二重積分與累次積分

這裏的矩形端點滿足 $a<b$、$c<d$；簡單區域的連續界函數處處滿足 $g_1\le g_2$。下文的完整 Darboux 與切片證明保留這些假設。

從面積和到累積量

若 $f(x,y)$ 是每單位面積的密度，把小區塊中的取樣密度乘以其面積，可估計該區塊的總量。將所有區塊相加並不斷細分。若 $f$ 可以為負，結果是帶符號的量，不一定是實際質量或無符號體積。

定義

矩形上的二重積分

設 $R=[a,b]\times[c,d]$。把 $R$ 分割成面積為 $\Delta A_i$ 的小矩形 $R_i$，並在每一塊選取 $p_i\in R_i$。若不論如何選取取樣點，當最大小矩形直徑趨零時，和 $\sum_i f(p_i)\Delta A_i$ 都趨向同一極限，該極限就是 $\iint_R f\,dA$。閉矩形上的每個連續函數均可積。

對有適當邊界的有界區域 $D\subset R$，可把 $D$ 上的積分定義為 $f\mathbf1_D$ 在 $R$ 上的積分。這容許用不等式描述區域；足夠規則的邊界面積為零，所以只改變邊界上的值不影響積分。$1$ 在 $D$ 上的積分等於 $D$ 的面積。當 $f\ge0$，$\iint_D f\,dA$ 是圖像下方、$D$ 上方的體積。

定理

Fubini 定理與切片

若 $f$ 在矩形 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上連續，則

$$\iint_R f\,dA=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy.$$

若 $D=\{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$ 由連續函數圍成，且 $f$ 在其上連續，第一個公式變成

$$\iint_D f\,dA=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx.$$

若 $D$ 可描述為 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$，則可用類似的水平切片公式。

先對內層微分變數積分。其上下限可依賴被固定的變數；在此二元設定中外層上下限是常數。某些區域須先分塊，才能用一個描述方式。以上方便的充分條件並不涵蓋所有可積函數或不規則區域。

證明

為何切片自然

在矩形上，把二維黎曼和按垂直列分組。每一列的內和近似固定 $x$ 時對 $y$ 的積分，其餘和再近似外層積分。閉矩形上的連續性提供控制極限所需的一致性。對簡單區域，可把函數乘指示函數後在矩形積分；上下邊界以外的切片貢獻為零。這解釋公式的來由；完整收斂論證由定理保證。

例題

先畫區域再計算

設 $D$ 在 $0\le x\le1$ 時介乎 $y=x^2$ 和 $y=x$ 之間。對 $f(x,y)=x+y$，

$$\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^1\int_{x^2}^x(x+y)\,dy\,dx =\int_0^1\left(\frac32x^2-x^3-\frac12x^4\right)dx=\frac3{20}.$$

水平切片則是 $0\le y\le1$ 且 $y\le x\le\sqrt y$，因此同一積分為 $\int_0^1\int_y^{\sqrt y}(x+y)\,dx\,dy$。不等式所扮演的角色改變了；只交換微分符號而不改上下限，會改變區域。

例題

換次序以便求積

考慮 $I=\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$。內層原函數不是初等函數。區域為 $0\le x\le y\le1$，因此

$$I=\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy =\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=\frac{e-1}{2}.$$

換次序依賴連續性與正確描述區域，不是機械地交換符號。

設 $R=[a,b]\times[c,d]$，其中 $a<b,c<d$。網格由每個坐標區間的劃分組成。其單元是內部互不相交的閉子矩形。對有界函數 $f:R\to\mathbb R$，設 $m_{ij},M_{ij}$ 分別為其在單元 $R_{ij}$ 上的下確界和上確界，該單元面積為 $\Delta A_{ij}$。定義 $L(f,P)=\sum m_{ij}\Delta A_{ij}$ 和 $U(f,P)=\sum M_{ij}\Delta A_{ij}$。

