到目前為止，課程大部分都在處理線性結構：張成、線性無關、基底、特徵
向量與對角化。內積把幾何帶回來，令我們可以在同一個向量空間內討論長
度、垂直與夾角。
這個運算輸入兩個向量，輸出一個純量。把對應坐標相乘再相加，所得實數
可以記錄兩個向量同向、反向或互相垂直的程度。
從一個純量讀出長度與夾角
當你寫下
⟨ v , w ⟩ = v T w , \langle v,w\rangle=v^Tw, ⟨ v , w ⟩ = v T w , 你是在引入之後會控制正交性、投影、標準正交基與基本不等式的運算。這裏
要求向量有相同維數而且坐標為實數：若 v v v m m m w w w v T w v^Tw v T w
定義
標準內積 設 u u u v v v R m \mathbb{R}^m R m m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 內積 是實數
⟨ u , v ⟩ = ∑ i = 1 m u i v i = u T v . \langle u,v\rangle
=\sum_{i=1}^m u_iv_i
=u^Tv. ⟨ u , v ⟩ = i = 1 ∑ m u i v i = u T v . 它亦稱為點積 。我們把 1 × 1 1\times1 1 × 1 u T v u^Tv u T v
例題
計算內積並比較外積 設
v = [ 1 2 ] , w = [ 3 4 ] . v=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},
\qquad
w=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}. v = [ 1 2 ] , w = [ 3 4 ] . 兩個向量的維數相同，因此
⟨ v , w ⟩ = v T w = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 11. \langle v,w\rangle=v^Tw=1\cdot3+2\cdot4=11. ⟨ v , w ⟩ = v T w = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 11. 交換次序所得的純量相同：
⟨ w , v ⟩ = 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 11. \langle w,v\rangle=3\cdot1+4\cdot2=11. ⟨ w , v ⟩ = 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 11. 但是外積 v w T vw^T v w T 2 × 2 2\times2 2 × 2
v w T = [ 1 2 ] [ 3 4 ] = [ 3 4 6 8 ] . vw^T=
\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}3&4\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}3&4\\6&8\end{bmatrix}. v w T = [ 1 2 ] [ 3 4 ] = [ 3 6 4 8 ] . 所以 v T w v^Tw v T w 1 × 1 1\times1 1 × 1 v w T vw^T v w T 2 × 2 2\times2 2 × 2
u = [ 1 2 3 ] , z = [ 4 5 6 ] , u=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},
\qquad
z=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}, u = 1 2 3 , z = 4 5 6 , 則
⟨ u , z ⟩ = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 = 32. \langle u,z\rangle=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32. ⟨ u , z ⟩ = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 = 32. 維數檢查是定義的一部分，不是排版習慣。若 u u u R m \mathbb{R}^m R m u T u^T u T m m m m m m v v v 1 × 1 1\times1 1 × 1 v w T vw^T v w T m × 1 m\times1 m × 1 1 × m 1\times m 1 × m 1 1 1 1 1 1 m × m m\times m m × m
概念視角 結構
一個純量同時承載兩種資訊 固定 v v v w w w w ↦ ⟨ v , w ⟩ w\mapsto\langle v,w\rangle w ↦ ⟨ v , w ⟩ w w w v v v w = v w=v w = v ⟨ v , v ⟩ = ∥ v ∥ 2 \langle v,v\rangle=\|v\|^2 ⟨ v , v ⟩ = ∥ v ∥ 2 ⟨ ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) ⟩ = 0 \langle(1,0),(0,1)\rangle=0 ⟨( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )⟩ = 0
內積的基本性質
定理
雙線性、對稱性與正定性 對 u , v , w ∈ R m u,v,w\in\mathbb{R}^m u , v , w ∈ R m α , β ∈ R \alpha,\beta\in\mathbb{R} α , β ∈ R
對稱性：
⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ; \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle; ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ;
第一個變量線性：
⟨ α u + β v , w ⟩ = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ ; \langle \alpha u+\beta v,w\rangle
=\alpha\langle u,w\rangle+\beta\langle v,w\rangle; ⟨ αu + β v , w ⟩ = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ ;
第二個變量線性：
⟨ w , α u + β v ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ ; \langle w,\alpha u+\beta v\rangle
=\alpha\langle w,u\rangle+\beta\langle w,v\rangle; ⟨ w , αu + β v ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ ;
零向量關係：
⟨ 0 , v ⟩ = ⟨ v , 0 ⟩ = 0 ; \langle 0,v\rangle=\langle v,0\rangle=0; ⟨ 0 , v ⟩ = ⟨ v , 0 ⟩ = 0 ;
正定性：
⟨ v , v ⟩ ≥ 0 , \langle v,v\rangle\ge0, ⟨ v , v ⟩ ≥ 0 , 而且等號成立當且僅當 v = 0 v=0 v = 0
證明
內積性質的證明 對稱性來自轉置 1 × 1 1\times1 1 × 1
⟨ u , v ⟩ = u T v = ( u T v ) T = v T ( u T ) T = v T u = ⟨ v , u ⟩ . \langle u,v\rangle=u^Tv=(u^Tv)^T=v^T(u^T)^T=v^Tu=\langle v,u\rangle. ⟨ u , v ⟩ = u T v = ( u T v ) T = v T ( u T ) T = v T u = ⟨ v , u ⟩ . 利用矩陣乘法的分配律和轉置規則，
⟨ α u + β v , w ⟩ = ( α u + β v ) T w = ( α u T + β v T ) w = α u T w + β v T w = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ . \begin{aligned}
\langle\alpha u+\beta v,w\rangle
&=(\alpha u+\beta v)^Tw\\
&=(\alpha u^T+\beta v^T)w\\
&=\alpha u^Tw+\beta v^Tw\\
&=\alpha\langle u,w\rangle+\beta\langle v,w\rangle.
