變數替換與雅可比行列式

同時變換區域與面積元素

坐標映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ 可把複雜區域變成簡單區域，同時也會伸縮小面積。在正則點，線性近似 $DT$ 把小坐標矩形映成近似平行四邊形，其面積為 $|\det DT|\,du\,dv$。行列式的絕對值量度無符號面積比例，符號則記錄方向。

定義

雅可比行列式

對 $C^1$ 平面映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，其雅可比行列式為

$$J_T(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}.$$

定理

二維變數替換

設 $S\subset\mathbb R^2$ 有界且 Jordan 可測，其閉包 $\overline S$ 為緊集，且包含於開集 $U$。假設 $T:U\to V$ 是到開集 $V$ 的 $C^1$ 微分同胚，令 $D=T(S)$，且 $f$ 在 $T(\overline S)$ 上連續。則

$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =\iint_S f(T(u,v))\,|J_T(u,v)|\,du\,dv.$$

對有界集合，Jordan 可測是指其邊界面積為零。$C^1$ 微分同胚是具有 $C^1$ 逆映射的雙射 $C^1$ 映射；因此其雅可比行列式非零。這些是充分條件；若映射把 $D$ 的正面積部分覆蓋多次，不計重數便不能使用此公式。

證明

行列式的幾何原因

對小增量 $\Delta u,\Delta v$，可微性使坐標小格的像近似由 $T_u\Delta u$ 和 $T_v\Delta v$ 生成的平行四邊形，其面積為 $|\det(T_u,T_v)|\Delta u\Delta v$。在能控制局部近似及分割誤差的假設下，將變換後取樣值相加並取極限便得到公式。這是思路，並非任意區域情況的完整證明。

極坐標

令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，其中 $r\ge0$。則

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}\right|=r.$$

因此 $dA=r\,dr\,d\theta$。對半徑為 $R>0$ 的圓盤和在閉圓盤上連續的被積函數，先限制在 $\varepsilon\le r\le R$、$\delta\le\theta\le2\pi-\delta$，其中 $0<\varepsilon<R$、$0<\delta<\pi$。映射在此矩形的某個開鄰域上是微分同胚。先在那裏應用定理，再令 $\varepsilon,\delta\to0$：被省去的小圓盤和角形區域的面積趨於零，而被積函數在閉圓盤上連續因而有界；相應的參數被積函數也有界，所以省去的積分趨於零。這樣才證明了雖有原點和接縫仍可使用圓盤公式，而不是自動把它們當成例外。長度 $4\pi$ 的角度區間會把幾乎每點計算兩次。

例題

圓盤與徑向被積函數

對圓盤 $D:x^2+y^2\le4$，

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2r^2\,r\,dr\,d\theta=8\pi.$$

第一個 $r^2$ 是變換後的被積函數；額外的 $r$ 是雅可比因子。遺漏它會改變答案及面積元素的量綱。

例題

線性變換

令 $D$ 為平行四邊形 $0\le x+y\le2$、$0\le x-y\le1$，計算 $\iint_D(x+y)\,dA$。設 $u=x+y$、$v=x-y$，則 $x=(u+v)/2$、$y=(u-v)/2$。新區域為 $0\le u\le2$、$0\le v\le1$，而 $|\partial(x,y)/\partial(u,v)|=1/2$。故

$$\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^2\int_0^1u\cdot\frac12\,dv\,du=1.$$

注意 $\partial(u,v)/\partial(x,y)=-2$ 是反方向的雅可比行列式；此處需要它的絕對值倒數。

比較及檢查

若垂直或水平上下限簡單，直角坐標通常較好；極坐標適合圓盤、扇形及徑向函數；線性替換適合平行四邊形和線性組合。務必 (1) 描述新區域，(2) 用新變數表示被積函數，(3) 計算正確方向的雅可比行列式，(4) 檢查是否一對一覆蓋，(5) 核對邊界與符號。雅可比行列式為負，並不會令普通標量面積積分變負。

學習目標與預備知識

證明可微坐標變換保持 Jordan 零測邊界，並對每個小立方體得到一致的雙側體積估計。內覆蓋論證給出下界，外側線性化估計給出上界。下一章利用這些估計，在每個有限維空間中證明積分換元定理。

