1. 积分记录路径及其方向
分段 C 1 C^1 C 1 γ : [ a , b ] → C \gamma:[a,b]\to\mathbb C γ : [ a , b ] → C γ ( a ) = γ ( b ) \gamma(a)=\gamma(b) γ ( a ) = γ ( b ) ℓ ( γ ) = ∫ a b ∣ γ ′ ( t ) ∣ d t \ell(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt ℓ ( γ ) = ∫ a b ∣ γ ′ ( t ) ∣ d t f f f 围道积分 为
∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t , \int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt, ∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t )) γ ′ ( t ) d t , 实部和虚部分别积分。微分 d z dz d z ∣ d z ∣ |dz| ∣ d z ∣
保持端点的分段 C 1 C^1 C 1
估计引理。 若曲线上 ∣ f ∣ ≤ M |f|\le M ∣ f ∣ ≤ M
∣ ∫ γ f ( z ) d z ∣ ≤ M ℓ ( γ ) . \left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le M\ell(\gamma). ∫ γ f ( z ) d z ≤ M ℓ ( γ ) . 因为实参数积分的模不超过模的积分，且 ∣ f ( γ ) γ ′ ∣ ≤ M ∣ γ ′ ∣ |f(\gamma)\gamma'|\le M|\gamma'| ∣ f ( γ ) γ ′ ∣ ≤ M ∣ γ ′ ∣
例。 对正向圆周 z = a + r e i t z=a+re^{it} z = a + r e i t 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t\le2\pi 0 ≤ t ≤ 2 π r > 0 r>0 r > 0
∫ γ ( z − a ) n d z = { 2 π i , n = − 1 , 0 , n ∈ Z , n ≠ − 1. \int_\gamma(z-a)^n\,dz=\begin{cases}2\pi i,&n=-1,\\0,&n\in\mathbb Z,\ n\ne-1.\end{cases} ∫ γ ( z − a ) n d z = { 2 πi , 0 , n = − 1 , n ∈ Z , n = − 1. 当 n = − 1 n=-1 n = − 1 d z dz d z i d t i\,dt i d t i r n + 1 e i ( n + 1 ) t d t ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt i r n + 1 e i ( n + 1 ) t d t n = − 1 n=-1 n = − 1
2. 原函数将路径积分化为端点之差
开集 U U U f f f 原函数 是该处满足 F ′ = f F'=f F ′ = f F F F
∫ γ f ( z ) d z = F ( γ ( b ) ) − F ( γ ( a ) ) \int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)) ∫ γ f ( z ) d z = F ( γ ( b )) − F ( γ ( a )) 对 U U U U U U
反过来，在区域 U U U f f f a ∈ U a\in U a ∈ U F ( z ) F(z) F ( z ) U U U a a a z z z f f f h h h z z z z + h z+h z + h U U U
F ( z + h ) − F ( z ) h = ∫ 0 1 f ( z + t h ) d t ⟶ f ( z ) \frac{F(z+h)-F(z)}h=\int_0^1 f(z+th)\,dt\longrightarrow f(z) h F ( z + h ) − F ( z ) = ∫ 0 1 f ( z + t h ) d t ⟶ f ( z ) 由连续性成立。因此 F ′ = f F'=f F ′ = f
注意。 全纯并不自动意味着在任意区域上有整体原函数。1 / z 1/z 1/ z C ∖ { 0 } \mathbb C\setminus\{0\} C ∖ { 0 } 2 π i 2\pi i 2 πi Log z \operatorname{Log}z Log z 1 / z 1/z 1/ z
3. 古萨三角形论证：不假设导数连续
定理。 若 f f f T T T T T T
