欄空間、行空間與秩

固定一個矩陣，就得到兩個子空間：

• 由各欄向量張成的子空間；
• 由各行向量張成的子空間。

它們分別描述矩陣的可能輸出，以及各行能生成的線性方程。

• 對於方程組 $Ax = b$，哪些右端向量 $b$ 真的可以出現？
• 各行實際上保存了多少獨立的線性資訊？
• 把冗餘完全刪走之後，還剩下多少個真正獨立的方向？

答案就是矩陣的 欄空間、行空間 和 秩。

欄空間：矩陣可以輸出甚麼？

設 $A$ 是一個 $m \times n$ 矩陣，將它的欄寫成

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}.$$

定義

欄空間

矩陣 $A$ 的 欄空間，記作 $C(A)$，就是 $A$ 各欄向量的張成：

$$C(A) = \operatorname{Span}\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}.$$

它是 $R^m$ 的一個子空間。

這個定義最有用的讀法，是經由矩陣乘法理解。 如果 $x = (x_1, \ldots, x_n)^t$，那麼

$$Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n.$$

所以任何形如 $Ax$ 的向量，都是各欄向量的線性組合。 反過來講，任何由各欄向量組成的線性組合，都可以寫成某個 $Ax$。

定理

欄空間就是所有可能輸出

對任何 $m \times n$ 矩陣 $A$，

$$C(A) = \{Ax : x \in R^n\}.$$

因此一個向量 $b \in R^m$ 屬於 $C(A)$，當且僅當方程組 $Ax = b$ 相容、有解。

行空間：各行帶着甚麼線性資訊？

將 $A$ 的各行記為 $r_1,\ldots,r_m$，每行是 $1\times n$ 矩陣。為了把它們的張成視為通常欄向量空間 $\mathbb R^n$ 的子空間，我們明確使用各行的轉置。

定義

行空間

矩陣 $A$ 的行空間定義為

$$R(A)=\operatorname{Span}\{r_1^T,\ldots,r_m^T\}=C(A^T) =\{A^Ts:s\in\mathbb R^m\}.$$

它是 $\mathbb R^n$ 的子空間。

因此 $x\in R(A)$ 表示存在 $s\in\mathbb R^m$ 使 $x=A^Ts$，等價地，$x^T=s^TA$：行向量 $x^T$ 是 $A$ 各行的線性組合。計算時可以把行橫向寫出，但下面的行空間基底由這些行的轉置組成。這個約定使 $R(A)=C(A^T)$ 成為欄向量集合之間真正的相等。

比較空間之前，必須檢查所在空間的維數。$A$ 的欄有 $m$ 個分量，所以 $C(A)\subseteq\mathbb R^m$；轉置後的行有 $n$ 個分量，所以 $R(A)\subseteq\mathbb R^n$。對 $A^T$ 使用同一定義，還得到 $C(A)=R(A^T)$。即使 $m=n$，兩者位於同一空間，也不保證兩個張成相等。區別在於實際成員，而不只是名稱不同。

秩：數清楚獨立方向有多少個

欄空間的維數叫做 欄秩， 行空間的維數叫做 行秩。 線性代數一條核心定理告訴我們，這兩個數其實相等。

定義

秩

矩陣 $A$ 的秩定義為其 RREF 中主元的個數 $r$。下面的基底定理將證明等價的維數公式：

$$\operatorname{rank}(A) = \dim C(A) = \dim R(A).$$

當你把矩陣行化簡到 RREF 之後，主元欄的數目正正就是秩。 所以秩衡量的，是去除所有冗餘之後，還保留了多少個獨立方向。

主元位置由 RREF 讀出，但欄空間的基底向量一定要回到原矩陣中取得。

例題：由一次行化簡讀出欄空間、行空間與秩

例題

由同一個矩陣讀出欄空間、行空間與秩

考慮

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}.$$

行化簡得到

$$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = R.$$

可以依次執行 $R_3\leftarrow R_3-R_1$、$R_3\leftarrow R_3-R_2$、$R_1\leftarrow R_1-2R_2$。第三行變為零，前兩行的首一分別位於第一、二欄，得到的正是所顯示的 RREF，而不只是主元位置尚未解釋的階梯矩陣。