1. 定義及有用判據

細化網格會提高下和、降低上和。對任意兩個網格，其共同細化證明每個下和都不大於每個上和。因此下積分 $\underline I=\sup_P L(f,P)$ 不超過上積分 $\overline I=\inf_P U(f,P)$；由有界性兩者均有限。當這兩個數相等時，函數 Riemann 可積，其共同值記為 $\iint_R f$。

定理：矩形 Darboux 判據

有界函數可積，當且僅當對每個 $\varepsilon>0$，存在網格使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

證明。 若上下積分均等於 $I$，選取大於 $I-\varepsilon/2$ 的下和與小於 $I+\varepsilon/2$ 的上和，再共同細化兩個網格。新的差小於 epsilon。反之，任何這樣的網格都給出 $0\le\overline I-\underline I\le U-L$。差可任意小迫使上下積分相等。證明使用二維上確界論證，並未假設 Fubini 定理。

定理：連續性蘊含正常可積性

若 $f$ 在 $R$ 上連續，則在其上有界且一致連續。記 $A=(b-a)(d-c)>0$。選取距離尺度使輸出差小於 $\varepsilon/(2A)$。充分細的網格使每個單元直徑小於該尺度，因而每個振幅 $M_{ij}-m_{ij}$ 至多為 $\varepsilon/(2A)$。所以 $U-L\le\varepsilon/2<\varepsilon$，可積性得證。

對任意標記點 $\xi_{ij}\in R_{ij}$，相應有限和介於網格下和與上和之間。因此只要網格上下和之差小，其帶標記近似就接近積分。這是定義的結果，而非新的極限約定。

2. 證明連續矩形情形的 Fubini 定理

定理

對 $R$ 上的連續函數 $f$，

$$\iint_R f(x,y)\,dA =\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)\,dx\right)dy.$$

首先證明累次積分存在。 每個一元截面均連續且可積。令 $g(x)=\int_c^df(x,y)dy$。$f$ 的一致連續性給出

$$|g(x)-g(x_0)|\le(d-c)\sup_{y\in[c,d]}|f(x,y)-f(x_0,y)|\longrightarrow0.$$

因此 $g$ 連續且可積。交換內層坐標所得函數同理連續。

再用二維上下和夾住累次積分。 在每個單元上，$m_{ij}\le f(x,y)\le M_{ij}$。固定第 $i$ 個條帶內的 $x$，在各 $y$ 區間上積分這些界並相加：

$$\sum_jm_{ij}\Delta y_j\le g(x)\le\sum_jM_{ij}\Delta y_j.$$

在該 $x$ 條帶上積分，再對 $i$ 求和，得到 $L(f,P)\le\int_a^bg(x)dx\le U(f,P)$。二重積分也介於同樣的上下界之間。存在差任意小的網格，因而迫使兩者相等。交換坐標重複論證得到第二個等式。這裡沒有交換未經證明的無限重和次序；只使用有限和、普通積分不等式和 Darboux 判據。

因此可分離連續被積函數 $f(x,y)=p(x)q(y)$ 的積分為 $(\int p)(\int q)$。這是在所述假設下的積分恆等式，不是對未指定實驗中概率獨立性的斷言。

3. 普通曲邊界為何不破壞正常可積性

設 $D=\{a\le x\le b,\ell(x)\le y\le u(x)\}$，$\ell\le u$ 連續，$f$ 在 $D$ 上連續。此集是緊集。取外接矩形 $R=[a,b]\times[c,d]$，使 $c\le\ell(x)\le u(x)\le d$。夾取映射

$$p(x,y)=\bigl(x,\min(u(x),\max(\ell(x),y))\bigr)$$

連續，把 $R$ 映入 $D$，並固定 $D$ 的每點。因此 $\widetilde f=f\circ p$ 是 $R$ 上的連續延拓。在下面的估計中，暫以 $f$ 表示這個延拓，再把 $D$ 外的值置為零。這個零延拓可能在邊界跳躍，不能聲稱它處處連續。