我們使用有限維歐氏空間拓撲、線段上的微積分基本定理、行列式、緊集上的一致連續性，以及盒上的普通 Darboux 積分。體積與積分均通過有限 Jordan 覆蓋和 Darboux 和建立。

估計中使用 $\|x\|_\infty=\max_j|x_j|$ 及其誘導矩陣範數。中心為 $c$、邊長為 $h$ 的閉立方體滿足 $\|x-c\|_\infty\le h/2$。其普通體積為 $h^n$。在有限維空間中改變範數不改變連續性或可微性，但此範數使立方體中的常數清楚可見。

1. Jordan 體積與有限覆蓋邊界判據

有界集合稱為 Jordan 零測集，是指對每個 $\varepsilon>0$，都可用有限個坐標軸平行盒覆蓋，且盒的總體積小於 epsilon。還可要求這些盒是邊長任意小的立方體：對有限盒覆蓋作足夠細的剖分，允許盒面處增加任意小的總體積。當集合的示性函數在包含 $E$ 的盒內可積時，其 Riemann 積分稱為 Jordan 體積 $v(E)$。

引理：有界 Jordan 集的邊界零測，反之亦然

有界集合 $E$ Jordan 可測，當且僅當 $\partial E$ 為 Jordan 零測集。此外，在足夠細的規則立方網格上，與 $\partial E$ 相交的立方體總體積趨於零。

由 Darboux 和證明。 內部同時與 $E$ 及其補集相交的網格單元上，示性函數的振幅為一；不與邊界相交的單元上，振幅為零。若邊界零測，由其閉包的緊性，可取總體積任意小的有限開盒覆蓋。將一個零測覆蓋略作擴大，在保持總體積小的同時使其開。足夠細的網格中，所有邊界單元均位於這一開覆蓋內；否則直徑趨零的單元將給出任意接近緊邊界、卻位於其鄰域之外的點，產生矛盾。因此這些單元的總體積很小，Darboux 判據得證。

反過來，選擇示性函數的上、下和之差小於 epsilon 的網格。任何不在網格面上的邊界點都屬於一個同時與兩集合相交的單元，因此屬於這些振幅非零的單元。有限多個網格面本身零測：用厚度任意小的薄片覆蓋每個有界面。振幅非零的單元與這些薄片共同覆蓋整個邊界，其總體積可任意小，從而證明零測。前述開覆蓋論證隨即給出規則網格邊界單元的估計；這也是下文要用的估計。

有界 Jordan 集的有限並、交與差仍為 Jordan 集，因為其邊界包含在原有邊界的並中。Jordan 體積與 Riemann 積分在交疊部分零測的分塊上具有有限可加性。為說明這一點，對各個盒近似共同細分；在有限多個零測邊界的覆蓋之外，相應的示性函數恰好相加，其餘誤差由覆蓋總體積控制。同一論證也證明，在 Jordan 零測集上改變有界被積函數的值，不改變其積分。

若函數在緊 Jordan 集 $K$ 上連續，將它在包含該集的盒內作零延拓後可積。在完全位於 $K$ 內的立方體中，一致連續性控制振幅；與邊界相交的立方體總體積任意小，函數的統一界控制其貢獻；在 $K$ 外延拓函數為零。這也表明，完全位於 $K$ 內的網格立方體上的帶標記和收斂到其積分，因為被遺漏的邊界立方體總體積趨於零。

2. 仿射盒的體積

引理：平行多面體的體積

對於可逆實矩陣 $A$ 和坐標軸平行盒 $Q$，

$$v(AQ+b)=|\det A|\,v(Q).$$

盒的像是平行多面體。

初等幾何證明。 高斯消元把 $A$ 表成坐標置換、非零坐標縮放以及將某一坐標的倍數加到另一坐標上的剪切的乘積。置換保持盒覆蓋的體積。坐標縮放將體積乘以縮放因子的絕對值：對盒先有精確等式，再推廣到有限盒近似。剪切保持平行多面體的體積：平行於被改變坐標的切片仍是長度相同的區間，只是按其他坐標決定的量平移。

