4.2 上下界、上确界与下确界

动机

集合一旦带有次序，边界问题就无法回避：集合本身有没有最大元素？若没有， 环境有序集里是否仍有一个最精确的上方边界？又要满足什么条件，才能保证这个 边界确实存在？这些是不同的问题，各自有不同的量词。

这种区分是理解完备性的基础。次序关系只说明已经存在的元素如何比较，并不会 自动保证每个有界集合都有最小上界或最大下界。supremum 与 infimum 为这些边界 给出精确定义；本课程后面证明的 $R$ 的完备性，则保证 $R$ 中适当的非空有界子集 确实有这类边界。

可以先记住下面的层次：

• maximum 与 minimum 必须是集合内的元素；
• upper bound 与 lower bound 只须属于环境有序集；
• 有界性只断言至少存在一个相应的界；
• supremum 与 infimum 进一步断言存在一个最好的界。

界所需的次序语言

定义

偏序集与全序集

若关系 $\le$ 在集合 $X$ 上满足自反性、反对称性与传递性，则 $(X,\le)$ 称为 偏序集。若它还满足全可比性，即对任意 $x,y\in X$，都有 $x\le y$ 或 $y\le x$，则称为全序集（或线性序集）。

上下界、上确界与下确界的定义在偏序集中已有意义；后面的逼近判据则需要全序。

定义

最大值、最小值、上界、下界与有界性

设 $Y\subseteq X$，其中 $(X,\le)$ 是偏序集。

• 若 $m\in Y$ 且 $(\forall y\in Y)\,y\le m$，则 $m$ 是 $Y$ 的最大值；
• 若 $n\in Y$ 且 $(\forall y\in Y)\,n\le y$，则 $n$ 是 $Y$ 的最小值；
• 若 $u\in X$ 且 $(\forall y\in Y)\,y\le u$，则 $u$ 是 $Y$ 的上界；
• 若 $\ell\in X$ 且 $(\forall y\in Y)\,\ell\le y$，则 $\ell$ 是 $Y$ 的 下界；
• 若 $(\exists u\in X)(\forall y\in Y)\,y\le u$，则称 $Y$ 在 $X$ 中 上有界；若 $(\exists\ell\in X)(\forall y\in Y)\,\ell\le y$，则称 $Y$ 在 $X$ 中下有界。

所以，“上界”指某个具体元素；“上有界”则是至少存在一个上界的存在命题。它还 没有断言最小上界存在。

环境集合 $X$ 是每个陈述的一部分。例如，同一个有理数子集可能在 $Q$ 中上有界 却没有上确界，而把它视为 $R$ 的子集时却有上确界。

上确界与下确界

定义

上确界与下确界

设 $Y$ 是偏序集 $X$ 的非空子集。

• 若元素 $s\in X$ 满足 $(\forall y\in Y)\,y\le s$，并且对 $Y$ 的每个上界 $u\in X$ 都有 $s\le u$，则 $s$ 是 $Y$ 的上确界，记作 $s=\sup_X(Y)$；
• 若元素 $t\in X$ 满足 $(\forall y\in Y)\,t\le y$，并且对 $Y$ 的每个下界 $\ell\in X$ 都有 $\ell\le t$，则 $t$ 是 $Y$ 的下确界，记作 $t=\inf_X(Y)$。

环境集合明确时，可以简写成 $\sup(Y)$ 与 $\inf(Y)$。

做题时应分开三个逻辑步骤：先写候选值必须满足的定义；再验证集合上有界或下有 界；最后说明最好的界为什么存在于环境集合中。一般有序域并不提供第三步：$Q$ 是有序域，却不完备。对于 $R$，后面的完备性定理保证每个非空上有界子集有上确 界，也保证每个非空下有界子集有下确界。

唯一性以及与最大值、最小值的关系

定理

一个集合至多只有一个上确界与一个下确界

若 $Y\subseteq X$ 有上确界，则上确界唯一；若它有下确界，则下确界也唯一。

若 $s,s'$ 都是 $Y$ 的上确界，因为 $s$ 是上界，而 $s'$ 不大于任何上界，所以 $s'\le s$。交换二者得到 $s\le s'$，再由反对称性得到 $s=s'$。把不等号方向 全部反转，就得到下确界的结论。

