向量場、梯度、散度與旋度

學習目標與定義

計算向量微分算子，將它們與局部膨脹和環流聯繫起來，並判斷何時存在勢函數。設 $U\subseteq\mathbb R^3$ 為開集。向量場是映射 $F=(P,Q,R):U\to\mathbb R^3$。對標量 $C^1$ 函數 $\phi$，其梯度為 $\nabla\phi=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)$。對 $C^1$ 向量場定義

$$\operatorname{div}F=P_x+Q_y+R_z, \quad \operatorname{curl}F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y).$$

散度是標量，旋度是向量，梯度則要求標量輸入。這些類型區別可防止無意義的代入。$F$ 的勢函數是滿足 $F=\nabla\phi$ 的可微標量函數 $\phi$。加上常數不改變其梯度；在連通定義域上，任意兩個勢函數只相差一個常數。

若 $\phi$ 為 $C^2$，連續混合偏導數相等給出 $\operatorname{curl}(\nabla\phi)=0$。若 $F$ 為 $C^2$，同理得到 $\operatorname{div}(\operatorname{curl}F)=0$。展開所列定義可看到各項逐一抵消；第二個恆等式涉及各分量的二階導數，而不只是一次導數。

定理：星形定義域上的勢函數

設 $U$ 為相對於零的開星形集：對每個 $x\in U$ 和 $0\le t\le1$，都有 $tx\in U$。若 $F\in C^1(U)$ 且 $\operatorname{curl}F=0$，則

$$\phi(x)=\int_0^1F(tx)\cdot x\,dt$$

是勢函數。若星形中心不同，先平移坐標。

證明。 固定 $x$。緊線段 $\{tx:0\le t\le1\}$ 有一個包含於 $U$ 的小鄰域，允許對該有限積分在積分號下求導；連續一階導數給出該緊集上一致的差商界和收斂。對坐標 $j$，

$$\partial_j\phi(x)=\int_0^1\left(F_j(tx)+t\sum_i x_i\partial_jF_i(tx)\right)dt.$$

零旋度恰好等價於對稱關係 $\partial_jF_i=\partial_iF_j$，因此被積函數等於 $d[tF_j(tx)]/dt$。由一元微積分基本定理得到 $\partial_j\phi(x)=F_j(x)$，因為在 $t=0$ 時其值為零。這在明確的定義域和正則性假設下證明了存在性，而不只是寫出一個候選公式。

對 $F=\nabla\phi$ 和分段 $C^1$ 路徑 $r:[a,b]\to U$，在每個光滑段應用鏈式法則得到 $\int_rF\cdot dr=\phi(r(b))-\phi(r(a))$；求和時內部端點抵消。因此每條閉路徑的積分均為零。反過來，設 $F$ 在非空開路徑連通定義域上連續。若每條分段 $C^1$ 閉路徑的積分為零，可從基點積分定義 $\phi(x)$。拼接路徑表明與路徑無關；增加短坐標線段可證明每個偏導數等於 $F_j$。這是另一條勢函數判據，不要求星形，但積分假設更強。

證明

由路徑無關構造勢函數

設 $\Omega\subset\mathbb R^m$ 非空、開且路徑連通，$F:\Omega\to\mathbb R^m$ 連續。從基點可由折線路徑到達的點構成 $\Omega$ 的相對開子集：取包含在 $\Omega$ 內的小球，便可追加一條線段。其補集也相對開，否則該小球內的一個可達點會使球心也可達。由連通性，每點都可達；折線路徑屬於分段 $C^1$ 路徑。

固定 $x_0\in\Omega$，以任意這類從 $x_0$ 到 $x$ 的路徑上 $F$ 的積分定義 $\phi(x)$。路徑無關使此數唯一。對 $x\in\Omega$，取完全包含在 $\Omega$ 內的鄰域小球。設 $e_i$ 為第 $i$ 個座標向量；當 $h$ 充分小時，追加座標線段可得

$$\phi(x+he_i)-\phi(x)=\int_0^h F_i(x+te_i)\,dt.$$

除以 $h\ne0$ 後，連續性使左右兩側的 $h\to0$ 極限均為 $F_i(x)$，故 $\partial_i\phi(x)=F_i(x)$。因 $F$ 連續，這些偏導數也連續，所以 $\phi$ 屬 $C^1$ 且 $\nabla\phi=F$。這個逆命題不要求 $F$ 可微。若 $F$ 屬 $C^1$，則勢函數屬 $C^2$；在平面上，混合偏導相等給出 $P_y=Q_x$。

例題與定義域提示

構造勢函數。 對 $F=(2xy+z,x^2, x)$，混合偏導數匹配。積分 $\phi_x=2xy+z$ 得 $\phi=x^2y+xz+h(y,z)$。匹配第二、第三分量迫使 $h_y=h_z=0$，故在 $\mathbb R^3$ 上 $\phi=x^2y+xz+C$。

零旋度但無全局勢函數。 在 $U=\{(x,y,z):x^2+y^2>0\}$ 上，設 $F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2),0)$。直接求導得到零旋度。但沿 $r(t)=(\cos t,\sin t,0)$、$0\le t\le2\pi$，點積 $F(r)\cdot r'$ 等於一，所以環流為 $2\pi$。若有勢函數則環流必須為零，故不存在全局勢函數。該定義域不是星形且有孔洞；局部微分條件單獨無法發現這一障礙。

分層練習

1. 基礎。 求 $F=(x^2,y^2,z^2)$ 的散度和旋度。
2. 核心。 求 $F=(yz,xz,xy)$ 的勢函數，並沿任意分段光滑路徑從 $(0,0,0)$ 積分到 $(1,2,3)$。
3. 核心。 對 $F=(-y,x,0)$，求單位圓環流並與其旋度比較。
4. 證明。 證明連通開集上的勢函數只相差一個常數，並說明為甚麼需要連通性。

完整解答

1. 散度為 $2x+2y+2z$，旋度的各分量均為零。一個勢函數為 $(x^3+y^3+z^3)/3$。
2. 勢函數為 $xyz$，可通過求導驗證。路徑積分為端點差 $6-0=6$。
3. 旋度為 $(0,0,2)$。標準逆時針單位圓參數化給出 $F(r)\cdot r'=1$，故環流為 $2\pi$，與穿過向上定向圓盤的旋度通量一致。
4. 二者之差 $h$ 的梯度為零。在定義域內的每個小球中，沿線段使用均值論證可知 $h$ 為常數。因此 $h$ 局部為常數。$h$ 等於某個選定點的值的集合及其補集都相對開；連通性迫使補集為空。在不連通集合上，可以在不同連通分支選擇不同常數。

總結與術語定義

向量場為每一點指定一個向量。散度是無窮小淨向外通量密度，旋度衡量有定向環流密度。勢函數將線積分轉化為端點差。星形是指到某個中心的每條線段都留在定義域內。由零旋度推斷全局勢函數前，應檢查正則性、定義域幾何及算子類型。