\end{aligned} ⟨ αu + β v , w ⟩ = ( αu + β v ) T w = ( α u T + β v T ) w = α u T w + β v T w = α ⟨ u , w ⟩ + β ⟨ v , w ⟩ . 第二個變量的線性性由對稱性得到：
⟨ w , α u + β v ⟩ = ⟨ α u + β v , w ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ . \langle w,\alpha u+\beta v\rangle
=\langle\alpha u+\beta v,w\rangle
=\alpha\langle w,u\rangle+\beta\langle w,v\rangle. ⟨ w , αu + β v ⟩ = ⟨ αu + β v , w ⟩ = α ⟨ w , u ⟩ + β ⟨ w , v ⟩ . 零向量關係直接來自坐標和。最後，
⟨ v , v ⟩ = ∑ i = 1 m v i 2 ≥ 0. \langle v,v\rangle=\sum_{i=1}^m v_i^2\ge0. ⟨ v , v ⟩ = i = 1 ∑ m v i 2 ≥ 0. 實數平方的和等於零，當且僅當每個 v i = 0 v_i=0 v i = 0 v = 0 v=0 v = 0
定理
用所有向量作檢驗 若 v ∈ R m v\in\mathbb{R}^m v ∈ R m
⟨ v , x ⟩ = 0 對每個 x ∈ R m , \langle v,x\rangle=0\quad\text{對每個 }x\in\mathbb{R}^m, ⟨ v , x ⟩ = 0 對每個 x ∈ R m , 則 v = 0 v=0 v = 0
⟨ v , x ⟩ = ⟨ w , x ⟩ 對每個 x ∈ R m , \langle v,x\rangle=\langle w,x\rangle
\quad\text{對每個 }x\in\mathbb{R}^m, ⟨ v , x ⟩ = ⟨ w , x ⟩ 對每個 x ∈ R m , 則 v = w v=w v = w
證明第一個結論時，「對每個 x x x x = v x=v x = v ⟨ v , v ⟩ = 0 \langle v,v\rangle=0 ⟨ v , v ⟩ = 0 v = 0 v=0 v = 0
⟨ v − w , x ⟩ = 0 對每個 x . \langle v-w,x\rangle=0\quad\text{對每個 }x. ⟨ v − w , x ⟩ = 0 對每個 x . 把第一個結論套用於 v − w v-w v − w v = w v=w v = w e j e_j e j
範數與單位向量
定義
範數 對 v ∈ R m v\in\mathbb{R}^m v ∈ R m v v v 範數 （或長度）定義為
∥ v ∥ = ⟨ v , v ⟩ = ∑ i = 1 m v i 2 . \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}
=\sqrt{\sum_{i=1}^m v_i^2}. ∥ v ∥ = ⟨ v , v ⟩ = i = 1 ∑ m v i 2 . 正定性保證根號內的量非負。
定理
範數的基本性質 對每個 v ∈ R m v\in\mathbb{R}^m v ∈ R m α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R
∥ v ∥ ≥ 0 , \|v\|\ge0, ∥ v ∥ ≥ 0 , 而且 ∥ v ∥ = 0 \|v\|=0 ∥ v ∥ = 0 v = 0 v=0 v = 0
∥ α v ∥ = ∣ α ∣ ∥ v ∥ . \|\alpha v\|=|\alpha|\,\|v\|. ∥ αv ∥ = ∣ α ∣ ∥ v ∥. 第一條來自非負平方根和內積的正定性。對第二條先平方：
∥ α v ∥ 2 = ⟨ α v , α v ⟩ = α 2 ⟨ v , v ⟩ = α 2 ∥ v ∥ 2 . \|\alpha v\|^2
=\langle\alpha v,\alpha v\rangle
=\alpha^2\langle v,v\rangle
=\alpha^2\|v\|^2. ∥ αv ∥ 2 = ⟨ αv , αv ⟩ = α 2 ⟨ v , v ⟩ = α 2 ∥ v ∥ 2 . 左右兩邊 ∥ α v ∥ \|\alpha v\| ∥ αv ∥ ∣ α ∣ ∥ v ∥ |\alpha|\|v\| ∣ α ∣∥ v ∥ α = 0 \alpha=0 α = 0 α < 0 \alpha<0 α < 0
注意證明的次序：先得到長度平方的等式，此時 α \alpha α
定義
單位向量 若