最大值一定给出上确界，但“属于集合”这一条件不可省略。若 $m=\max(Y)$，则 $m\in Y$，且每个 $y\in Y$ 都满足 $y\le m$，所以 $m$ 是上界。若 $u$ 是任意 上界，因为 $m\in Y$，把上界定义应用到 $m$ 就得到 $m\le u$。因此 $m$ 是最小 上界，即 $\sup(Y)=m$。对偶地，若 $n=\min(Y)$，则 $n$ 是下界；每个下界 $\ell$ 都因 $n\in Y$ 而满足 $\ell\le n$，故 $\inf(Y)=n$。反过来，若上确界 属于 $Y$，它就是最大值；若下确界属于 $Y$，它就是最小值。

上下确界的对偶逼近判据

定理

上确界与下确界的次序判据和 epsilon 判据

设 $Y$ 是全序集 $X$ 的非空子集。

• 对 $s\in X$，$s=\sup_X(Y)$ 当且仅当 $(\forall y\in Y)\,y\le s$，并且 $(\forall u\in X)(u\lt s\Rightarrow(\exists y\in Y)\,u\lt y\le s)$；
• 对 $t\in X$，$t=\inf_X(Y)$ 当且仅当 $(\forall y\in Y)\,t\le y$，并且 $(\forall v\in X)(t\lt v\Rightarrow(\exists y\in Y)\,t\le y\lt v)$。

若 $X=F$ 是有序域，则上述条件分别等价于相同的上界或下界条件，再加上

• $(\forall\varepsilon\in F)(\varepsilon>0\Rightarrow (\exists y\in Y)\,s-\varepsilon\lt y\le s)$；
• $(\forall\varepsilon\in F)(\varepsilon>0\Rightarrow (\exists y\in Y)\,t\le y\lt t+\varepsilon)$。

上确界的陈述是说：严格小于 $s$ 的元素都不再是上界。下确界的陈述则是说：严格 大于 $t$ 的元素都不再是下界。epsilon 形式只是利用有序域的加法结构重写同一件 事。它们能判断一个候选值，却不能单凭自身为每个有界集合制造上确界或下确界。

为什么两组对偶逼近判据等价

先设 $s=\sup(Y)$ 并取 $u\lt s$。若 $u$ 是上界，最小性会给出 $s\le u$，矛盾。 因此有 $y\in Y$ 不满足 $y\le u$。由全可比性得到 $u\lt y$，而上界性质又给出 $y\le s$。

反过来，假设所写的上方逼近条件成立，并令 $b$ 是任意上界。全可比性给出 $b\lt s$ 或 $s\le b$。第一种情形会产生 $y\in Y$ 使 $b\lt y$，与 $b$ 是上界矛盾， 所以必有 $s\le b$，即 $s=\sup(Y)$。

下确界完全对偶。设 $t=\inf(Y)$ 且 $v\gt t$。若 $v$ 是下界，最大性会给出 $v\le t$，矛盾；所以某个 $y\in Y$ 不满足 $v\le y$。由全可比性得 $y\lt v$， 同时有 $t\le y$。反过来，若下方逼近条件成立，并取任意下界 $a$，全可比性给出 $t\lt a$ 或 $a\le t$。第一种情形会产生 $y\in Y$ 使 $y\lt a$，与 $a\le y$ 矛盾。因此每个下界 $a$ 都满足 $a\le t$，故 $t=\inf(Y)$。

在有序域中，分别代入 $u=s-\varepsilon$ 与 $v=t+\varepsilon$，就得到 epsilon 形式。反过来，对 $u\lt s$ 取 $\varepsilon=s-u\gt 0$；对 $v\gt t$ 取 $\varepsilon=v-t\gt 0$，epsilon 形式便准确还原两个次序判据。

一套可靠的证明流程

定义虽然很短，但严谨的确界证明应把逻辑层次明确写出。可以先把所有界组成的集合 记为

$$U_X(Y)=\{u\in X:(\forall y\in Y)\,y\le u\}, \qquad L_X(Y)=\{\ell\in X:(\forall y\in Y)\,\ell\le y\}.$$

于是，$Y$ 上有界恰好表示 $U_X(Y)$ 非空，而上确界存在则表示 $U_X(Y)$ 有最小值。 同理，下有界只表示 $L_X(Y)$ 非空，下确界存在则表示 $L_X(Y)$ 有最大值。这个写法 直接揭示了“至少有一个界”与“有一个最好的界”之间的差距。