证明。 连接边中点将 T T T I I I ∣ I ∣ / 4 |I|/4 ∣ I ∣/4 T n T_n T n D / 2 n D/2^n D / 2 n P / 2 n P/2^n P / 2 n
∣ I ∣ ≤ 4 n ∣ ∫ ∂ T n f d z ∣ . |I|\le4^n\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|. ∣ I ∣ ≤ 4 n ∫ ∂ T n f d z . 由紧致性及直径趋零，存在共同点 z 0 z_0 z 0 z 0 z_0 z 0
f ( z ) = f ( z 0 ) + f ′ ( z 0 ) ( z − z 0 ) + ( z − z 0 ) ε ( z ) , ε ( z ) → 0. f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+(z-z_0)\varepsilon(z),\qquad\varepsilon(z)\to0. f ( z ) = f ( z 0 ) + f ′ ( z 0 ) ( z − z 0 ) + ( z − z 0 ) ε ( z ) , ε ( z ) → 0. 常数项和线性项都有原函数，故沿三角形边界积分为零。对任意 η > 0 \eta>0 η > 0 n n n T n T_n T n ∣ ε ∣ ≤ η |\varepsilon|\le\eta ∣ ε ∣ ≤ η z 0 ∈ T n z_0\in T_n z 0 ∈ T n
∣ ∫ ∂ T n f d z ∣ ≤ η ( D / 2 n ) ( P / 2 n ) . \left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|\le\eta(D/2^n)(P/2^n). ∫ ∂ T n f d z ≤ η ( D / 2 n ) ( P / 2 n ) . 因此 ∣ I ∣ ≤ η D P |I|\le\eta DP ∣ I ∣ ≤ ηD P η \eta η I = 0 I=0 I = 0 f ′ f' f ′
推论：每个圆盘上有原函数。 若 f f f D D D a a a F ( z ) = ∫ [ a , z ] f F(z)=\int_{[a,z]}f F ( z ) = ∫ [ a , z ] f z , z + h ∈ D z,z+h\in D z , z + h ∈ D a , z , z + h a,z,z+h a , z , z + h D D D F ( z + h ) − F ( z ) = ∫ [ z , z + h ] f F(z+h)-F(z)=\int_{[z,z+h]}f F ( z + h ) − F ( z ) = ∫ [ z , z + h ] f F ′ = f F'=f F ′ = f
多边形边界版本。 假设一个紧致多边形区域（可带有限个多边形孔洞）及其邻域均位于 f f f
4. 同伦与“无孔”的含义
路径 γ 0 , γ 1 \gamma_0,\gamma_1 γ 0 , γ 1 H : [ 0 , 1 ] 2 → U H:[0,1]^2\to U H : [ 0 , 1 ] 2 → U H ( s , 0 ) = γ 0 ( s ) H(s,0)=\gamma_0(s) H ( s , 0 ) = γ 0 ( s ) H ( s , 1 ) = γ 1 ( s ) H(s,1)=\gamma_1(s) H ( s , 1 ) = γ 1 ( s ) H ( 0 , t ) , H ( 1 , t ) H(0,t),H(1,t) H ( 0 , t ) , H ( 1 , t ) t t t U U U 单连通 的。
同伦不变性。 若 f f f U U U U U U C 1 C^1 C 1
仅用局部原函数的证明。 H H H f f f
单连通区域上的柯西定理。 该区域上的全纯函数沿每条闭围道的积分均为零，因而有原函数。将围道收缩，使用同伦不变性，再应用第 2 节即可。单连通是某个函数有原函数的充分条件，并非必要条件。例如函数 1 1 1 z z z
“曲线内部”这一常用说法对自交曲线或有孔区域需要谨慎。本章安全可用的版本是：圆盘、凸区域、所有相关曲线均位于其中的单连通区域，或闭包有全纯邻域且方向明确的区域。
5. 实际选择围道
使用柯西定理前，列出奇点或无定义点并确认实际定义域；再判断是否可用原函数计算端点差、变形能否留在定义域内，或直接参数化是否更简短。
例：两条路径与一个不允许的变形。 上、下半圆均从 1 1 1 − 1 -1 − 1
∫ upper d z z = i π , ∫ lower d z z = − i π . \int_{\text{upper}}\frac{dz}{z}=i\pi,\qquad