∥ v ∥ = 1 , \|v\|=1, ∥ v ∥ = 1 , 則稱 v v v 單位向量 。若 v ≠ 0 v\ne0 v = 0
v ^ = v ∥ v ∥ \widehat v=\frac{v}{\|v\|} v = ∥ v ∥ v 是把 v v v
例題
計算範數、正規化並檢查邊界 設
v = [ 1 2 3 ] . v=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}. v = 1 2 3 . 則
∥ v ∥ = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 , v ^ = 1 14 [ 1 2 3 ] . \|v\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14},
\qquad
\widehat v=\frac1{\sqrt{14}}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}. ∥ v ∥ = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 , v = 14 1 1 2 3 . 逐坐標檢查單位長度：
( 1 14 ) 2 + ( 2 14 ) 2 + ( 3 14 ) 2 = 1 + 4 + 9 14 = 1. \left(\frac1{\sqrt{14}}\right)^2+
\left(\frac2{\sqrt{14}}\right)^2+
\left(\frac3{\sqrt{14}}\right)^2
=\frac{1+4+9}{14}=1. ( 14 1 ) 2 + ( 14 2 ) 2 + ( 14 3 ) 2 = 14 1 + 4 + 9 = 1. 若乘以 -2，則
∥ − 2 v ∥ = 2 14 , − 2 v ∥ − 2 v ∥ = − v ∥ v ∥ . \|-2v\|=2\sqrt{14},
\qquad
\frac{-2v}{\|-2v\|}=-\frac{v}{\|v\|}. ∥ − 2 v ∥ = 2 14 , ∥ − 2 v ∥ − 2 v = − ∥ v ∥ v . 長度變成原來的兩倍，而單位方向相反。邊界情形 α = 0 \alpha=0 α = 0
內積與範數互相決定
內積透過 ∥ v ∥ 2 = ⟨ v , v ⟩ \|v\|^2=\langle v,v\rangle ∥ v ∥ 2 = ⟨ v , v ⟩
定理
轉換公式 對 u , v ∈ R m u,v\in\mathbb{R}^m u , v ∈ R m
∥ u ± v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ± 2 ⟨ u , v ⟩ ; \|u\pm v\|^2
=\|u\|^2+\|v\|^2\pm2\langle u,v\rangle; ∥ u ± v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ± 2 ⟨ u , v ⟩ ;
極化恆等式：
⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u ∥ 2 − ∥ v ∥ 2 ) ; \langle u,v\rangle
=\frac12\bigl(\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2\bigr); ⟨ u , v ⟩ = 2 1 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u ∥ 2 − ∥ v ∥ 2 ) ;
平行四邊形恆等式：
∥ u + v ∥ 2 + ∥ u − v ∥ 2 = 2 ∥ u ∥ 2 + 2 ∥ v ∥ 2 . \|u+v\|^2+\|u-v\|^2
=2\|u\|^2+2\|v\|^2. ∥ u + v ∥ 2 + ∥ u − v ∥ 2 = 2∥ u ∥ 2 + 2∥ v ∥ 2 . 證明
先展開，再整理 由雙線性和對稱性，
∥ u + v ∥ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , u ⟩ + ⟨ v , v ⟩ = ∥ u ∥ 2 + 2 ⟨ u , v ⟩ + ∥ v ∥ 2 . \begin{aligned}
\|u+v\|^2
&=\langle u+v,u+v\rangle\\
&=\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle
+\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle\\
&=\|u\|^2+2\langle u,v\rangle+\|v\|^2.