這裏有兩個主元欄，也就是第 $1$ 欄和第 $2$ 欄。

將 $A$ 的欄記作

$$c_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad c_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad c_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad c_4 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}.$$

因此欄空間的一組基底是

$$\{c_1, c_2\}.$$

因為其餘欄都可以由它們表示：

$$c_3 = -c_1 + c_2, \qquad c_4 = c_1 + c_2.$$

至於行空間，就用 $R$ 的非零行的轉置：

$$\{(1, 0, -1, 1)^T, (0, 1, 1, 1)^T\}.$$

因此

$$\dim C(A) = 2, \qquad \dim R(A) = 2, \qquad \operatorname{rank}(A) = 2.$$

最後，如果

$$b = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{bmatrix},$$

那麼 $b \in C(A)$，因為

$$b = c_1 + 2c_2.$$

等價地，方程組 $Ax = b$ 有解。

這張靜態圖整理上面的例題：主元位置由 RREF 讀出，欄空間的基底向量取自原矩陣，RREF 非零行的轉置形成行空間的一組基底，而兩個空間的維數同樣等於秩。

一次 RREF 給出的三個結果

下方圖解重新整理同一個例題。請區分從 RREF 讀出的資訊，以及必須回到原矩陣取得的欄空間基底向量。

行化簡時，究竟保留了甚麼？

行化簡保留其中一部分結構，也會改變另一部分結構。

定理

可逆乘法保留哪些空間

設 $A$ 為實 $m\times n$ 矩陣，$G$ 為可逆 $n\times n$ 矩陣，$H$ 為可逆 $m\times m$ 矩陣，則

$$C(AG)=C(A),\qquad R(HA)=R(A).$$

特別地，行等價矩陣具有相同行空間；它們的欄空間卻未必相等。

證明

在反向包含中使用逆矩陣

若 $y\in C(AG)$，寫成 $y=AGs=A(Gs)$，便知 $y\in C(A)$。反過來，若 $y=At\in C(A)$，取 $s=G^{-1}t$，則 $AGs=AGG^{-1}t=At=y$，得到反向包含。第一個方向無須逆矩陣，第二個方向用它構造所需的係數向量。

現在 $(HA)^T=A^TH^T$，而 $H^T$ 可逆，其逆為 $(H^{-1})^T$。應用剛才的結論，得 $R(HA)=C(A^TH^T)=C(A^T)=R(A)$。一串行變換就是左乘某個可逆 $H$，所以行等價的結論隨之成立。等價地，每個新行是舊行的組合，而逆向執行行變換又給出兩個張成之間的反向包含。

左乘對輸出有不同作用：$C(HA)=\{Hy:y\in C(A)\}$，因為兩種描述都來自 $(HA)x=H(Ax)$。這是原欄空間的可逆像，未必是 $\mathbb R^m$ 中相同的子集。若 $A,B$ 行數相同，同時左乘同一個可逆 $H$，則 $C(A)=C(B)$ 當且僅當 $C(HA)=C(HB)$：正向對相等集合施加 $H$，反向施加 $H^{-1}$。比較兩個變換後的空間，與聲稱其中任何一個不變，是不同的結論。

為甚麼基底規則與秩相等成立

定理

主元基底與行欄秩相等

設實 $m\times n$ 矩陣 $A$ 的 RREF 為 $Q$，有 $r$ 個主元，所在欄為 $j_1,\ldots,j_r$。原矩陣的欄 $a_{j_1},\ldots,a_{j_r}$ 構成 $C(A)$ 的基底；$Q$ 的 $r$ 個非零行的轉置構成 $R(A)$ 的基底。因此

$$\dim C(A)=r=\dim R(A)=\operatorname{rank}(A).$$

證明

先保留係數再檢查主元座標

寫成 $Q=HA$，其中 $H$ 可逆，並把 $Q$ 的欄記為 $q_j$。對每個係數向量 $c\in\mathbb R^n$，

$$\sum_{j=1}^n c_jq_j=H\left(\sum_{j=1}^n c_ja_j\right).$$

左邊為零當且僅當括號內的和為零：一個方向乘以 $H$，另一個方向乘以 $H^{-1}$。所以所有齊次欄關係連同其準確係數，在兩個方向都保持。只涉及選定欄的關係，也可在其餘位置補零係數來處理。