要证明某个候选元素是上确界，可以稳定地按以下四步进行。

1. 确定环境。 写明环境有序集，并验证候选值属于它。一个不是有理数的实数候选， 即使在数轴图像上很自然，也不能成为 $Q$ 内的上确界。
2. 证明上界部分。 任取集合元素，证明它不大于候选值。只列出前几项、画图或说明 变化趋势，都不能代替这个全称命题。
3. 证明最小性。 可以任取一个上界，再证明候选值不大于它；也可以证明每个严格 更小的环境元素都会被某个集合元素超过。在有序域中，后一方法通常写成 epsilon 论证。见证元素可以依赖所取的较小元素或 epsilon，不需要同一个元素对所有选择 同时有效。
4. 指出存在性的来源。 若已直接证明某个明确候选满足定义的两部分，就已经为这个 集合证明了存在性。若尚未构造候选，单靠有界性并不够，除非可以调用完备性定理。

处理下确界时，要反转每个不等号和方向词：先证明候选值不大于每个集合元素，再 证明任意下界不大于候选值。在 epsilon 论证中，要在 $t+\varepsilon$ 的下方 找到集合元素，而不是在 $t-\varepsilon$ 的上方寻找。先写清两条界条件，再作符号 变换，可以避免只反转论证的一半。

量词的否定也不能含糊。说 $u$ 不是上界，意思是存在 $y\in Y$ 不满足 $y\le u$， 而不是我们暂时不知道 $u$ 是否为上界。在全序中，这等价于找到 $y$ 使 $u\lt y$。对偶地，$v$ 不是下界意味着存在 $y\in Y$ 使 $y\lt v$。逼近证明正是 在这一步使用全可比性。

非空条件也不是装饰。对空集而言，“每个集合元素都不大于候选值”和“每个集合元素 都不小于候选值”都是空真命题，所以它的上界集与下界集都是整个环境集合；这些界集 是否有极值取决于环境次序。因此标准完备性公理特意只讨论非空子集。

反转次序所揭示的对偶性

上述定理总是同时有 supremum 与 infimum 两个版本，并非巧合。若把 $X$ 上的次序 反转，上界变成下界，最小变成最大，maximum 变成 minimum，supremum 也变成 infimum。因此，只使用次序关系的证明，可以通过反转所有不等号得到对偶证明。

在有序域中，取负号具体实现了这种反转：由 $a\le b$ 可得 $-b\le-a$。所以 $B$ 的下界与 $-B$ 的上界一一对应。最后一道练习把这个观察写成完整的存在性证明与 恒等式，并明确记录使用 $R$ 的完备性的那一步。

例题

例题

Z 中的有限集合

设 $Y=\{1,2,3\}\subseteq Z$。它的最大值是 $3$，最小值是 $1$。每个不小于 $3$ 的整数都是上界，每个不大于 $1$ 的整数都是下界。由最大值与最小值的结论， $\sup(Y)=3$ 且 $\inf(Y)=1$。

例题

开区间 (0,1)

设 $Y=(0,1)\subseteq R$。$1$ 是上界。若 $u\lt1$，取 $y=\max\{(u+1)/2,1/2\}$，则 $y\in(0,1)$ 且 $u\lt y$，所以 $u$ 不是上界；因此 $\sup(Y)=1$。对偶地，$0$ 是下界；若 $v\gt 0$，取 $y=\min\{v/2,1/2\}$，则 $y\in(0,1)$ 且 $y\lt v$，所以 $\inf(Y)=0$。

两个边界都不属于 $Y$，因此这个区间既没有最大值，也没有最小值。

例题

正有理数的下确界

设 $Q_{\gt 0}=\{q\in Q:q\gt 0\}$。$0\in Q$ 是下界。再令 $\ell\in Q$ 是任意下界。 若 $\ell\gt 0$，则 $\ell/2\in Q_{\gt 0}$，但下界定义会要求 $\ell\le\ell/2$，产生矛盾。所以每个下界都满足 $\ell\le0$；而 $0$ 本身就是下界， 故 $\inf_Q(Q_{\gt 0})=0$。