所需的多面體切片原理可由 Darboux 和直接得到。有界多面體的邊界位於有限多個超平面內，每個超平面均零測。對有界超平面片，選一個系數非零的坐標解出，並將其餘坐標剖分為邊長 $h$ 的立方體；每個柱上高度變化為 $O(h)$，故總體覆蓋體積為 $O(h)$。多面體的切片長度在有限多個區域上分片仿射，因此 Riemann 可積。對逐單元的示性函數下和與上和積分，可把切片長度積分夾在相同的兩個和之間；邊界零測判據使其差趨於零。這證明體積等於這些多面體的切片長度積分。因此剪切前後切片長度不變，體積也不變。

依次將這些初等操作作用於 $Q$。每個中間像仍是平行多面體，因此切片論證持續適用。置換和剪切的體積因子均為一，縮放的因子是對角縮放量的絕對值。由行列式代數，其乘積為 $|\det A|$。平移保持有限盒近似，故引理得證。

普通體積必須取絕對值：坐標反射改變行列式的符號，卻不能把非負體積變為負數。

3. 局部 Lipschitz 映射將緊零測集映為零測集

引理：有限覆蓋下的零測保持

設 $N$ 是開集 $U$ 內的緊 Jordan 零測子集，且 $F:U\to\mathbb R^n$ 為 $C^1$，則 $F(N)$ 是 Jordan 零測集。

證明。 在 $U$ 內選取 $N$ 的緊鄰域，並在其中以某個 $L>0$ 控制 $\|DF\|_\infty$。用該鄰域內足夠小的有限多個立方體覆蓋 $N$，使總體積任意小。在每個立方體內，連接兩點的線段仍留在鄰域中。沿線段應用微積分基本定理得到 $\|F(x)-F(y)\|_\infty\le L\|x-y\|_\infty$。因此中心為 $c$、邊長為 $h$ 的立方體的像包含在中心為 $F(c)$、邊長為 $Lh$ 的立方體內。這些包圍像的立方體總體積至多是原覆蓋總體積的 $L^n$ 倍。令原總體積小於 $\varepsilon/L^n$，即可得到所需的有限像覆蓋。需要時可把 $L$ 增大至至少一。逐個立方體的估計保證每條線段都位於開定義域內。

同一結論適用於這樣一個緊零測集的任何有界子集，因為其像包含在該零測像的覆蓋中。它也適用於 $C^1$ 微分同胚的逆映射在目標空間緊子集上的作用。

現令 $T:U\to V$ 為 $\mathbb R^n$ 的兩個開子集之間的 $C^1$ 微分同胚。若 $K\subset U$ 緊且 Jordan 可測，則 $T(K)$ 亦緊且 Jordan 可測。事實上，開鄰域之間的同胚將邊界映為邊界：

$$\partial T(K)=T(\partial K).$$

這是因為 $T$ 及其逆都是開映射，故在兩個方向上都將 $K$ 的內部映為 $T(K)$ 的內部；緊性使兩集合均閉。由集合減去各自的內部即得邊界恆等式。對 $\partial K$ 應用零測保持引理，再應用 Jordan 邊界判據即可。

對閉包位於 $U$ 內的有界 Jordan 子集，同樣的局部邊界論證也成立。這將用於處理由目標空間有限網格切出的各塊。

4. 一致立方體畸變：證明兩個包含關係

固定緊集 $K\subset U$，在 $U$ 內選取 $K$ 的緊鄰域 $K_*$。在該鄰域上，$DT$ 和其逆矩陣均有界，因為矩陣元素連續且每個行列式均非零。以 $\kappa$ 表示 $\|DT(x)^{-1}\|_\infty$ 的一個界，以 $J_*$ 表示 $J(x)=|\det DT(x)|$ 的一個界。