$Q$ 的主元欄分別在不同主元行上有一個一，其餘元素為零，因此線性獨立。每個 $q_j$ 都是它們以 $Q_{1j},\ldots,Q_{rj}$ 為係數的組合，因為第 $r$ 行以下全為零。關係保持說明對應的原主元欄能張成每個 $a_j$。若原主元欄的一個組合為零，它對應到 $Q$ 主元欄的零組合，迫使全部係數為零。這同時證明了欄基底的生成性與獨立性。

對於行基底，已知 $R(Q)=R(A)$。刪去零行後，非零行的轉置仍構成生成列表。若它們以 $d_1,\ldots,d_r$ 為係數的組合為零，檢查第 $j_i$ 個座標。RREF 的這個主元欄只在第 $i$ 行為一，其他行全為零，因此該座標就是 $d_i$。所有係數都為零，故列表線性獨立。兩個基底各有 $r$ 個向量，維數相等隨之成立。若 $r=0$，矩陣為零，兩個空間分別是所在空間的零子空間，基底均為空列表。

這說明為甚麼行化簡為欄基底提供位置，卻為行基底直接提供向量。交換行欄空間，還得到 $\operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}(A)$。對於 $m\times n$ 矩陣，主元佔據互不相同的行與欄，所以秩不超過 $\min(m,n)$。秩是一個數；這些數值相等並沒有聲稱行空間與欄空間作為集合相等。

維數相等不能確定空間相等

例題

同一個方陣的兩個不同空間

考慮

$$D=\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&2&0&1\\0&0&3&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}.$$

前三欄線性獨立，因為零組合的前三個座標迫使全部係數為零。第四欄等於第一欄加第二欄的一半，再加第三欄的三分之一。因此 $C(D)=\{(a,b,c,0)^T:a,b,c\in\mathbb R\}$，維數為三。兩個包含方向都明確：每欄末座標為零，而每個所列向量都能以 $a,b/2,c/3$ 為係數由前三欄生成。

非零行的轉置是 $(1,0,0,1)^T$、$(0,2,0,1)^T$、$(0,0,3,1)^T$。檢查前三個座標可知它們線性獨立，其餘行為零，所以它們構成 $R(D)$ 的基底。一般組合給出

$$R(D)=\{(a,b,c,a+b/2+c/3)^T:a,b,c\in\mathbb R\}.$$

所以 $(1,0,0,1)^T\in R(D)$，卻不屬於 $C(D)$。反過來，$(1,0,0,0)^T\in C(D)$，卻不滿足所寫的行空間條件。兩個空間都是同一 $\mathbb R^4$ 的子空間，維數都為三，仍然並不相等。把第二、三行分別乘以 $1/2$、$1/3$ 可得三個主元，與秩為三一致。

反例模式

行化簡可以改變欄空間

錯誤命題。 行等價矩陣具有相同的欄空間。

取

$$A_0=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix},\qquad H=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix},\qquad B_0=HA_0=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}.$$

所做的運算是從第二行減去第一行，加回第一行就是逆運算。直接可得 $C(A_0)=\operatorname{Span}\{(1,1)^T\}$，而 $C(B_0)=\operatorname{Span}\{(1,0)^T\}$。非零向量 $(1,0)^T$ 不可能等於 $t(1,1)^T$：首座標要求 $t=1$，第二座標卻要求 $t=0$。所以兩個空間不同。但兩者的行空間都等於 $\operatorname{Span}\{(1,0)^T\}$，秩都為一。第二欄的冗餘關係也保留：兩矩陣的第二欄均為零。