它没有最小值，因为对每个 $q\in Q_{\gt 0}$，$q/2$ 仍是正有理数且严格小于 $q$。 这就严谨地展示了 infimum 与 minimum 的差别。

常见错误

常见错误

把定义、有界性与存在性混为一谈

找到一个上界只证明集合上有界，并没有找出最小上界；在不完备的环境有序域中， 它甚至不能保证最小上界存在。

常见错误

忘记环境有序集

$\sup(Y)$ 总是相对于某个环境有序集而言。同一边界可能存在于 $R$，却不属于 $Q$。 只要更换环境会影响存在性，就应明确写出环境集合。

常见错误

在偏序集中直接使用逼近判据

上确界与下确界的定义适用于偏序集，但这里的严格逼近等价式使用了全可比性。没有 全可比性时，“不小于”不能自动改写成“严格大于”。

完备性需要精确的有界条件

最小上界原理是一个带有两个假设的存在性命题，而且两个假设都重要：

定理

最小上界原理

有序域 $F$ 完备，是指每个非空且在 $F$ 中有上界的子集 $Y\subseteq F$ 都在 $F$ 中有上确界。对非空且有下界的集合则有对偶的 下确界结论。这个定理不为空集指定上确界，也不为所选环境中没有上界的 集合指定上确界。

环境域不能省略。令

$$Y=\{q\in Q:q^2\lt 2\text{ 且 }q\gt 0\}.$$

$Y$ 在 $Q$ 中非空且有上界（例如 $2$），但它的边界不是有理数；把同一 集合看作 $R$ 的子集时才有上确界。因此“有界”和“有上确界”都必须说明 环境集合。

几何和与有限集合的上确界

这些定义不仅适用于区间，也适用于无限集合。下面的例子值得仔细研究：它 是有限和的无限像，而且它的上确界并不属于集合本身。

例题

上确界为 2 的几何和像集

定义 $f:N\to Q$：

$$f(n)=\sum_{k=0}^{n}2^{-k}=2-2^{-n}, \qquad Y=f(N).$$

有限几何和公式（也可以从 $f(0)=1$ 与 $f(n+1)=f(n)+2^{-(n+1)}$ 用归纳法得到）给出上式。由于 $2^{-n}>0$， 每个 $f(n)<2$，所以 $2$ 是 $Q$ 中的上界。证明它是最小上界时，取任意 $q<2$，把 $\varepsilon=2-q$ 写成 $a/b>0$，其中 $a,b$ 是正整数。取 $n>b$，由归纳法得到 $2^n>n$，从而

$$2^{-n}<\frac1n<\frac1b\le\frac ab=\varepsilon.$$

因此 $f(n)=2-2^{-n}>2-\varepsilon=q$。每个小于 $2$ 的有理数都能被 $Y$ 中某个元素击败，所以次序逼近准则给出 $\sup_Q(Y)=2$。另外 $f(n+1)>f(n)$，故 $Y$ 没有最大元；它的最小元是 $f(0)=1$。这个例子 提醒我们：有序域中可以有一个有界集合，其上确界不被取到；与此同时， $Q$ 仍会在有理 $\sqrt{2}$ 集合等其他例子上失败完备性。

第二个题型只使用偏序公理，不能偷偷换成需要任意两元素可比较的论证。

定理

二元上确界推出非空有限集的上确界

设 $(S,\le)$ 是偏序集，并且每一对 $\{a,b\}$ 都有上确界。那么 $S$ 的每个 非空有限子集都有唯一的上确界。

例题

二元 join 的归纳证明

单元素集合 $\{x\}$ 的上确界就是 $x$：它是上界，而任意上界 $u$ 都满足 $x\le u$。设有限集 $E$ 的上确界为 $s_E$，加入一个新元素 $a$。由假设， 二元集合 $\{s_E,a\}$ 有上确界，记为 $s$。对任意 $x\in E$，传递性给出 $x\le s_E\le s$，同时 $a\le s$，所以 $s$ 是 $E\cup\{a\}$ 的上界。

若 $u$ 是 $E\cup\{a\}$ 的任意上界，则它也是 $E$ 的上界，因此 $s_E\le u$，并且 $a\le u$。所以 $u$ 是 $\{s_E,a\}$ 的上界，最小性给出 $s\le u$。这就证明 $s$ 是原集合的最小上界。按元素个数归纳便得到所有 非空有限子集的存在性；唯一性由反对称性给出。整个论证没有使用全序， 所需的只是二元 join、传递性与反对称性。