一致連續性給出一個模函數 $\omega(h)\to0$：當 $x,y\in K_*$ 且 $\|x-y\|_\infty\le h$ 時，它控制 $\|DT(x)-DT(y)\|_\infty$。考慮任一與 $K$ 相交、邊長為 $h$ 的充分小閉網格立方體 $Q$；選擇足夠小的尺度，使整個 $Q$ 位於 $K_*$ 內。令 $c$ 為其中心，$A=DT(c)$。線段上的微積分基本定理給出

$$T(x)=T(c)+A(x-c)+R(x),\qquad \|R(x)\|_\infty\le\omega(h)h/2\quad(x\in Q).$$

令 $\delta(h)=\kappa\omega(h)/2$，並將像歸一化為

$$H(x)=c+A^{-1}[T(x)-T(c)].$$

於是 $H(c)=c$，且在整個 $Q$ 上有 $\|H(x)-x\|_\infty\le\delta(h)h$。令 $Q^+$ 和 $Q^-$ 分別為同心、邊長 $h(1+2\delta)$ 與 $h(1-2\delta)$ 的立方體，並取足夠小的 $h$ 使 $\delta<1/4$。

外側包含。 坐標誤差界直接給出 $H(Q)\subseteq Q^+$。

內側包含。 邊界點 $x\in\partial Q$ 的某個坐標距中心為 $h/2$，故其在 $H$ 下的像的該坐標距中心至少為 $h/2-\delta h$。因此 $H(\partial Q)$ 與內部和 $Q^-$ 相同的開立方體不相交。由於 $H$ 在一個開鄰域上為同胚，$\partial H(Q)=H(\partial Q)$，且 $c$ 是 $H(Q)$ 的內點。

如果該開內立方體有一點在閉集 $H(Q)$ 之外，那麼連接該點與 $c$ 的線段完全位於此內立方體中，並且離開該集合時必與 $\partial H(Q)$ 相交。這與剛證明的邊界排除矛盾。因此開內立方體包含於 $H(Q)$，由閉性得到 $Q^-\subseteq H(Q)$。這就是線段從閉集內點首次離開的初等性質。

撤銷仿射歸一化。線性體積引理與集合包含關係給出雙側估計

$$J(c)(1-2\delta(h))^n h^n \le v(T(Q))\le J(c)(1+2\delta(h))^n h^n.$$

因此存在單一的 $\beta(h)\to0$，與在 $K$ 附近選取的立方體無關，使

$$|v(T(Q))-J(c)v(Q)|\le\beta(h)v(Q).$$

例如可取 $\beta(h)=J_*\max((1+2\delta)^n-1,\ 1-(1-2\delta)^n)$。此外，對這些小立方體，有 $v(T(Q))\le C v(Q)$，其中固定常數 $C=J_*(3/2)^n$。仿射體積引理將兩個包圍關係轉化為上述體積界。

一致相對誤差使各單元誤差能夠在不斷細化的網格上求和；同一組常數也控制邊界立方體。

學習目標與精確範圍

利用上一章的有限 Jordan 覆蓋和一致雙側立方體變形估計，證明有限維 $C^1$ 變量替換定理，再通過有限 Darboux 階梯函數夾逼將連續情形擴展至有界 Riemann 可積函數。以下定理明確了有界 Jordan/Riemann 情形及覆蓋條件。

全文中，$n$ 是有限正整數。若有界 Jordan 集上的函數向包含它的長方體作零延拓後在那裏 Riemann 可積，就稱其在該集合上 Riemann 可積；不同的包含長方體給出相同積分。零測邊界上可賦予任意有界值。上一章給出了 Jordan 邊界與零測集像的引理及一致小立方體估計。

1. 定理及全部假設

定理：有界 $C^1$ Jordan/Riemann 變量替換

設 $U,V\subseteq\mathbb R^n$ 為開集，$T:U\to V$ 為 $C^1$ 微分同胚：它是雙射，$T$ 及其逆映射連續可微，尤其有 $\det DT(x)\ne0$，對每個 $x\in U$ 成立。設 $K\subset U$ 為緊 Jordan 可測集，$f:T(K)\to\mathbb R$ 在 $T(K)$ 上有界且 Riemann 可積。則 $T(K)$ 是 Jordan 可測的，函數 $x\mapsto f(T(x))|\det DT(x)|$ 在 $K$ 上 Riemann 可積，且

$$\int_{T(K)}f(y)\,dy =\int_K f(T(x))J(x)\,dx, \qquad J(x)=|\det DT(x)|.$$

允許空集或 Jordan 零測情形。逐點取行列式絕對值可涵蓋兩種取向及不連通定義域。若有界 Jordan 區域 $D$ 滿足 $\overline D\subset U$，同樣適用：以其緊閉包替代並在邊界賦有界值，因為邊界及其像均為零測。

