超过 $N_0$。两条尾部完全相同，因此有相同估计，另一个序列也收敛到 $L$。

快速检查

快速检查

（在 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L$ 的定义里，N 的角色是什么？）

用“尾部”的语言回答。

解答 · 答案

$N$ 是尾部开始的位置。它保证：从 $N$ 之后，每一项都必须落在所选 $\varepsilon$-带内。

快速检查

（为什么把一个收敛序列的头十项改掉，不会破坏其收敛性？）

想想定义真正控制的是哪些索引。

解答 · 答案

因为收敛只要求某个 $N$ 之后的所有项满足条件。改动有限多个起始项，不会改变那段尾部的最终行为。

练习

快速检查

（把序列极限的定义完整写成符号形式。）

不要漏掉量词次序。

解答 · 引导解答

符号形式是

$$\lim_{n\to\infty}x_n=L \iff \forall \varepsilon\gt0\ \exists N\in N\ \forall n\gt N,\ |x_n-L|\lt\varepsilon.$$

量词的次序很重要：先给 $\varepsilon$，再选 $N$，最后检查所有 $n\gt N$。

快速检查

（直接用定义证明 $\lim\limits_{n\to\infty} 1/(2n)=0$。）

把它和 $1/n$ 的证明对照。

解答 · 引导解答

任取 $\varepsilon\gt0$。我们要

$$\left|\frac1{2n}-0\right|=\frac1{2n}\lt\varepsilon.$$

这在 $n\gt1/(2\varepsilon)$ 时成立。故只要取自然数 $N$ 使 $N\gt1/(2\varepsilon)$，那么当 $n\gt N$ 时就有 $1/(2n)\lt\varepsilon$。所以 $1/(2n)\to 0$。

快速检查

（为什么『有无限多项接近 L』仍不足以推出收敛？）

把“无限多项”和“所有充分后面的项”作比较。

解答 · 引导解答

因为收敛要求整段尾部都接近 $L$，而不只是某个无穷子列接近 $L$。一个序列可以无限多次走近 $L$，同时又在之后的其他索引反复跑远。

前置与继续阅读

建议先读 4.6 小数展开与无理数 及 4.3 完备性与 Q 的缺口。之后可接着读 5.2 Cauchy 序列与另一个实数模型。