比较这些例子时要分清：全序中的有限子集有最大元，但偏序中的有限子集可 能只有不属于集合的上确界。上面的定理说的是最佳上界的存在，不是一定取 到最大元，也不是说每个偏序都完备。

总结

• 界属于环境有序集；最大值与最小值还必须属于原集合；
• 有界性只保证至少有一个界，并不保证有最好的界；
• 上确界是最小上界，下确界是最大下界；若存在，它们各自唯一；
• 最大值等于上确界，最小值等于下确界；
• 在全序集中，严格次序逼近刻画两种确界；在有序域中，它们化为对偶的 epsilon 判据；
• 保证 $R$ 中适当的非空有界子集都有确界的是完备性，而不只是有序域公理。

快速检查

思考检查

对 $Y=(0,1)$，它有没有最大值？$\sup(Y)$ 与 $\inf(Y)$ 分别是什么？

分清集合内元素与环境中的界。

解答 · 答案

$Y$ 没有最大值，也没有最小值；它的 supremum 是 $1$，infimum 是 $0$。两个界都 存在于环境集合 $R$ 中，但都不属于 $Y$。

思考检查

若 A 有最大值 m，则 $\sup(A)$ 是什么？最小值 n 的对偶结论是什么？

与任意界比较时，要用到 $m,n\in A$。

解答 · 答案

$\sup(A)=m$：maximum 本身是上界；对任意上界 $u$，因为 $m\in A$，所以 $m\le u$。对偶地，若 $n=\min(A)$，则 $\inf(A)=n$：它是下界，而且任意下界 $\ell$ 都因 $n\in A$ 而满足 $\ell\le n$。

练习

思考检查

设 $A=\{1-1/n:n\in\mathbb Z^+\}$。求 $\sup(A)$、$\inf(A)$，并判断 A 是否有最大值。

证明上确界时，要同时验证上界条件与 epsilon 逼近条件。

解答 · 引导解答

集合开头几项是

$$\left\{0,\frac12,\frac23,\frac34,\dots\right\}.$$

对每个 $n\in Z^+$，都有 $1-1/n\lt1$，所以 $1$ 是上界。任取 $\varepsilon\gt 0$。由 Archimedean property，可取 $n\in Z^+$ 使 $n\gt 1/\varepsilon$。于是 $1/n\lt\varepsilon$，从而

$$1-\varepsilon\lt1-\frac1n\in A.$$

epsilon 判据给出 $\sup(A)=1$。这个集合没有最大值：在任意一项 $1-1/n$ 后， $1-1/(n+1)$ 都是严格更大的集合元素。最后，每一项都非负，而 $n=1$ 时取到 $0$； 所以 $\inf(A)=0$，且 $0$ 同时是最小值。

思考检查

证明：若 B 是 R 的非空子集且下有界，则 $\inf(B)=-\sup(-B)$。

先定义 $-B$，再验证使用 $R$ 的完备性所需的假设。

解答 · 引导解答

定义

$$-B=\{-b:b\in B\}.$$

因为 $B$ 非空，所以 $-B$ 非空。又因为 $B$ 下有界，可取一个下界 $\ell\in R$。对每个 $b\in B$，$\ell\le b$，所以 $-b\le-\ell$。因此 $-\ell$ 是 $-B$ 的上界，$-B$ 上有界。

现在预先使用后续笔记将证明的 $R$ 的完备性：非空且上有界的 $-B$ 有上确界。令 $S=\sup(-B)$，并令 $I=-S$。对每个 $b\in B$，有 $-b\le S$，所以 $I\le b$；故 $I$ 是 $B$ 的下界。若 $j$ 是 $B$ 的任意下界，则对每个 $b\in B$ 都有 $-b\le-j$，所以 $-j$ 是 $-B$ 的上界。由 $S$ 的最小性， $S\le-j$，于是 $j\le-S=I$。因此 $I$ 是 $B$ 的最大下界，并且

$$\inf(B)=-\sup(-B).$$

相关笔记

可先读 4.1 全序与有序域， 然后接着读 4.3 完备性与 Q 的缺口。