線性組合與張成

給定一組向量，哪些向量可以由它們的純量倍數相加得到？線性組合描述一個具體結果，張成則收集所有這樣的結果。

線性組合是最基本的構造單位

定義

線性組合

設 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是向量空間 $V$ 裡的向量，而 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in R$。則

$$\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n$$

稱為 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 的線性組合。

本節始終在實向量空間 $V$ 中討論，生成列表有限，且 $n\geq 1$。係數屬於 $\mathbb R$，生成向量則屬於 $V$；兩者的角色不同。討論某個張成時，生成向量保持固定，變化的是係數。對一個目標找到一組係數，並不要求這組係數同時適用於所有其他目標。

「有限」表示每個表達式只涉及有限次加法與純量乘法，沒有引入無窮級數或極限。列表可以包含重複向量和零向量；這些向量是否帶來新的輸出，是另一個需要判斷的問題。

係數可以是任意實數：正數、負數、分數、無理數或零。

張成是所有可造出的結果

定義

張成

設 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是向量空間 $V$ 裡的向量。它們的張成定義為所 有線性組合組成的集合：

$$\operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_n\} = \{\alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \cdots + \alpha_nu_n \mid \alpha_i \in R\}.$$

因此，張成不是單一向量，而是由這些向量可造出的整個向量集合。

也正因如此，張成常被讀作「由這組向量生成的子空間」。

例題

幾種典型的線性組合

對滿足 $n\geq2$ 的向量列表 $u_1,\ldots,u_n$，則以下各式都是它們的線性組合：

$$23u_1 - \sqrt{2}\,u_2 + \pi u_n,$$$$0 = 0u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n,$$

以及

$$u_1 = 1u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n.$$

這裏還有一個封閉事實：若 $v$ 與 $w$ 本身都是 $u_1, \ldots, u_n$ 的線性組合，則任何 $cv + dw$ 仍然是 $u_1, \ldots, u_n$ 的線性組合。

所以，線性組合對於「由線性組合再做線性組合」這件事本身是封閉的。

更一般地，設 $v_j=\sum_{i=1}^n a_{ij}u_i$，其中 $j=1,\ldots,r$。將這些有限和代入，可得

$$\sum_{j=1}^r b_jv_j =\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^r b_ja_{ij}\right)u_i.$$

每個括號裏的數仍是實係數，所以反覆做線性組合，也不會離開原生成向量的線性組合集合。這裏兩個指標分別記錄原生成向量和中間向量；中間向量的個數不必等於生成向量的個數。

是否屬於某個張成，其實是可解性問題

在實際計算裡，問題「$b$ 是否是 $u_1, \ldots, u_n$ 的線性組合」通常不是靠 肉眼判斷，而是靠解一個線性系統。

定理

線性組合與線性系統

設 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 與 $b$ 都是 $R^m$ 中的向量，並令

$$A = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix}.$$

則 $b$ 能寫成 $u_1, \ldots, u_n$ 的線性組合，當且僅當線性系統

$$Ax = b$$

有解。

因此，判斷一個向量能否生成，等價於判斷相應矩陣方程是否一致。

例題

檢查一個向量是否是線性組合

令

$$u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad u_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix}.$$

再考慮向量

$$w = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.$$

要問 $w$ 是否為 $u_1$ 與 $u_2$ 的線性組合，就是要問是否存在純量 $c_1, c_2$ 使得

$$c_1u_1 + c_2u_2 = w.$$

等價地，

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.$$

先做 $R_2\leftarrow R_2+2R_1$ 和 $R_3\leftarrow R_3+R_1$，再做 $R_3\leftarrow R_3-7R_2$：

$$\left[\begin{array}{cc|c}1&3&2\\-2&-5&-6\\-1&4&-16\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&3&2\\0&1&-2\\0&7&-14\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&3&2\\0&1&-2\\0&0&0\end{array}\right].$$

