變數替換與雅可比行列式

同時變換區域與面積元素

坐標映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ 可把複雜區域變成簡單區域，同時也會伸縮小面積。在正則點，線性近似 $DT$ 把小坐標矩形映成近似平行四邊形，其面積為 $|\det DT|\,du\,dv$。行列式的絕對值量度無符號面積比例，符號則記錄方向。

定義

雅可比行列式

對 $C^1$ 平面映射 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，其雅可比行列式為

$$J_T(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}.$$

定理

二維變數替換

設 $S\subset\mathbb R^2$ 有界且 Jordan 可測，其閉包 $\overline S$ 為緊集，且包含於開集 $U$。假設 $T:U\to V$ 是到開集 $V$ 的 $C^1$ 微分同胚，令 $D=T(S)$，且 $f$ 在 $T(\overline S)$ 上連續。則

$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =\iint_S f(T(u,v))\,|J_T(u,v)|\,du\,dv.$$

對有界集合，Jordan 可測是指其邊界面積為零。$C^1$ 微分同胚是具有 $C^1$ 逆映射的雙射 $C^1$ 映射；因此其雅可比行列式非零。這些是充分條件；若映射把 $D$ 的正面積部分覆蓋多次，不計重數便不能使用此公式。

證明

行列式的幾何原因

對小增量 $\Delta u,\Delta v$，可微性使坐標小格的像近似由 $T_u\Delta u$ 和 $T_v\Delta v$ 生成的平行四邊形，其面積為 $|\det(T_u,T_v)|\Delta u\Delta v$。在能控制局部近似及分割誤差的假設下，將變換後取樣值相加並取極限便得到公式。這是思路，並非任意區域情況的完整證明。

極坐標

令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，其中 $r\ge0$。則

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}\right|=r.$$

因此 $dA=r\,dr\,d\theta$。對半徑為 $R>0$ 的圓盤和在閉圓盤上連續的被積函數，先限制在 $\varepsilon\le r\le R$、$\delta\le\theta\le2\pi-\delta$，其中 $0<\varepsilon<R$、$0<\delta<\pi$。映射在此矩形的某個開鄰域上是微分同胚。先在那裏應用定理，再令 $\varepsilon,\delta\to0$：被省去的小圓盤和角形區域的面積趨於零，而被積函數在閉圓盤上連續因而有界；相應的參數被積函數也有界，所以省去的積分趨於零。這樣才證明了雖有原點和接縫仍可使用圓盤公式，而不是自動把它們當成例外。長度 $4\pi$ 的角度區間會把幾乎每點計算兩次。

例題

圓盤與徑向被積函數

對圓盤 $D:x^2+y^2\le4$，

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2r^2\,r\,dr\,d\theta=8\pi.$$

第一個 $r^2$ 是變換後的被積函數；額外的 $r$ 是雅可比因子。遺漏它會改變答案及面積元素的量綱。

例題

線性變換

令 $D$ 為平行四邊形 $0\le x+y\le2$、$0\le x-y\le1$，計算 $\iint_D(x+y)\,dA$。設 $u=x+y$、$v=x-y$，則 $x=(u+v)/2$、$y=(u-v)/2$。新區域為 $0\le u\le2$、$0\le v\le1$，而 $|\partial(x,y)/\partial(u,v)|=1/2$。故

$$\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^2\int_0^1u\cdot\frac12\,dv\,du=1.$$

注意 $\partial(u,v)/\partial(x,y)=-2$ 是反方向的雅可比行列式；此處需要它的絕對值倒數。

比較及檢查

若垂直或水平上下限簡單，直角坐標通常較好；極坐標適合圓盤、扇形及徑向函數；線性替換適合平行四邊形和線性組合。務必 (1) 描述新區域，(2) 用新變數表示被積函數，(3) 計算正確方向的雅可比行列式，(4) 檢查是否一對一覆蓋，(5) 核對邊界與符號。雅可比行列式為負，並不會令普通標量面積積分變負。

練習

1. 用極坐標求 $x^2+y^2\le9$ 的面積。
2. 對 $D:x^2+y^2\le1$，計算 $\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA$。
3. 設 $x=2u$、$y=3v$。求 $[0,1]^2$ 的像，並用雅可比行列式求其面積。
4. 解釋為何 $0\le r\le1$、$0\le\theta\le4\pi$ 不是單位圓盤除邊界外的一對一極坐標參數化。

詳解

1. $\int_0^{2\pi}\int_0^3r\,dr\,d\theta=9\pi$。
2. $\int_0^{2\pi}\int_0^1e^{r^2}r\,dr\,d\theta=\pi(e-1)$。
3. 像為 $[0,2]\times[0,3]$，雅可比行列式為 $6$。面積是 $\int_0^1\int_0^1 6\,du\,dv=6$。
4. 除可忽略的接縫外，每個非零內點有兩個角度相差 $2\pi$ 的表示，積分因此把面積計算兩次。

總結

替換變數時，坐標、被積函數、區域和測度都要一起變換。雅可比行列式反映局部面積比例；一對一性或明確的覆蓋次數控制，避免重複計算。