積分深化：坐標覆蓋、切片與反常積分失效

學習目標與定理邊界

依據區域幾何選擇變量，區分帶符號定向與標量面積縮放，並驗證整體覆蓋，而不是僅依賴局部 Jacobian。我們還將比較連續有限區域積分與一個兩種累次積分值不同的反常積分例子。

這裏使用的充分正常積分定理，是 Jordan/Riemann 兩篇已經證明的版本。設 $W,W'\subset\mathbb R^2$ 為開集，$T:W\to W'$ 在這些開鄰域之間是 $C^1$ 微分同胚，$K\subset W$ 緊且 Jordan 可測。對在 $T(K)$ 上連續的 $f$，

$$\iint_{T(K)}f(x)\,dA=\iint_K f(T(u))|\det DT(u)|\,du.$$

有界邊界值不影響這些正常 Riemann 區域積分。鄰域微分同胚假設強於「內部為雙射且閉包上 Jacobian 非零」。例如極座標在 $(1,2)\times(-\pi,\pi)$ 內部是微分同胚，卻把閉包的兩條接縫邊識別為同像；它不是該閉矩形周圍的一個鄰域微分同胚。這樣的接縫須以明確的截斷及遺漏估計處理。更一般的多重覆蓋與奇異邊界版本需要額外結果。下面的線性論證解釋局部縮放；在所述緊集與鄰域假設下，完整的非線性證明由 Jordan/Riemann 兩篇給出。

1. 局部縮放與定向是不同信息

對平面上的可逆線性映射 $x=A u$，單位正方形變為由矩陣各列張成的平行四邊形。由二維叉積／行列式公式，其定向面積為 $\det A$，普通面積為 $|\det A|$。由雙線性，普通矩形按相同因子縮放。仿射平移不改變這些面積。

因此，標量面積積分的因子為 $|\det A|$。例如 $T(u,v)=(u,-v)$ 的行列式為負一，但單位正方形的像面積為一而不是負一。有向線積分及通量積分以另一種方式保留方向信息；把每個行列式或叉積都替換成絕對大小同樣錯誤。

對非線性映射，可微性在每點提供線性近似，Jacobian 描述局部縮放。僅憑這一事實無法知道多少參數點代表同一像點。局部可逆性必須與能提供所需整體單一覆蓋的定義域選擇結合。

2. 極坐標需要角度範圍和原點檢查

映射 $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 的行列式為 $r$。當 $r>0$，角度區間長度為 $2\pi$ 且省略一個端點時，它將去心圓盤覆蓋一次；以開放內部描述時，還需除去一條選定的徑向接縫。若角度範圍長度為 $4\pi$，幾乎每個點被描述兩次，儘管在每個正半徑處 Jacobian 仍非零。

對圓盤上有界連續的被積函數，可以排除小半徑 $\varepsilon$ 來處理 $r=0$ 的坐標奇點。若 $|f|\le M$，被省略部分的貢獻絕對值至多為 $M\pi\varepsilon^2$，並趨於零。標準 Riemann 區域理論中，分段光滑邊界曲線和徑向接縫面積為零，因此不改變標量面積積分。這些是假設與極限事實，並非說可以忽略原點處任意無界奇異被積函數。

對圓環 $1\le x^2+y^2\le4$，一次完整極坐標描述為 $1\le r\le2$、$0\le\theta<2\pi$。其面積為 $\int_0^{2\pi}\int_1^2r\,dr\,d\theta=3\pi$。將相同角度積分擴展到 $4\pi$ 得 $6\pi$，正確計量了兩次參數遍歷，而不是圓環的普通面積。

3. 積分多項式前先匹配橢圓

設 $a,b>0$ 和 $D=\{x^2/a^2+y^2/b^2\le1\}$。令 $x=ar\cos\theta,y=br\sin\theta$，其中 $0\le r\le1$，角度轉一周。Jacobian 的絕對值為 $ab r$。因此

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA =ab\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)\,dr\,d\theta =\frac{\pi ab(a^2+b^2)}4.$$

變換後的區域簡單、系數保持為正且被積函數變為可分離形式，這些才是選擇該變量的理由；目標不是為了引入 Jacobian 而引入它。負縮放參數需要取行列式絕對值並重新解釋半軸，因此這裡明確規定正性。

4. 通過畫出切片不等式選擇次序

考慮 $D=\{0\le y\le x\le1\}$。水平切片固定 $y$，滿足 $y\le x\le1$；竪直切片固定 $x$，滿足 $0\le y\le x$。對連續的 $g$，

$$\int_0^1\int_y^1g(x)\,dx\,dy =\int_0^1\int_0^xg(x)\,dy\,dx =\int_0^1xg(x)\,dx.$$

對 $g(x)=e^{x^2}$，結果為 $(e-1)/2$。第一種次序需要非初等原函數，第二種則通過切片長度自然引入所缺因子 $x$。相等由被積函數在這個緊的普通區域上連續而得到，而不只是因為兩個積分中出現相同符號。

切片也可以有多個連通分支。在上面的圓環中，對 $|x|\le1$，允許的 $y$ 值為

$$[-\sqrt{4-x^2},-\sqrt{1-x^2}]\ \cup\ [\sqrt{1-x^2},\sqrt{4-x^2}],$$

而對 $1<|x|\le2$，它們構成整個區間 $[-\sqrt{4-x^2},\sqrt{4-x^2}]$。若對每個 $x$ 都積分整個外層區間，就會填滿孔洞。不連通切片上的積分是各分支積分之和；切片結構變化時需分割外層區間或選擇更好的坐標。