最後一行不增加限制。回代得到

$$c_1 = 8, \qquad c_2 = -2.$$

因此

$$w = 8u_1 - 2u_2.$$

所以 $w$ 屬於 $u_1$ 與 $u_2$ 的張成。

作為對照，只把目標改成 $v=(2,-6,3)^T$。相同行運算會給出最後一個增廣行 $[\,0\ \ 0\mid19\,]$，即矛盾 $0=19$。前兩個方程仍迫使 $(c_1,c_2)=(8,-2)$，但這組係數不滿足第三個方程。只配對部分坐標並不足夠：同一個係數向量必須同時滿足所有坐標方程。

同一道理也可以用來證明某向量不屬於張成：若對應系統不一致，便表示找不 到係數，自然也就不在張成裡。

判斷向量是否屬於張成

上面的定理給出一個實用流程。給定向量 $u_1,\ldots,u_q$ 和目標向量 $v$，可以這樣做。

1. 形成矩陣

$$U = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_q \end{bmatrix}.$$

2. 對增廣矩陣 $[U|v]$ 做行化簡。

3. 如果化簡後的系統出現矛盾，則 $v$ 不屬於 $\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}$。

4. 如果系統一致，讀出其中一個解 $c=(c_1,\ldots,c_q)^T$，並寫成

$$v = c_1u_1 + c_2u_2 + \cdots + c_qu_q.$$

矩陣向量乘積

$$Uc$$

正正就是

$$c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_qu_q.$$

因此 $Uc=v$ 有解，當且僅當 $v$ 可以寫成 $U$ 各欄的線性組合。行化簡可以判斷這樣的係數向量 $c$ 是否存在。

這裏 $U$ 的大小為 $m\times q$，$c\in\mathbb R^q$，而 $v\in\mathbb R^m$。矩陣的一欄代表一個可用的生成向量，一行代表一個坐標方程。因此自由變量是某個係數的選擇，並不是目標向量新增的坐標。給自由變量賦值以前，必須先檢查一致性。若系統一致，把所有自由變量取成零可得到一種表示；保留參數則能描述所有表示。

例題

用不一致證明不屬於張成

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}3\\6\\3\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}.$$

$Uc=v$ 的增廣矩陣是

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 1\\ 2 & 6 & 0\\ 1 & 3 & 1 \end{array} \right].$$

在係數部分，第二行是第一行的兩倍；但在增廣部分，右端常數並不符合這個倍數 關係。因此行化簡會產生矛盾。所以 $Uc=v$ 不一致，並且

$$v\notin \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

行運算 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ 給出 $[\,0\ \ 0\mid-2\,]$，即第二個方程變成 $0=-2$。

一個或兩個生成向量：幾何情形

下方圖解比較一個非零向量與兩個獨立向量分別生成的集合。屬於張成，表示至少有一組係數能到達目標。零生成向量只能給出 $\{0\}$，因為零向量的任何純量倍數仍為零。

$R^3$ 裡的標準幾何例子

例題

張成在 $R^3$ 裡看起來像甚麼

令

$$e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

則 $\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$ 中的每個向量都可寫成

$$\alpha e_1 + \beta e_2 = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}.$$

因此

$$\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$$

正正就是 $R^3$ 裡的 $x_1x_2$ 平面。

若再把 $e_3$ 加入，則 $R^3$ 中任意向量都可寫成

$$\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3,$$

故

$$\operatorname{Span}\{e_1, e_2, e_3\} = R^3.$$

為甚麼張成一定是子空間

張成並不是某個隨意的子集合，它其實是由該組向量生成出來的最自然向量空間物 件。

定理

任何向量組的張成都必定是子空間

若 $u_1, \ldots, u_n$ 是向量空間 $V$ 裡的向量，則

$$\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$$

是 $V$ 的一個子空間。

而且，它是包含所有生成向量的最小子空間：若 $W\subseteq V$ 是子空間，且每個 $u_i\in W$，則 $\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\}\subseteq W$。

證明

為甚麼張成是子空間

張成非空，因為它包含零向量：

$$0 = 0u_1 + \cdots + 0u_n.$$

現在取兩個在張成中的向量 $v$ 與 $w$。則存在純量 $\alpha_i$ 與 $\beta_i$ 使得

$$v = \alpha_1u_1 + \cdots + \alpha_nu_n, \qquad w = \beta_1u_1 + \cdots + \beta_nu_n.$$

