格林定理與方向

先假設 $D$ 同時有兩種描述：$a\le x\le b$、$g_1(x)\le y\le g_2(x)$，以及 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$；邊界函數連續、上下界有序，且圖像給出了有限個分段 $C^1$ 弧參數化，邊界取所述正向。由微積分基本定理，

下邊界從左到右、上邊界從右到左，故這正是它們的 $P\,dx$ 貢獻；垂直邊滿足 $dx=0$。同理，

右邊界向上、左邊界向下，水平邊滿足 $dy=0$。相加即證明此區域類的格林公式。如果具體給出了分成有限個這類區塊的分割，且內部互不重疊、分段光滑邊界弧相互匹配，就把各塊恆等式相加；每條內邊界的兩個誘導方向相反，因而抵消。

只要連續邊界圖像已給出有限個分段 $C^1$ 弧參數化，就不必要求圖函數在投影端點有有限導數。所需換參數論證如下：對下邊界令 $H(x)=\int_a^xP(s,g_1(s))ds$，其被積函數連續。沿 $x=x(t)$ 遞增的定向正則弧，鏈式法則給出 $dH(x(t))/dt=P(x(t),g_1(x(t)))x'(t)$。由微積分基本定理，此弧的 $P\,dx$ 積分等於 $\int_a^bP(x,g_1(x))dx$，即使反過來的圖參數在端點具有豎直切線。反向行走改變符號；上邊界及兩個 $Q\,dy$ 圖像也同理。這就證明了上面的邊界積分辨認，而未假設每個圖函數在端點有界導數。

特別地，圓盤 $x^2+y^2\le R^2$、$R>0$ 的界為連續函數 $g_{1,2}(x)=\mp\sqrt{R^2-x^2}$，水平描述同理。半圓可用正則角參數化，所以圓盤屬於已證明的區域類。對圓環 $1\le x^2+y^2\le4$，分成四個象限塊：第一象限的垂直描述為 $0\le x\le2$、$\sqrt{\max(0,1-x^2)}\le y\le\sqrt{4-x^2}$，交換座標便得水平描述。這些界連續，邊界弧為分段 $C^1$；反射後的區塊具有匹配的內邊界，故所述有限抵消推廣也包括這個圓環。

這證明了雙向簡單區域及上述已給定有限分割上的公式。定理陳述中的一般區域類還需要額外的分割或近似結果；僅憑此計算，並未證明每個這類區域都存在所需的有限分割。