緊包含條件不可省略：它提供導數和逆矩陣的一致界，並使所有足夠小的邊界網格格子留在映射的開定義域內。**範圍。**這是有界區域上的 Riemann 定理。無界或非緊極限需要收斂估計；多對一映射需要計算覆蓋次數。一般 Lebesgue 公式和低維曲面面積公式是另外的結果。

2. 準備統一網格，包括邊界層

若 $K$ 為空，兩邊積分均為零，故設其非空。基礎章已證明 $E=T(K)$ 是緊 Jordan 可測集：其邊界是 $\partial K$ 的零測像。

選取 $K_*$ 為 $K$ 在 $U$ 內的緊鄰域。對所有足夠小且與 $K$ 相交的規則網格立方體，上一章給出共同常數 $L,C$ 和函數 $\beta(h)\to0$，使得對立方體 $Q$（邊長為 $h$、中心為 $c$），

$$\|T(x)-T(z)\|_\infty\le L\|x-z\|_\infty\quad(x,z\in Q),$$ $$|v(T(Q))-J(c)h^n|\le\beta(h)h^n,\qquad v(T(Q))\le Ch^n.$$

這裡沿每個立方體內的線段取導數界。

令 $\mathcal I_h$ 為完全包含於 $K$ 的有限網格立方體集合，令 $\mathcal B_h$ 為與 $K$ 相交但不完全包含於其中的立方體。第二類每個立方體都與 $\partial K$ 相交，由 Jordan 邊界判據，

$$b_h:=\sum_{Q\in\mathcal B_h}v(Q)\longrightarrow0$$

立方體可以共面，但面及其在 $T$ 下的像均為零測。因此全局單射保證不同內部格子的像僅在零測的面像上重疊，其體積與積分可用有限可加性。

$E$ 中未被內部格子像覆蓋的部分包含在邊界立方體的像中。其體積至多為 $Cb_h$，因為 $v(T(Q))\le Cv(Q)$ 且覆蓋有限。它本身也 Jordan 可測：從 Jordan 集 $E$ 中減去有限 Jordan 集並即可。這便給出了目標邊界層誤差界。

3. 先對連續 f 證明定理

設 $f$ 在緊集 $E$ 上連續。它以 $M$ 為界且一致連續；以 $\omega_f(\eta)\to0$ 表示 $E$ 上的共同連續模。對每個內部立方體 $Q$，$T(Q)$ 上的目標積分與 $f(T(c))v(T(Q))$ 之差至多為 $\omega_f(Lh)v(T(Q))$。未覆蓋的目標邊界層貢獻至多為 $MCb_h$。

由於內部格子像的內部除零測集外互不相交，其總體積不超過 $v(E)$。因此

$$\left|\int_Ef-\sum_{Q\in\mathcal I_h}f(T(c))v(T(Q))\right| \le\omega_f(Lh)v(E)+MCb_h\longrightarrow0.$$

現在把每個像的體積替換為 $J(c)h^n$。對固定長方體 $B$（包含 $K$），額外總誤差至多為

$$M\beta(h)\sum_{Q\in\mathcal I_h}h^n\le M\beta(h)v(B)\longrightarrow0.$$

所得和是 $f(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上的內部格子標記和。該函數在緊集 $K$ 上連續，前面的 Jordan/Darboux 引理證明這些和趨於其積分：一致連續性控制內部格子，而 $b_h\to0$ 控制被省略的邊界格子。因此連續 $f$ 的兩個積分相等。

共同的格子相對誤差界使體積替換的總誤差消失，而獨立的邊界估計控制被省略的格子。

4. 得出 Jordan 部分集的體積恆等式

在已證明的連續情形中取 $f\equiv1$，得到

$$v(T(S))=\int_SJ(x)\,dx$$

對每個緊 Jordan 集 $S\subset U$ 成立。它也適用於有界 Jordan 集 $S$（閉包包含於 $U$）：用 $\overline S$ 替代即可。新增部分包含於 $\partial S$，其像為零測，因此體積和積分都不變。

