張成列表可以表示空間中的每個向量，但相依列表可能用不同的係數表示同一個向量。同時要求張成與線性獨立，就能使每個表示唯一。基底把這兩個條件結合起來。
定義
基底 若一組向量 { u 1 , u 2 , … , u m } \{u_1, u_2, \ldots, u_m\} { u 1 , u 2 , … , u m }
u 1 , u 2 , … , u m u_1, u_2, \ldots, u_m u 1 , u 2 , … , u m Span { u 1 , u 2 , … , u m } = V \operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_m\} = V Span { u 1 , u 2 , … , u m } = V 那它就是向量空間 V V V
本節使用實數純量，寫出的基底都是有限列表。固定次序 ( u 1 , … , u m ) (u_1,\ldots,u_m) ( u 1 , … , u m ) x = ∑ a i u i = ∑ b i u i x=\sum a_i u_i=\sum b_i u_i x = ∑ a i u i = ∑ b i u i ∑ ( a i − b i ) u i = 0 \sum(a_i-b_i)u_i=0 ∑ ( a i − b i ) u i = 0 a i = b i a_i=b_i a i = b i
張成與獨立回答不同的問題
下方圖解區分基底的兩個條件：張成使每個目標都能表示，獨立排除冗餘表示。維數記錄基底的共同大小；後文會給出計數證明。
比較互為倍數的兩個生成向量與線性獨立的兩個生成向量，分別確定它們的張成。
標準基底是最典型的例子
學生最先接觸到的基底，通常是 R 3 R^3 R 3
e 1 = [ 1 0 0 ] , e 2 = [ 0 1 0 ] , e 3 = [ 0 0 1 ] . e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad
e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad
e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. e 1 = 1 0 0 , e 2 = 0 1 0 , e 3 = 0 0 1 . 這三個向量的重要之處，在於它們各自只負責一個座標方向。
例題
為甚麼 R 3 R^3 R 3 要證明 { e 1 , e 2 , e 3 } \{e_1, e_2, e_3\} { e 1 , e 2 , e 3 } R 3 R^3 R 3
先看張成。若
x = [ a b c ] , x = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}, x = a b c , 那麼
x = a e 1 + b e 2 + c e 3 . x = a e_1 + b e_2 + c e_3. x = a e 1 + b e 2 + c e 3 . 所以 R 3 R^3 R 3 e 1 , e 2 , e 3 e_1, e_2, e_3 e 1 , e 2 , e 3
再看線性獨立。若
α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = 0 , \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0, α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = 0 , 逐個座標比較，就得到
α 1 = 0 , α 2 = 0 , α 3 = 0. \alpha_1 = 0,\quad \alpha_2 = 0,\quad \alpha_3 = 0. α 1 = 0 , α 2 = 0 , α 3 = 0. 因此唯一的線性關係就是平凡關係。
兩個條件都成立，所以 { e 1 , e 2 , e 3 } \{e_1, e_2, e_3\} { e 1 , e 2 , e 3 } R 3 R^3 R 3
這個例子亦說明了基底座標有多實用：一旦基底固定，係數 a a a b b b c c c
為甚麼基底的向量數目這麼重要
不同的基底可以由不同向量組成。定義維數之前，必須先證明它們的向量數目相同。
定理
同一個空間的任何基底都有相同數目 若 B 1 B_1 B 1 B 2 B_2 B 2 V V V
正因如此，維數才是一個定義良好的概念。否則，「基底裡有多少個向量」
這件事會隨你選哪一組基底而改變，維數便無法成為一個穩定量。
這個定理背後有一個基本的計數原理。
定理
在已被張成的空間中，太多向量必定相依 若 { v 1 , … , v m } \{v_1,\ldots,v_m\} { v 1 , … , v m } V V V V V V m m m
證明
先數係數，再定義維數 目標是在 n > m n\gt m n > m u j ∈ V u_j\in V u j ∈ V m m m v i v_i v i V V V