\end{aligned} ∥ u + v ∥ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , u ⟩ + ⟨ v , v ⟩ = ∥ u ∥ 2 + 2 ⟨ u , v ⟩ + ∥ v ∥ 2 . 把 v v v − v -v − v
⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u − v ∥ 2 ) . \langle u,v\rangle
=\frac14\bigl(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\bigr). ⟨ u , v ⟩ = 4 1 ( ∥ u + v ∥ 2 − ∥ u − v ∥ 2 ) . 兩個極化公式適合不同的檢查：第一個比較 u + v u+v u + v m m m
非零向量之間的夾角
對 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 x , y x,y x , y 0 ≤ θ ≤ π 0\le\theta\le\pi 0 ≤ θ ≤ π x x x y y y y − x y-x y − x
∥ y − x ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 − 2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ . \|y-x\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\,\|y\|\cos\theta. ∥ y − x ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 − 2∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ . 而轉換公式給出同一個左邊：
∥ y − x ∥ 2 = ∥ y ∥ 2 + ∥ x ∥ 2 − 2 ⟨ x , y ⟩ . \|y-x\|^2=\|y\|^2+\|x\|^2-2\langle x,y\rangle. ∥ y − x ∥ 2 = ∥ y ∥ 2 + ∥ x ∥ 2 − 2 ⟨ x , y ⟩ . 兩式的前三項完全相同，剩下的就是餘弦定理中的交叉項和內積。因此
2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ = 2 ⟨ x , y ⟩ . 2\|x\|\,\|y\|\cos\theta=2\langle x,y\rangle. 2∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ = 2 ⟨ x , y ⟩ . 向量平行或反向時三角形退化，但同一個餘弦關係仍給出角 0 0 0 π \pi π
定理
內積與幾何夾角 對 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 x , y x,y x , y
⟨ x , y ⟩ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ , \langle x,y\rangle=\|x\|\,\|y\|\cos\theta, ⟨ x , y ⟩ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ , 以及
θ = arccos ( ⟨ x , y ⟩ ∥ x ∥ ∥ y ∥ ) . \theta=\arccos\!\left(
\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\,\|y\|}
\right). θ = arccos ( ∥ x ∥ ∥ y ∥ ⟨ x , y ⟩ ) . 分母為正，因為兩個向量都非零。若 y = α x y=\alpha x y = αx α > 0 \alpha>0 α > 0 0 0 0 α < 0 \alpha<0 α < 0 π \pi π [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] R m \mathbb{R}^m R m ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0
在二維和三維中，內積的符號也有幾何意義。當 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 θ = 0 \theta=0 θ = 0 θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2 π / 2 < θ < π \pi/2<\theta<\pi π /2 < θ < π θ = π \theta=\pi θ = π R m \mathbb{R}^m R m ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0
下面的圖解從本節的標準內積和範數開始，再把夾角公式作為進入 9.2 正交
語言的橋樑。
例題
計算夾角並核對長度恆等式 令
u = [ 1 2 ] , v = [ 3 1 ] . u=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},
\qquad
v=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}. u = [ 1 2 ] , v = [ 3 1 ] . 首先，
⟨ u , v ⟩ = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 5 , ∥ u ∥ = 5 , ∥ v ∥ = 10 . \langle u,v\rangle=1\cdot3+2\cdot1=5,
\qquad
\|u\|=\sqrt5,
\qquad
\|v\|=\sqrt{10}. ⟨ u , v ⟩ = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 5 , ∥ u ∥ = 5 , ∥ v ∥ = 10 . 所以
cos θ = 5 5 10 = 1 2 , θ = π 4 . \cos\theta=\frac5{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt2},
\qquad
\theta=\frac\pi4. cos θ = 5 10 5 = 2 1 , θ = 4 π . 再看
u + v = [ 4 3 ] , ∥ u + v ∥ 2 = 25. u+v=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix},
\qquad
\|u+v\|^2=25. u + v = [ 4 3 ] , ∥ u + v ∥ 2 = 25. 由極化恆等式反推出
⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( 25 − 5 − 10 ) = 5. \langle u,v\rangle=\frac12(25-5-10)=5. ⟨ u , v ⟩ = 2 1 ( 25 − 5 − 10 ) = 5. 平行四邊形的另一條對角線為