修正命題。 行變換保留行空間、秩以及欄關係的係數。實際欄空間變為 $C(HA)=\{Hy:y\in C(A)\}$；原欄空間的基底必須從主元位置對應的原欄中選取。本例的 RREF 主元欄甚至不屬於原欄空間，自然不能成為它的基底。

判斷向量是否屬於欄空間時也要處理右端

例題

用一個方程描述欄空間

設

$$M=\begin{bmatrix}3&2&1&-4\\-1&1&-2&3\\2&-4&6&-8\end{bmatrix}.$$

第一行的兩倍加第二行的十六倍，再加第三行的五倍，得到零行。因此每個輸出 $b=Mx$ 都滿足 $2b_1+16b_2+5b_3=0$。這證明了所提欄空間描述的一個包含方向；每個輸出都滿足的條件，尚不足以保證它描述全部輸出。

反過來，假設這個方程成立。只使用前兩欄，係數取為

$$s=\frac{b_1-2b_2}{5},\qquad t=\frac{b_1+3b_2}{5}.$$

它們的組合為 $(3s+2t,-s+t,2s-4t)^T$。前兩個座標是 $b_1,b_2$，最後一個由假設等於 $(-2b_1-16b_2)/5=b_3$。因此 $M(s,t,0,0)^T=b$，證明反向包含。於是

$$C(M)=\{b\in\mathbb R^3:2b_1+16b_2+5b_3=0\} =N\!\left(\begin{bmatrix}2&16&5\end{bmatrix}\right).$$

對於 $v=(18,-6,12)^T$，條件給出 $36-96+60=0$；事實上它是第一欄的六倍。對於 $w=(2,1,-3)^T$，條件給出 $4+16-15=5\ne0$，所以 $Mx=w$ 不相容。一個向量由明確係數選擇驗證，另一個由必要的輸出方程排除。

更一般地，若 $Q=HA$ 是含 $r$ 個主元的 RREF，則 $Ax=b$ 等價於 $Qx=Hb$。零行要求 $Hb$ 的最後 $m-r$ 個座標為零；主元方程不對右端再增加條件。當 $r\lt m$ 時，取 $H$ 的這些末行為矩陣 $L$，便得到 $C(A)=N(L)$。這是用方程而非生成向量描述欄空間。若行秩滿，沒有這類限制，便有 $C(A)=\mathbb R^m$。右端必須接受與 $A$ 相同的行變換；只化簡 $A$ 而保留 $b$ 不動，會檢驗另一個方程組。

常見錯誤

常見錯誤

不要用 RREF 的主元欄直接做欄空間基底

行化簡通常會改變欄空間。所以雖然主元位置由 RREF 讀出，但 $C(A)$ 真正的基底向量一定要取自原矩陣中相應的欄。

另一個常見錯誤，是因為欄空間和行空間維數一樣，就說它們是同一個子空間。 維數相同只表示獨立方向的數目相同，不表示兩個子空間本身相等。

快速檢查

思考檢查

如果 $A$ 是一個 $4 \times 3$ 矩陣，$C(A)$ 和 $R(A)$ 分別屬於哪個空間？

分別數一數每一欄有多少個分量，以及每一行有多少個分量。

解答 · 答案

$C(A)$ 是 $R^4$ 的子空間，因為每一欄有 4 個分量。 $R(A)$ 是 $R^3$ 的子空間，因為每一行有 3 個分量。

思考檢查

如果某個矩陣的 RREF 有三個主元欄，它的秩是多少？

記住秩如何由 RREF 讀出。

解答 · 答案

秩是 $3$。

練習

思考檢查

設 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$。求秩，並求欄空間的一組基底。

先做行化簡，找出主元欄，再回到原矩陣取相應的欄。

解答 · 引導解答

從第三行中減去第一、二行，得到 RREF

$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}.$$

恰有兩個主元，位於第一、二欄，所以秩為二。前兩行的主元證明下界，第三行全零則證明上界。

因此欄空間的一組基底是

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.$$

第三欄是前兩欄之和，所以沒有提供新方向。

先讀這幾節

這一節特別依賴 2.3 高斯消去與 RREF、 3.3 轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣 和 6.5 基底與維數。