u j = ∑ i = 1 m a i j v i , C = ( a i j ) ∈ M m , n ( R ) . u_j=\sum_{i=1}^m a_{ij}v_i,\qquad C=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb R). u j = i = 1 ∑ m a ij v i , C = ( a ij ) ∈ M m , n ( R ) . 係數矩陣有 m m m n n n m m m C c = 0 Cc=0 C c = 0 c ∈ R n c\in\mathbb R^n c ∈ R n
∑ j = 1 n c j u j = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j c j ) v i = 0. \sum_{j=1}^n c_ju_j
=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}c_j\right)v_i=0. j = 1 ∑ n c j u j = i = 1 ∑ m ( j = 1 ∑ n a ij c j ) v i = 0. 這就是所需的非平凡關係。令各個係數表達式為零，是讓向量和為零的充分條件 。這裏沒有假設生成向量 v i v_i v i m = 0 m=0 m = 0
現在設兩組有限基底分別有 r , s r,s r , s s ≤ r s\le r s ≤ r r ≤ s r\le s r ≤ s r = s r=s r = s
維數就是獨立方向的數目
定義
維數 向量空間 V V V dim ( V ) \dim(V) dim ( V ) V V V
維數量度的是：這個空間究竟有多少個真正獨立的方向。
dim ( R m ) = m \dim(R^m) = m dim ( R m ) = m dim ( M m n ) = m n \dim(M_{mn}) = mn dim ( M mn ) = mn dim ( P n ) = n + 1 \dim(P_n) = n + 1 dim ( P n ) = n + 1 所有實係數多項式所成的空間是無限維，因為任何有限列表都無法張成
所有冪次 1 , x , x 2 , … 1,x,x^2,\ldots 1 , x , x 2 , …
零子空間是特別情況：
dim ( { 0 } ) = 0. \dim(\{0\}) = 0. dim ({ 0 }) = 0. 它的基底是空列表：唯一的線性組合是定義為零的空和，也不存在非平凡係數關係。單元素集合 { 0 } \{0\} { 0 }
子空間有自己的維數
一個向量可以有三個分量，卻屬於只有兩個獨立方向的空間。下面的例子區分外層座標的個數與子空間本身的維數。
例題
R 3 R^3 R 3 令
W = { [ x y 0 ] : x , y ∈ R } . W = \left\{
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 0
\end{bmatrix}
: x, y \in R
\right\}. W = ⎩ ⎨ ⎧ x y 0 : x , y ∈ R ⎭ ⎬ ⎫ . 這就是 R 3 R^3 R 3 z = 0 z = 0 z = 0
考慮
u 1 = [ 1 0 0 ] , u 2 = [ 0 1 0 ] . u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\qquad
u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}. u 1 = 1 0 0 , u 2 = 0 1 0 . W W W
[ x y 0 ] = x u 1 + y u 2 , \begin{bmatrix}
x \\ y \\ 0
\end{bmatrix}
= x u_1 + y u_2, x y 0 = x u 1 + y u 2 , 因此 u 1 u_1 u 1 u 2 u_2 u 2 W W W
它們亦線性獨立，因為
α 1 u 1 + α 2 u 2 = 0 \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = 0 α 1 u 1 + α 2 u 2 = 0 必有 α 1 = α 2 = 0 \alpha_1 = \alpha_2 = 0 α 1 = α 2 = 0
所以 { u 1 , u 2 } \{u_1, u_2\} { u 1 , u 2 } W W W
dim ( W ) = 2. \dim(W) = 2. dim ( W ) = 2. 由此可見，維數不是在數「向量有多少個座標」，而是在數「這個空間本身
有多少個獨立方向」。
維數如何變成捷徑
一旦你知道某個空間的維數，很多基底問題就會變得短得多。
若 dim ( V ) = m \dim(V) = m dim ( V ) = m
V V V m m m V V V m m m V V V 少於 m m m V V V
多於 m m m
這就是維數的威力。當向量數目已經和維數吻合時，你往往只需完成一半檢
