三重積分與三維坐標

空間中的累積

對適當有界立體 $E$ 上的連續密度 $\rho$，質量為 $M=\iiint_E\rho\,dV$。密度恆為一時，積分是體積。只要上下限確實描述 $E$，且符合標準連續性和正則性假設，Fubini 定理容許用累次積分逐次切割立體。

例題

四面體

令 $E=\{x,y,z\ge0:x+y+z\le1\}$。上下限 $0\le x\le1$、$0\le y\le1-x$、$0\le z\le1-x-y$ 給出

$$\operatorname{Vol}(E)=\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}1\,dz\,dy\,dx=\frac16.$$

內層上限來自平面 $z=1-x-y$；把 $E$ 投影到 $xy$ 平面便得到三角形的外層上下限。

柱坐標與球坐標

定義

坐標慣例及體積元素

柱坐標採用 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$、$z=z$，其中 $r\ge0$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。本節的球坐標採用

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi,$$

其中 $\rho\ge0$、$0\le\phi\le\pi$ 為由正 $z$ 軸量起的角，$\theta$ 為方位角。體積元素是 $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。其他資料可能交換兩個角的名稱；使用公式前要先檢查定義。

證明

球坐標因子為何是 $\rho^2\sin\phi$

將位置向量分別對 $\rho,\phi,\theta$ 微分。在 $0\le\phi\le\pi$ 時，三個導數的純量三重積絕對值為 $\rho^2\sin\phi$。再由三維變數替換定理得體積元素；在標準立體積分中，坐標軸及原點的坐標奇異性可忽略。

例題

球內、錐面以上

設 $E$ 在球 $x^2+y^2+z^2\le4$ 內且在錐面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 以上。球坐標範圍是 $0\le\rho\le2$、$0\le\phi\le\pi/4$、$0\le\theta\le2\pi$。故

$$\operatorname{Vol}(E)=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^2\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta =\frac{16\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

錐面固定角度，球面固定半徑。這些幾何觀察先於積分決定上下限。

例題

柱坐標的圓柱殼

對立體 $x^2+y^2\le1$、$0\le z\le2-x^2-y^2$，取 $0\le r\le1$、$0\le\theta\le2\pi$、$0\le z\le2-r^2$：

$$\operatorname{Vol}(E)=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{2-r^2}r\,dz\,dr\,d\theta=\frac{3\pi}{2}.$$

2. 在利用徑向對稱性前推導球坐標縮放

使用坐標

$$T(r,\phi,\theta)=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi),$$

其中 $\phi$ 從正 $z$ 軸量起，$0\le\phi\le\pi$，$\theta$ 是一整周的方位角。導數向量的長度為 $1,r,r\sin\phi$，它們兩兩垂直，在內部具有相應的正定向。其標量三重積為 $r^2\sin\phi$，得到

$$dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta.$$

明確核算行列式：按 $(r,\phi,\theta)$ 次序，導數列為

$$T_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ $$T_\phi=(r\cos\phi\cos\theta,r\cos\phi\sin\theta,-r\sin\phi),\qquad T_\theta=(-r\sin\phi\sin\theta,r\sin\phi\cos\theta,0).$$

當 $r>0$、$0<\phi<\pi$ 時，其混合積為 $r^2\sin\phi>0$。在開參數域 $(0,\infty)\times(0,\pi)\times(-\pi,\pi)$ 上，映射對其切縫後的像是一對一的，光滑逆為 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$、$\phi=\arccos(z/r)$ 及通常的切縫平面方位角。因此，已證明的有限維換元定理適用於該域內每個緊的截斷參數長方體。

還須獨立於待證明公式估計遺漏的目標區域。半徑 $\varepsilon$ 的球包含在體積 $8\varepsilon^3$ 的立方體中。在半徑 $R$ 的球內，與軸的夾角至多為 $\delta<\pi/2$ 的兩個極帽包含在 $|x|,|y|\le R\sin\delta$、$|z|\le R$ 的長方體中，體積為 $8R^3\sin^2\delta$。總角寬 $2\eta$、$0<\eta<\pi/2$ 的方位角接縫包含在 $|x|,|z|\le R$、$|y|\le R\sin\eta$ 中，體積為 $8R^3\sin\eta$。三種上界均隨截斷參數趨於零。乘上連續目標被積函數的上界，即控制其遺漏積分；下文的參數積分估計則控制另一側。這完成了非奇異區域逼近的論證，沒有用球座標體積公式來證明該公式自身。

原點、極點和角度接縫是坐標邊界的例外。對球上有界連續被積函數，在無奇點的截斷參數區域上計算並取極限；被省略的參數積分界趨於零。對於有界被積函數，零附近的徑向因子由常數乘 $\int_0^\varepsilon r^2dr=\varepsilon^3/3$ 控制，極冠因子為 $\int_0^\varepsilon\sin\phi\,d\phi=1-\cos\varepsilon\to0$，收縮的方位角接縫則具有趨零的角寬。該公式不允許忽略這些位置上的任意無界奇異性。

選擇坐標

直角坐標適合平面圍成的立體；柱坐標適合圍繞一軸有圓形截面的立體；球坐標適合以原點為中心的球和錐。上下限與被積函數都要變換，並加入雅可比因子。角度須恰好覆蓋所需立體一次，可忽略的坐標接縫除外。若被積函數變號，三重積分是帶符號的累積量；幾何體積則用被積函數 $1$。

練習

1. 求長方體 $0\le x\le2$、$0\le y\le3$、$0\le z\le4$ 的體積。
2. 用柱坐標求圓柱 $x^2+y^2\le4$、$0\le z\le5$ 的體積。
3. 用球坐標求球 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 的體積。
4. 依本節球坐標慣例，重寫 $x^2+y^2+z^2$ 及 $z$。

詳解

1. 對長方體積分 $1$，得 $2\cdot3\cdot4=24$。
2. $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^5r\,dz\,dr\,d\theta=20\pi$。
3. 對 $R\ge0$，$\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=4\pi R^3/3$。
4. 分別為 $\rho^2$ 及 $\rho\cos\phi$。

總結

三重積分把密度按體積累加。選擇符合立體形狀的坐標，將每個邊界及被積函數寫成新坐標，並加入適當體積因子。