那麼

$$v + w = (\alpha_1 + \beta_1)u_1 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n)u_n,$$

仍然是由同一組向量組成的線性組合，所以張成對加法封閉。

若 $c \in R$，則

$$cv = (c\alpha_1)u_1 + \cdots + (c\alpha_n)u_n,$$

這仍然是同一組向量的線性組合，所以張成也對純量乘法封閉。

因此，張成是 $V$ 的子空間。

再證明最小性。把某個生成向量的係數取成一，其餘係數取成零，便知每個 $u_i$ 都屬於張成。現在任取包含這些生成向量的子空間 $W$。純量乘法封閉性保證每個 $\alpha_i u_i$ 屬於 $W$，反覆應用加法封閉性，便知它們的有限和也屬於 $W$。因此張成的每個向量都在 $W$ 內，所需的包含關係成立。這裏用到了有限性，並沒有假設子空間對無窮和封閉。

「最小」指集合的包含關係，不是生成列表的長度。任何包含生成向量的子空間，都不能排除由它們的線性組合必然得到的輸出。例如，雖然較大的空間 $\mathbb R^3$ 也包含 $e_1,e_2$，但包含它們的最小子空間是 $x_1x_2$ 平面。這還提供了一種證明方法：要證明某個張成包含於已知子空間，只需逐個檢查生成向量，不必重新處理帶有許多未知係數的一般向量。

同一個向量可以有不同的係數表示

例題

冗餘生成向量與自由係數

考慮一組新的生成向量和目標：

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}-4\\-1\\2\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}-3\\1\\3\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}-7\\7\\11\end{bmatrix}.$$

令 $U=[\,u_1\ u_2\ u_3\,]$。先做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ 和 $R_3\leftarrow R_3-R_1$，再把第二行除以七，從第三行減去第二行的六倍，並向第一行加上第二行的四倍：

$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-4&-3&-7\\2&-1&1&7\\1&2&3&11\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&-4&-3&-7\\0&7&7&21\\0&6&6&18\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&5\\0&1&1&3\\0&0&0&0\end{array}\right].$$

系統一致。化簡後的方程為 $c_1+c_3=5$ 和 $c_2+c_3=3$，所以全部係數向量可寫成

$$c_1=5-t,\qquad c_2=3-t,\qquad c_3=t,\qquad t\in\mathbb R.$$

特別地，取 $t=0$ 和 $t=2$ 得到

$$v=5u_1+3u_2=3u_1+u_2+2u_3.$$

兩種表達式都等於 $(-7,7,11)^T$。我們得到的不是兩個目標向量，而是構造同一個指定目標的兩種方法。每個實數 $t$ 都可使用，因為所得係數滿足整個化簡後的系統。

概念視角代數

係數向量與輸出向量

表達式 $Uc$ 的輸入為 $c\in\mathbb R^q$，輸出則屬於 $\mathbb R^m$。張成問的是哪些輸出至少出現一次，並不要求每個輸出只有一個輸入。本例中 $u_3=u_1+u_2$，所以把 $c_3$ 增加 $t$，同時把 $c_1,c_2$ 各減少 $t$，輸出便保持不變。

更準確地說，若 $Uc_0=v$，則另一個係數向量 $c$ 產生同一目標，當且僅當 $U(c-c_0)=0$。反過來，每個滿足 $Ud=0$ 的 $d$ 都給出另一種表示 $U(c_0+d)=v$。這直接來自分配律，也解釋了自由參數的意義：變化的是表示方法，目標本身固定。本例的 $d=(-t,-t,t)^T$ 正好記錄生成向量之間的抵消。

第三個生成向量對所有目標都是冗餘的，而不只對剛才算出的目標如此。事實上，

$$a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3=(a_1+a_3)u_1+(a_2+a_3)u_2.$$