查，就能推出整個結論。
這件事可以整理成一個很有用的三項判準。設 u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n W W W
dim ( W ) = n \dim(W)=n dim ( W ) = n u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n Span { u 1 , … , u n } = W \operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\}=W Span { u 1 , … , u n } = W
只要其中任意兩項成立，第三項就會自動成立，而 { u 1 , … , u n } \{u_1,\ldots,u_n\} { u 1 , … , u n } W W W
這通常是寫解答時最乾淨的方法。你不必每次都從頭證明「線性獨立」和
「張成」兩件事；先找出維數，再證明兩者之中較容易的一項，另一項便由
定理補上。
例題
在 R 3 R^3 R 3 令
u 1 = [ 1 2 2 ] , u 2 = [ 2 3 4 ] , u 3 = [ 3 8 7 ] . u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\quad
u_2=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix},\quad
u_3=\begin{bmatrix}3\\8\\7\end{bmatrix}. u 1 = 1 2 2 , u 2 = 2 3 4 , u 3 = 3 8 7 . 我們要證明這三個向量形成 R 3 R^3 R 3
先檢查線性獨立。方程
c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3=0 c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 的係數矩陣是
[ 1 2 3 2 3 8 2 4 7 ] . \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 8\\
2 & 4 & 7
\end{bmatrix}. 1 2 2 2 3 4 3 8 7 . 行化簡可得一個每一欄都有主元的階梯形，例如
[ 1 2 3 0 1 − 2 0 0 1 ] . \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}. 1 0 0 2 1 0 3 − 2 1 . 因此齊次方程只有平凡解，u 1 , u 2 , u 3 u_1,u_2,u_3 u 1 , u 2 , u 3
由於 dim ( R 3 ) = 3 \dim(R^3)=3 dim ( R 3 ) = 3 R 3 R^3 R 3 R 3 R^3 R 3
非平凡零組合可以檢驗給定列表中的冗餘。
延伸與縮減向量列表
定理
延伸與刪減的結果 若 dim ( V ) = m > 0 \dim(V)=m>0 dim ( V ) = m > 0
少於 m m m V V V
任何少於 m m m V V V
任何多於 m m m
基底也是按包含關係極小的張成集：刪去任一成員都會失去張成性，否則該成員便可由其餘成員表示。反之，相依的張成列表可按冗餘定理縮短。基底又是 V V V V V V
零空間：用 rank-nullity 檢查基底
對齊次方程組來說，維數捷徑會變得特別具體。設 A A A p × q p \times q p × q r r r
dim ( N ( A ) ) = q − r . \dim(N(A)) = q-r. dim ( N ( A )) = q − r . 含 r r r q − r q-r q − r q = r q=r q = r 6.6 欄空間、行空間與秩 將證明它也等於行空間與欄空間的維數。
所以 u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n N ( A ) N(A) N ( A )
每個向量真的在零空間中，即 A u j = 0 Au_j=0 A u j = 0
候選向量數目正確，即 n = q − r n=q-r n = q − r
候選向量線性獨立。
這樣便不需要直接證明完整的集合相等
N ( A ) = Span { u 1 , … , u n } N(A)=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\} N ( A ) = Span { u 1 , … , u n }
例題
檢查一組候選向量是否為零空間基底 令
A = [ 1 2 0 1 1 1 1 − 1 3 1 5 − 7 ] , W = N ( A ) , A=
\begin{bmatrix}
1&2&0&1\\
1&1&1&-1\\
3&1&5&-7
\end{bmatrix},
\qquad
W=N(A), A = 1 1 3 2 1 1 0 1 5 1 − 1 − 7 , W = N ( A ) , 並令