5. 兩個有限的累次反常積分值可以不同

在 $(0,1]^2$ 上，令

$$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

它在每個包含的點處光滑，但在缺失原點附近無界。對每個固定的 $y>0$，

$$\int_0^1f(x,y)\,dx=\left[-\frac{x}{x^2+y^2}\right]_0^1=-\frac1{1+y^2},$$

因此隨後對 $y$ 的積分為 $-\pi/4$。逆序時，對每個固定的 $x>0$，

$$\int_0^1f(x,y)\,dy=\left[\frac{y}{x^2+y^2}\right]_0^1=\frac1{1+x^2},$$

得到 $+\pi/4$。每個展示的一元積分都合法，結果卻不同。因此不能僅憑兩個累次反常積分都存在就斷言 Fubini 換序。

原因並不隱蔽：在極坐標中，$f=\cos(2\theta)/r^2$。在位於正方形內的截斷扇形 $\varepsilon\le r\le1$、$\pi/16\le\theta\le\pi/8$ 上，其絕對值的面積積分有正的常數乘 $\int_\varepsilon^1dr/r$ 作下界，當 $\varepsilon\downarrow0$ 時發散。換元在每個無奇點的截斷扇形上有效；該正下界隨後證明原點附近不絕對可積。僅在去心內部連續不滿足前述三角形例子所用的緊集連續性假設。

分層坐標與診斷練習

1. 仿射映射。 設 $T(u,v)=(2u+v,u+3v)$ 將 $[0,1]^2$ 映到平行四邊形 $D$。計算 $\iint_D(x-y)\,dA$，並檢查覆蓋和行列式。
2. 定向。 說明在 $(u,v)\mapsto(u,-v)$ 下對標量面積使用帶符號行列式為何得出不可能的結果，以及為何這一修正不是從通量積分中消除定向的通用指令。
3. 重數。 計算 $1\le r\le2$、$0\le\theta\le4\pi$ 上常數一的極坐標參數積分，準確說明它為何不是圓環面積。
4. 選擇次序。 對連續 $g$，通過描述同一區域的兩種次序證明公式 $\int_0^1\int_y^1g(x)dxdy=\int_0^1xg(x)dx$。為甚麼選取 $g=e^{x^2}$ 使換序有用？
5. 反常積分檢查。 在有理函數反例中，指出嘗試交換次序時哪些假設失效。為甚麼從寫出的定義域去掉一個點，並不能使該點周圍的奇異貢獻無害？
6. 綜合。 用 $u=x+y,v=x-y$ 計算 $\iint_{|x|+|y|\le1}(x^2+y^2)\,dA$，證明變換後的區域和 Jacobian 絕對值，而不是猜測。

完整解答

1. 行列式為 $2\cdot3-1\cdot1=5\ne0$，所以該線性映射是到其平行四邊形像的雙射。變換後的被積函數為 $(2u+v)-(u+3v)=u-2v$，積分因此為 $5\int_0^1\int_0^1(u-2v)dudv=5(1/2-1)=-5/2$。行列式為正，其絕對值是五；不存在多重覆蓋。
2. 像的面積為正一，而把常數一乘以行列式負一會給出負一。普通面積使用絕對縮放。通量則使用選定法向和有方向的叉積；將該向量換成大小會丟失流動方向。兩種積分編碼的信息不同。
3. 參數積分為 $(4\pi)[(2^2-1^2)/2]=6\pi$。除端點重複外，圓環上的每個普通點在該範圍中有兩個角度代表，因此區域被計兩次。限制為一周後恢復內部的一對一覆蓋，得到 $3\pi$。
4. 不等式描述 $0\le y\le x\le1$。固定 $x$ 時，內層區間為 $y$，長度為 $x$；緊集上的連續性允許換序。所得一元積分有因子 $x$。取 $g=e^{x^2}$ 並令 $w=x^2$ 得 $(e-1)/2$，避免單獨要求 $e^{x^2}$ 有初等原函數。
5. 函數在閉包上不連續且無界，其絕對積分在缺失原點附近發散。標準緊集 Riemann／Fubini 假設和反常積分的絕對可積性均不成立。缺失點的鄰域可能累積無界積分量，即使該點本身面積為零。去掉一個點並未去掉其所有周圍鄰域。
6. 通過區分 $x,y$ 同號與異號，可得恆等式 $|x|+|y|=\max(|x+y|,|x-y|)$。因此變換區域為 $[-1,1]^2$。逆映射為 $x=(u+v)/2,y=(u-v)/2$，其行列式為 $-1/2$，所以面積因子為 $1/2$。又 $x^2+y^2=(u^2+v^2)/2$，積分為 $\frac14\int_{-1}^1\int_{-1}^1(u^2+v^2)dudv=2/3$。負的逆映射行列式改變定向，但不改變標量面積。

總結與術語

Jacobian 描述局部線性縮放；覆蓋重數是獨立的整體問題。切片可能有多個區間，其結構決定積分界。絕對可積性假設可防止反常情形中依賴相消的換序失效。應同時依據幾何、可逆性、覆蓋與可積性選擇坐標，不能僅憑行列式非零。