\int_{\text{lower}}\frac{dz}{z}=-i\pi. ∫ upper z d z = iπ , ∫ lower z d z = − iπ . 分别用角度 0 → π 0\to\pi 0 → π 0 → − π 0\to-\pi 0 → − π 2 π i 2\pi i 2 πi
对任意从 a a a b b b ∫ 2 z d z = b 2 − a 2 \int 2z\,dz=b^2-a^2 ∫ 2 z d z = b 2 − a 2 z 2 z^2 z 2 ∫ z ˉ d z \int\bar z\,dz ∫ z ˉ d z z ˉ \bar z z ˉ z ˉ = 1 / z \bar z=1/z z ˉ = 1/ z 2 π i 2\pi i 2 πi
6. 分层练习
P01 — 基础。 沿从 0 0 0 1 + i 1+i 1 + i z 2 z^2 z 2
P02 — 基础。 沿顺时针方向计算 ∫ ∣ z − 2 ∣ = 3 ( z − 2 ) − 1 d z \int_{|z-2|=3}(z-2)^{-1}\,dz ∫ ∣ z − 2∣ = 3 ( z − 2 ) − 1 d z
P03 — 核心。 沿从零到 1 + i 1+i 1 + i 0 → 1 → 1 + i 0\to1\to1+i 0 → 1 → 1 + i ∫ γ z ˉ d z \int_\gamma\bar z\,dz ∫ γ z ˉ d z
P04 — 核心。 证明 1 / z 1/z 1/ z
P05 — 核心。 若半径为 2 2 2 π / 3 \pi/3 π /3 ∣ f ( z ) ∣ ≤ 5 |f(z)|\le5 ∣ f ( z ) ∣ ≤ 5
P06 — 证明。 若连续函数 f n f_n f n f f f f f f
P07 — 诊断。 一名学生说，全纯函数沿任何闭围道积分均为零，因为曲线有紧致内部。用具体例子解释缺少什么假设。
P08 — 拓展。 设 U U U f f f U U U
7. 详解
P01. 参数化 z = ( 1 + i ) t z=(1+i)t z = ( 1 + i ) t 0 ≤ t ≤ 1 0\le t\le1 0 ≤ t ≤ 1 ( 1 + i ) 3 ∫ 0 1 t 2 d t = ( − 2 + 2 i ) / 3 (1+i)^3\int_0^1t^2dt=(-2+2i)/3 ( 1 + i ) 3 ∫ 0 1 t 2 d t = ( − 2 + 2 i ) /3 z 3 / 3 z^3/3 z 3 /3
P02. 按第 1 节，逆时针为 2 π i 2\pi i 2 πi − 2 π i -2\pi i − 2 πi
P03. 在线段上 z = ( 1 + i ) t z=(1+i)t z = ( 1 + i ) t z ˉ d z = ( 1 − i ) t ( 1 + i ) d t = 2 t d t \bar z\,dz=(1-i)t(1+i)dt=2t\,dt z ˉ d z = ( 1 − i ) t ( 1 + i ) d t = 2 t d t 1 1 1 0 → 1 0\to1 0 → 1 1 / 2 1/2 1/2 1 → 1 + i 1\to1+i 1 → 1 + i z = 1 + i t z=1+it z = 1 + i t z ˉ d z = ( 1 − i t ) i d t = ( t + i ) d t \bar z\,dz=(1-it)i\,dt=(t+i)dt z ˉ d z = ( 1 − i t ) i d t = ( t + i ) d t 1 / 2 + i 1/2+i 1/2 + i 1 + i 1+i 1 + i
P04. 主值对数在右半平面全纯且导数为 1 / z 1/z 1/ z 2 π i 2\pi i 2 πi
P05. 弧长为 2 π / 3 2\pi/3 2 π /3 10 π / 3 10\pi/3 10 π /3
P06. 由线性性和估计引理，∣ ∫ γ ( f n − f ) d z ∣ ≤ ℓ ( γ ) sup γ ∣ f n − f ∣ → 0 |\int_\gamma(f_n-f)dz|\le\ell(\gamma)\sup_\gamma|f_n-f|\to0 ∣ ∫ γ ( f n − f ) d z ∣ ≤ ℓ ( γ ) sup γ ∣ f n − f ∣ → 0
P07. 全纯性必须覆盖围道填成区域的某个邻域，或须满足其他有效的拓扑版本。对去心平面上的 1 / z 1/z 1/ z 2 π i 2\pi i 2 πi
P08. 第 2 节的构造给出原函数。若 F , G F,G F , G H = F − G H=F-G H = F − G U U U H H H
8. 总结
围道是带方向的参数化对象。原函数给出端点计算；在区域上，连续函数的闭路积分为零可推出原函数。古萨细分直接从可微性建立局部柯西理论；局部原函数进一步给出同伦不变性及单连通区域上的柯西定理。围道变形必须始终保留定义域和方向假设。下一章使用这些结果从边界积分恢复函数值和导数。