u 1 = [ 1 − 1 1 1 ] , u 2 = [ 5 − 3 − 1 1 ] . u_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\1\end{bmatrix},
\qquad
u_2=\begin{bmatrix}5\\-3\\-1\\1\end{bmatrix}. u 1 = 1 − 1 1 1 , u 2 = 5 − 3 − 1 1 . 先檢查向量是否屬於 W W W A u 1 = 0 Au_1=0 A u 1 = 0 A u 2 = 0 Au_2=0 A u 2 = 0 W W W
接着計算 W W W A A A
[ 1 0 2 − 3 0 1 − 1 2 0 0 0 0 ] , \begin{bmatrix}
1&0&2&-3\\
0&1&-1&2\\
0&0&0&0
\end{bmatrix}, 1 0 0 0 1 0 2 − 1 0 − 3 2 0 , 所以 rank ( A ) = 2 \operatorname{rank}(A)=2 rank ( A ) = 2 A A A
dim ( N ( A ) ) = 4 − 2 = 2. \dim(N(A))=4-2=2. dim ( N ( A )) = 4 − 2 = 2. 最後檢查線性獨立。把候選向量放入一個矩陣：
U = [ u 1 u 2 ] = [ 1 5 − 1 − 3 1 − 1 1 1 ] . U=[u_1\ u_2]
=
\begin{bmatrix}
1&5\\
-1&-3\\
1&-1\\
1&1
\end{bmatrix}. U = [ u 1 u 2 ] = 1 − 1 1 1 5 − 3 − 1 1 . 行化簡後每一欄都有主元，所以 u 1 , u 2 u_1,u_2 u 1 , u 2 W W W W W W u 1 , u 2 u_1,u_2 u 1 , u 2 N ( A ) N(A) N ( A )
失敗情況同樣重要：
若某個 u j u_j u j A u j = 0 Au_j=0 A u j = 0 N ( A ) N(A) N ( A )
若列表長度少於或多於 q − r q-r q − r
若列表長度正確但線性相依，它仍然不是基底。
從生成列表抽出最小張成集
有時輸入不是一組乾淨的候選基底，而是一長串生成向量。這時常見問題是：
這些向量張成的空間維數是多少？有沒有辦法從原列表中抽出一組基底？最有效的
方法是用主元欄位置。
定理
主元欄給出最小張成集 設
W = Span { u 1 , … , u q } ⊆ R n , U = [ u 1 u 2 ⋯ u q ] . W=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}\subseteq R^n,
\qquad
U=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_q]. W = Span { u 1 , … , u q } ⊆ R n , U = [ u 1 u 2 ⋯ u q ] . 對 U U U d 1 , … , d r d_1,\ldots,d_r d 1 , … , d r
{ u d 1 , … , u d r } \{u_{d_1},\ldots,u_{d_r}\} { u d 1 , … , u d r } 是 W W W dim ( W ) = r \dim(W)=r dim ( W ) = r
主元位置由化簡後的矩陣讀出，但基底向量本身要取自原列表。這和欄空間的基底
規則是同一個原理。
例題
從生成列表抽出基底 令 W = Span { u 1 , u 2 , u 3 } W=\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} W = Span { u 1 , u 2 , u 3 }
u 1 = [ 0 − 1 2 ] , u 2 = [ 1 − 2 7 ] , u 3 = [ − 2 3 − 12 ] . u_1=\begin{bmatrix}0\\-1\\2\end{bmatrix},
\quad
u_2=\begin{bmatrix}1\\-2\\7\end{bmatrix},
\quad
u_3=\begin{bmatrix}-2\\3\\-12\end{bmatrix}. u 1 = 0 − 1 2 , u 2 = 1 − 2 7 , u 3 = − 2 3 − 12 . 把它們放成 U U U
U = [ 0 1 − 2 − 1 − 2 3 2 7 − 12 ] ∼ [ 1 0 1 0 1 − 2 0 0 0 ] . U=
\begin{bmatrix}
0&1&-2\\
-1&-2&3\\
2&7&-12
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&-2\\
0&0&0
\end{bmatrix}. U = 0 − 1 2 1 − 2 7 − 2 3 − 12 ∼ 1 0 0 0 1 0 1 − 2 0 . 主元欄是第 1 1 1 2 2 2