應轉而控制邊界單元。在竪直網格條帶內，一致連續性使任一邊界圖像的振幅可任意小。與該圖像相交的單元可由一個矩形覆蓋，其高度至多為該振幅加上兩個竪直網格寬度。對條帶寬度求和可知，當兩個網格寬度都趨於零時，這些圖像邊界單元的總面積趨於零。兩條竪直端邊界同樣可由總面積任意小的條帶覆蓋。

若 $|f|\le M$，邊界單元對上下和之差的貢獻至多為其總面積乘 $2M$。遠離邊界的單元完全位於區域內或區域外：內部由 $f$ 的一致連續性使振幅小，外部函數為零。先使邊界面積小，再使普通單元振幅小，總差便可任意小，證明零延拓可積，因而 $f$ 在 $D$ 上可積。

相同估計表明該積分為 $\int_a^b\int_{\ell(x)}^{u(x)}f(x,y)dydx$：在每個條帶上，改變竪直端點及 $x$ 輸入只會使內積分發生一致的小變化，而趨零的邊界單元面積控制端點。具體地，記外接矩形的竪直跨度為 $H$，

$$|g(x)-g(x_0)|\le H\sup_y|f(x,y)-f(x_0,y)|+M(|\ell(x)-\ell(x_0)|+|u(x)-u(x_0)|),$$

因此內積分函數連續。排除已受控制的邊界單元後，可使用有限條帶 Darboux 夾逼。這證明常見連續簡單區域的情況；更一般的區域或反常版本需要各自假設，不能從此證明自動推出。

性質與方法選擇

線性及對互不重疊區塊的可加性，能簡化複雜表達式或區域。若 $D$ 上 $f\le g$，則 $\iint_Df\le\iint_Dg$；特別地，$|\iint_Df|\le\iint_D|f|$。連續非負密度 $\rho$ 的質量為 $M=\iint_D\rho\,dA$。當 $M>0$，質心為 $(\bar x,\bar y)=(M^{-1}\iint_Dx\rho\,dA,M^{-1}\iint_Dy\rho\,dA)$。

垂直切片上下限較簡單時便用垂直切片；若水平切片簡化區域或內層原函數，則用水平切片。只有單組上下限無法描述所有切片時才需要分塊。極坐標或其他變數替換可簡化圓形或變換後的區域，但需要雅可比因子和獨立的變數替換定理，不能自動取代 $dx\,dy$。

練習

1. 計算 $\iint_{[0,2]\times[0,1]}(x+2y)\,dA$。
2. 將 $\int_0^1\int_x^1 f(x,y)\,dy\,dx$ 換積分次序，並寫出區域。
3. 求 $0\le x\le1$ 時 $y=x^2$ 和 $y=x$ 之間的面積。
4. 一薄片佔據 $[0,1]^2$，密度為 $\rho(x,y)=1+x$。求其質量及質心。

詳解

1. $\int_0^2\int_0^1(x+2y)\,dy\,dx=\int_0^2(x+1)\,dx=4$。
2. 區域為 $0\le x\le y\le1$。水平切片給 $\int_0^1\int_0^y f(x,y)\,dx\,dy$。
3. 面積為 $\int_0^1\int_{x^2}^x1\,dy\,dx=\int_0^1(x-x^2)\,dx=1/6$。
4. $M=\int_0^1\int_0^1(1+x)\,dy\,dx=3/2$。$x$ 的一階矩為 $\int_0^1x(1+x)dx=5/6$；$y$ 的一階矩為 $(\int_0^1(1+x)dx)(\int_0^1y\,dy)=3/4$。故 $(\bar x,\bar y)=(5/9,1/2)$。

總結

積分累加每單位面積的量；在適當假設下，累次積分逐片計算同一個累積量。區域幾何決定上下限；換次序後必須描述完全相同的集合。後續的坐標變換及向量積分定理，均建立在對幾何和方向的準確處理上。