我們需要將此恆等式用於以有限網格切割目標集所得的部分。令 $C$ 為一個網格長方體，$S=K\cap T^{-1}(C)$。其邊界包含於

$$\partial K\ \cup\ T^{-1}(\partial C\cap E).$$

第一部分為零測。第二部分也為零測，因為目標網格面的這一部分是 $V$ 內緊零測集的有界子集，而逆映射為 $C^1$，在緊集 $E$ 的鄰域上成立。對該逆映射應用有限覆蓋零測像引理即可。因此 $S$ 是 Jordan 可測的，且其閉包緊包含於 $U$。

若需要嚴格不相交的劃分，可對網格格子採用一致的半開邊界歸屬。這些部分的邊界仍包含在同一有限零測集合中。其像恰為採用相應歸屬的 $E\cap C$。因此體積恆等式結合有限線性性，證明了目標網格上每個有限階梯函數的變量替換公式。

於是連續定理的常數函數推論已經建立了有限目標階梯函數的替換公式。

5. 利用有限階梯夾逼處理有界 Riemann 可積函數

取包含 $E$ 的目標長方體，令 $f_0$ 為 $f$ 的零延拓。其 Riemann 可積性意味著對每個 $\varepsilon>0$，存在有限網格，使其下、上階梯函數 $\ell,u$ 滿足

$$\ell\le f_0\le u,\qquad \int(u-\ell)<\varepsilon.$$

在每個格子上取 $f_0$ 在其閉包上的下確界和上確界，並一致地指定面上的值。Darboux 判據恰給出上述差距。將非負差函數限制到 $E$ 上不會增加其積分。

源函數 $p(x)=\ell(T(x))J(x)$ 和 $q(x)=u(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上向外作零延拓後均 Riemann 可積。它們分別是連續函數 $J$ 與剛建立的 Jordan 原像部分集的示性函數之積的有限和。這樣的有界乘積由 Darboux 乘積估計可積，也可在這些零測部分邊界之外直接利用一致連續性證明。由於 $J\ge0$，

$$p(x)\le f(T(x))J(x)\le q(x),$$

階梯函數恆等式給出

$$\int_K(q-p)=\int_E(u-\ell)<\varepsilon.$$

如果有界函數有積分差任意小的可積上下夾逼，則它 Riemann 可積。事實上其下積分至少為下夾逼的積分，上積分至多為上夾逼的積分，因此兩者之差小於每個正 epsilon。

這證明了變換後被積函數可積。它的積分與原積分 $\int_Ef$ 均位於同一對數值 $\int_E\ell=\int_Kp$ 和 $\int_Eu=\int_Kq$ 之間，而它們的差小於 epsilon。因此兩個積分之差為零。定理包括有界 Riemann 情形，證畢。

有限 Darboux 夾逼和 Jordan 體積恆等式完成了有界 Riemann 推廣。

練習

1. 用極坐標求 $x^2+y^2\le9$ 的面積。
2. 對 $D:x^2+y^2\le1$，計算 $\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA$。
3. 設 $x=2u$、$y=3v$。求 $[0,1]^2$ 的像，並用雅可比行列式求其面積。
4. 解釋為何 $0\le r\le1$、$0\le\theta\le4\pi$ 不是單位圓盤除邊界外的一對一極坐標參數化。

詳解

1. $\int_0^{2\pi}\int_0^3r\,dr\,d\theta=9\pi$。
2. $\int_0^{2\pi}\int_0^1e^{r^2}r\,dr\,d\theta=\pi(e-1)$。
3. 像為 $[0,2]\times[0,3]$，雅可比行列式為 $6$。面積是 $\int_0^1\int_0^1 6\,du\,dv=6$。
4. 除可忽略的接縫外，每個非零內點有兩個角度相差 $2\pi$ 的表示，積分因此把面積計算兩次。

總結

替換變數時，坐標、被積函數、區域和測度都要一起變換。雅可比行列式反映局部面積比例；一對一性或明確的覆蓋次數控制，避免重複計算。