所以任意三個生成向量的組合，都可以改寫為前兩個的組合。反過來，前兩個的組合只需補上第三個係數零，就成為三個的組合。因此刪去 $u_3$ 後張成不變。這是 4.2 集合語言與解集 中生成向量比較方法的一個具體應用。

可見，加入一個已經屬於原張成的向量，會改變可用的表示方法，卻不會擴大輸出集合。若加入的向量在原張成之外，張成便嚴格擴大：新係數取零時保留所有舊組合，而新向量本身又是一個額外輸出。這兩種情況都不能只靠數一數列表裏有多少個向量來判斷。

預測係數能到達哪些位置

先預測兩個生成向量會張成直線還是平面，再逐次改變一個係數。若生成向量相依，找出兩組到達同一目標的係數；若它們獨立，解釋為甚麼不可能出現這種重複。

常見錯誤

常見錯誤

張成不是『正倍數集合』

線性組合裡的係數可以是任何實數，所以負數與 $0$ 都同樣合法。若只容許正係數， 那便不是本節所說的張成。

常見錯誤

要證明屬於張成，必須證明合適的係數存在

只說一個向量「看起來差不多」並不足夠。必須證明合適的係數存在：可以明確給出 係數，也可以把關係轉成線性系統，證明它是一致的。

快速檢查

思考檢查

任何有限向量列表的張成都一定包含零向量嗎？

直接回到線性組合的定義回答。

解答 · 答案

是。把所有係數都取成 $0$，便得到零向量，所以張成一定包含 $0$。

思考檢查

為甚麼 $\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$ 在 $R^3$ 裡會包含 $(2, -1, 0)$？

請把該向量寫成 $e_1$ 與 $e_2$ 的線性組合。

解答 · 答案

因為

$$\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = 2e_1 - e_2.$$

所以它是 $e_1$ 與 $e_2$ 的線性組合，自然屬於它們的張成。

練習

思考檢查

為甚麼生成列表中的每一個向量 $u_i$ 都一定屬於 $\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$？

請用係數直接說明。

解答 · 引導解答

要孤立 $u_i$，只需令 $u_i$ 的係數為 $1$，其餘向量的係數全為 $0$。於是

$$u_i = 0u_1 + \cdots + 0u_{i-1} + 1u_i + 0u_{i+1} + \cdots + 0u_n,$$

因此 $u_i$ 本身就是那一列向量的一個線性組合，所以一定屬於其張成。

思考檢查

為甚麼定理 $b \in \operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$ 當且僅當 $Ax = b$ 可解，在計算上如此重要？

請用它帶來的計算方法回答。

解答 · 引導解答

它把一個「能否生成」的問題，直接化成一個線性系統的一致性問題。於是你不必 靠猜測係數，而是把 $u_1, \ldots, u_n$ 放成矩陣的欄，對增廣系統 $Ax = b$ 做 行化簡。一致與否，便準確告訴你 $b$ 是否在該張成裡。

思考檢查

在冗餘生成向量的例子中，只用第二、第三個生成向量表示目標。

選擇參數，使第一個係數為零。

解答 · 引導解答

由 $c_1=5-t$，取 $t=5$。於是 $(c_1,c_2,c_3)=(0,-2,5)$，且 $v=-2u_2+5u_3=(-7,7,11)^T$。對於這個目標可以省略第一個生成向量；前面的關係 $u_1=u_3-u_2$ 還說明，這一對向量生成的整個張成也保持不變。

思考檢查

某子空間包含兩個向量。它必定包含這兩個向量的所有線性組合嗎？它必定等於它們的張成嗎？

區分包含關係與集合相等。

解答 · 引導解答

由純量乘法與加法封閉性，它必定包含這兩個向量的張成，但未必等於該張成。例如 $\mathbb R^3$ 包含 $e_1,e_2$ 及其所有組合，卻還包含第三個坐標為一的 $e_3$，而 $e_3$ 不在它們的張成內。要得到相等，還需證明該子空間反過來包含於張成。

相關筆記

先讀 6.2 子空間 可回顧本節用到 的子空間判準；接着再讀 6.4 線性相依與線性獨立， 看張成如何與「生成列表有沒有冗餘」這個問題連在一起。