u − v = [ − 2 1 ] , ∥ u − v ∥ 2 = 5. u-v=\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix},
\qquad
\|u-v\|^2=5. u − v = [ − 2 1 ] , ∥ u − v ∥ 2 = 5. 完整核對是
25 + 5 = 2 ( 5 ) + 2 ( 10 ) = 30. 25+5=2(5)+2(10)=30. 25 + 5 = 2 ( 5 ) + 2 ( 10 ) = 30. 兩條對角線都符合平行四邊形恆等式，夾角、內積和範數的計算彼此一致。
讀懂坐標與正交性
坐標定義令後面的論證更具體。若
u = ( u 1 , … , u m ) T u=(u_1,\ldots,u_m)^T u = ( u 1 , … , u m ) T v = ( v 1 , … , v m ) T v=(v_1,\ldots,v_m)^T v = ( v 1 , … , v m ) T
例如，取
a = [ 1 2 3 ] , b = [ − 1 − 1 1 ] a=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},
\qquad
b=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} a = 1 2 3 , b = − 1 − 1 1 則
⟨ a , b ⟩ = 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 3 ( 1 ) = 0. \langle a,b\rangle=1(-1)+2(-1)+3(1)=0. ⟨ a , b ⟩ = 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 3 ( 1 ) = 0. 所以它們在 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 R m \mathbb{R}^m R m
標準基向量亦令「用所有向量檢驗」的定理很清楚。因為 e j e_j e j j j j 1 1 1
⟨ v , e j ⟩ = v j . \langle v,e_j\rangle=v_j. ⟨ v , e j ⟩ = v j . 因此，只要分別用每個 e j e_j e j v v v
因此，內積不是逐個坐標比較是否相等。兩個向量的坐標可以不同而內積為零，
也可以有正內積卻不是彼此的純量倍數。這個純量量度的是所有坐標的整體相互
作用。之後的投影公式會出現
⟨ v , w ⟩ / ∥ v ∥ 2 \langle v,w\rangle/\|v\|^2 ⟨ v , w ⟩ /∥ v ∥ 2 v v v w w w v v v
常見錯誤與快速檢查
常見錯誤
純量積不是外積 v T w v^Tw v T w v w T vw^T v w T
常見錯誤
不要給零向量指定直角 ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 R m \mathbb{R}^m R m
思考檢查
計算內積 ⟨ ( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) ⟩ \langle (1,2),(3,4)\rangle ⟨( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 )⟩ 逐項相乘後相加，再比較 v T w v^Tw v T w v w T vw^T v w T
解答 · 答案 內積是 11，是一個純量。外積形狀為 2 乘 2；本例的兩行是 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) ( 6 , 8 ) (6,8) ( 6 , 8 )
思考檢查
若 ∥ v ∥ = 0 \|v\|=0 ∥ v ∥ = 0 解答 · 答案 v = 0 v=0 v = 0
思考檢查
若 v ≠ 0 v\ne0 v = 0 v / ∥ v ∥ v/\|v\| v /∥ v ∥ 解答 · 答案 因為 v v v
∥ v ∥ v ∥ ∥ = 1 ∥ v ∥ ∥ v ∥ = 1. \left\|\frac{v}{\|v\|}\right\|
=\frac1{\|v\|}\|v\|=1. ∥ v ∥ v = ∥ v ∥ 1 ∥ v ∥ = 1. 思考檢查
計算 [ 3 4 ] \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} [ 3 4 ] 解答 · 引導解答 ∥ [ 3 4 ] ∥ = 3 2 + 4 2 = 5. \left\|\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\right\|
=\sqrt{3^2+4^2}=5. [ 3 4 ] = 3 2 + 4 2 = 5. 思考檢查
把 [ 2 − 2 1 ] \begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix} 2 − 2 1 解答 · 引導解答 這個向量非零，而且
∥ [ 2 − 2 1 ] ∥ = 2 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 = 3. \left\|\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}\right\|
=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3. 2 − 2 1 = 2 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 = 3. 因此正規化結果是
1 3 [ 2 − 2 1 ] . \frac13\begin{bmatrix}2\\-2\\1\end{bmatrix}. 3 1 2 − 2 1 . 思考檢查
非零向量 x x x y y y ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x,y\rangle=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 解答 · 引導解答 兩個範數都為正，因此
0 = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ 0=\|x\|\,\|y\|\cos\theta 0 = ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos θ 迫使 cos θ = 0 \cos\theta=0 cos θ = 0 0 ≤ θ ≤ π 0\le\theta\le\pi 0 ≤ θ ≤ π θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2
相關筆記
接着閱讀
9.2 正交集與標準正交基 ，
學習如何用內積構造方便的基底與坐標公式。
之後的
9.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式
直接依賴這裏介紹的定義與範數公式。
本章亦延續
6.5 基底與維數
所展開的幾何主線。