{ u 1 , u 2 } \{u_1,u_2\} { u 1 , u 2 } 是 W W W dim ( W ) = 2 \dim(W)=2 dim ( W ) = 2
u 3 = u 1 − 2 u 2 . u_3=u_1-2u_2. u 3 = u 1 − 2 u 2 . 同維數的子空間
維數也控制一個子空間何時等於另一個子空間。設 W W W V V V W W W
dim ( V ) ≤ dim ( W ) . \dim(V) \le \dim(W). dim ( V ) ≤ dim ( W ) . 此外，
dim ( V ) = dim ( W ) 當且僅當 V = W . \dim(V)=\dim(W) \quad\text{當且僅當}\quad V=W. dim ( V ) = dim ( W ) 當且僅當 V = W . 包含關係這個假設很重要。單單維數相等，不足以推出兩個子空間相等。例
如 R 2 R^2 R 2
等維推出相等的理由是：取 V V V W W W dim W \dim W dim W W W W
例題
用維數證明兩個子空間相等 令
V = Span { [ 1 0 0 ] , [ 0 1 0 ] } V=\operatorname{Span}\left\{
\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}
\right\} V = Span ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 0 , 0 1 0 ⎭ ⎬ ⎫ 並令
W = { [ x y 0 ] : x , y ∈ R } . W=\left\{
\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}:x,y\in R
\right\}. W = ⎩ ⎨ ⎧ x y 0 : x , y ∈ R ⎭ ⎬ ⎫ . V V V V ⊆ W V \subseteq W V ⊆ W dim ( W ) = 2 \dim(W)=2 dim ( W ) = 2 V V V dim ( V ) = 2 \dim(V)=2 dim ( V ) = 2
因此 V V V W W W V = W V=W V = W
常見錯誤
常見錯誤
維數不是單純在數座標個數 R 3 R^3 R 3
另一個常見錯誤，是檢查完張成就停下來。能張成整個空間，並不代表那組
向量已經沒有冗餘。
快速檢查
思考檢查
{ ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) } \{(1,0), (2,0)\} {( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 )} R 2 R^2 R 2 解答 · 答案 不可以。這兩個向量方向相同，所以線性相依；而且它們無法張成垂直方向，
因此也張不出整個 R 2 R^2 R 2
思考檢查
若 dim ( V ) = 3 \dim(V) = 3 dim ( V ) = 3 V V V 解答 · 答案 基本上不用再證明別的。因為在一個三維空間裡，任何三個線性獨立向量都
會自動形成基底，所以它們已經張成 V V V
練習
思考檢查
向量 u 1 = ( 1 , 1 , 0 ) u_1 = (1,1,0) u 1 = ( 1 , 1 , 0 ) u 2 = ( 1 , 0 , 1 ) u_2 = (1,0,1) u 2 = ( 1 , 0 , 1 ) u 3 = ( 0 , 1 , 1 ) u_3 = (0,1,1) u 3 = ( 0 , 1 , 1 ) R 3 R^3 R 3 解答 · 引導解答 令
α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 = 0. \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \alpha_3 u_3 = 0. α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 = 0. 逐個座標比較，可得
α 1 + α 2 = 0 , α 1 + α 3 = 0 , α 2 + α 3 = 0. \alpha_1 + \alpha_2 = 0,\quad
\alpha_1 + \alpha_3 = 0,\quad
\alpha_2 + \alpha_3 = 0. α 1 + α 2 = 0 , α 1 + α 3 = 0 , α 2 + α 3 = 0. 以前兩式相減，可得 α 2 = α 3 \alpha_2 = \alpha_3 α 2 = α 3 2 α 2 = 0 2\alpha_2 = 0 2 α 2 = 0 α 2 = 0 \alpha_2 = 0 α 2 = 0 α 1 = α 3 = 0 \alpha_1 = \alpha_3 = 0 α 1 = α 3 = 0
所以三個向量線性獨立。由於 R 3 R^3 R 3 R 3 R^3 R 3
建議先讀
這一節建立在
6.4 線性相依與線性獨立
和
6.3 線性組合與張成 之上。
