复平面几何、微分与分支

1. 为什么复导数比两个实偏导数要求更强

复数是一对实数，并采用 $i^2=-1$ 的乘法规则。写作 $z=x+iy$、$\bar z=x-iy$、$\operatorname{Re}z=x$、$\operatorname{Im}z=y$、$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。于是 $z\bar z=|z|^2$；若 $z\ne0$，则 $z^{-1}=\bar z/|z|^2$。由下式可得三角不等式：

$$|z+w|^2=|z|^2+2\operatorname{Re}(z\bar w)+|w|^2\le(|z|+|w|)^2.$$

因此 $\big||z|-|w|\big|\le|z-w|$。复平面上的距离就是欧几里得距离。

开圆盘 $D(a,r)$ 由满足 $|z-a|<r$ 的点组成。若集合中每一点都属于某个完全包含在该集合中的圆盘，则该集合是开集。区域是非空的开连通集。极限和连续性使用距离 $|z-w|$；沿一条或几条路径趋近可否定极限存在，但有限条路径的结果一致并不能证明极限存在。

乘以 $re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，相当于旋转 $\theta$ 并按 $r\ge0$ 缩放。角度只在模 $2\pi$ 意义下确定，并非唯一的实数。De Moivre（棣莫弗）公式可由三角函数的加法公式相乘得到。因此，对于 $\rho>0$ 和整数 $n\ge1$，$z^n=\rho e^{i\theta}$ 的 $n$ 个不同解为

$$\rho^{1/n}e^{i(\theta+2\pi k)/n},\qquad 0\le k<n.$$

没有其他解：任一根的模必须如上，其角度也必须满足所示同余关系。方程 $z^n=0$ 只有零这一个根，重数为 $n$。

例：几何原像。 $|z-1|=|z+1|$ 化为 $(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2$，故 $x=0$。到两点等距的点组成两点连线的垂直平分线。研究映射时，先算出原像的条件，再画图。

当 $a\ne0$，映射 $z\mapsto az+b$ 是旋转、伸缩和平移的组合。映射 $z\mapsto\bar z$ 是反射而非旋转。这一区别在微分中至关重要。

2. 定义与柯西–黎曼方程

设 $f$ 在 $a$ 的一个邻域内有定义。若极限存在，其复导数定义为

$$f'(a)=\lim_{h\to0,\ h\in\mathbb C\setminus\{0\}}\frac{f(a+h)-f(a)}h,$$

所有复方向都必须得到同一个值。如果导数在某个开集的每一点存在，就称 $f$ 在该开集上全纯。在一点可微并不表示在该点的邻域内全纯。我们用解析表示局部可由收敛幂级数表示；后续章节将证明它与全纯的等价性。

写 $f=u+iv$。若 $f'(a)=\alpha+i\beta$ 存在，沿实轴和虚轴取增量可得，在 $a$ 处

$$u_x=\alpha,\quad v_x=\beta,\quad u_y=-\beta,\quad v_y=\alpha$$

因此 柯西–黎曼方程是必要条件：

$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.$$

当实导数存在时，这些方程表明它的矩阵为

$$\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix},$$

即乘以一个复数。一般实导数可以是任意 $2\times2$ 实矩阵，不一定具有这种形式。

精确的充分性定理。 假设将 $f$ 视为 $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ 的映射时，它在 $a$ 实可微，且其偏导数在该处满足柯西–黎曼方程。那么 $f'(a)$ 存在，且等于 $u_x(a)+iv_x(a)$。特别地，若 $u,v$ 在 $a$ 的邻域内具有连续的一阶偏导数，且在 $a$ 满足方程，这些条件便充分。

证明。 实可微意味着

$$f(a+h)-f(a)=L(h)+r(h),\qquad |r(h)|/|h|\to0,$$

其中 $L$ 是实线性映射。方程使 $L(h)=ch$，其中 $c=u_x(a)+iv_x(a)$。除以 $h\ne0$ 后得到 $c+r(h)/h$；误差的模为 $|r(h)|/|h|\to0$。由连续偏导数推出实可微的通常定理得到最后的断言。反过来，复可微恰好给出这样的实线性近似，其中 $L(h)=f'(a)h$。∎

为什么正则性假设重要。 定义 $f(0)=0$，而当 $z\ne0$ 时 $f(z)=\bar z^2/z$。由于 $|f(z)|=|z|$，它在零点连续。在实轴上 $f(x)=x$，在虚轴上 $f(iy)=iy$。零点的四个实偏导数都存在，且满足柯西–黎曼方程。然而

$$\frac{f(z)}z=\frac{\bar z^2}{z^2}$$

在正实轴上为 $1$，在射线 $\arg z=\pi/4$ 上为 $-1$。所以零点不存在复导数。四个偏导数存在，即使再加上连续性，也不等于所需的正则性假设。

3. 用计算解释几何

使用复增量，极限的代数运算可证明和、积、商及链式法则，过程与实导数类似。商法则要求该点的分母非零。多项式在 $\mathbb C$ 上全纯；有理函数在其分母的零点之外全纯。约去因子可能得到延拓，但在明确赋值之前，原有理表达式在被排除点仍无定义。

例：$z^2$。 差商为 $2z+h$，所以 $f'(z)=2z$。实部和虚部为 $u=x^2-y^2$、$v=2xy$，两条柯西–黎曼方程处处成立。当 $z\ne0$ 时，微小增量的效果是旋转 $\arg(2z)$ 并按 $2|z|$ 缩放。

对 $f(z)=\bar z$，沿实增量和纯虚增量的差商分别为 $1$ 和 $-1$。它处处实可微，却处处不复可微。对 $f(z)=|z|^2$，方程要求 $x=y=0$；在零点差商为 $\bar h\to0$。故它仅在零点复可微，不在任何非空开集上全纯。

若 $f$ 全纯且 $f'(a)\ne0$，它保持经过 $a$ 且切向量非零的两条可微曲线之间的有向角：链式法则将两个切向量乘以同一个非零复数。这是局部结论，不表示映射在整体上一一对应，也不适用于 $f'(a)=0$ 的临界点。例如，$z^2$ 在去心复平面上是二对一的，并在零点将射线间的角度加倍。

若 $u,v$ 属于 $C^2$ 且在某区域满足柯西–黎曼方程，微分可得

$$u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0,$$

同理 $v_{xx}+v_{yy}=0$。满足此方程的 $C^2$ 实函数称为调和函数。求调和共轭是一个微分方程问题，可能受到整体拓扑障碍的限制；仅凭调和性不能断言存在整体共轭函数。

例：构造共轭函数。 设 $u=x^2-y^2+2x$。方程要求 $v_y=2x+2$、$v_x=2y$。积分得 $v=2xy+2y+C$，因此 $u+iv=z^2+2z+iC$。调和共轭中的常数是实数，因此它为 $f$ 增加一个纯虚常数。

4. 指数与对数：局部逆和整体取值

定义

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$

由实指数及三角函数的加法公式可得加法定律。其分量属于 $C^1$ 且满足柯西–黎曼方程，故 $(e^z)'=e^z$。此外 $e^z\ne0$、$|e^z|=e^{\operatorname{Re}z}$，并且 $e^z=e^w$ 当且仅当 $z-w=2\pi ik$，其中 $k$ 为整数。因此指数函数在整个 $\mathbb C$ 上没有单值逆函数。

$z\ne0$ 的对数由以下所有值组成：

$$\log|z|+i(\theta+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z,$$

其中 $z=|z|e^{i\theta}$。这是一个值的集合，不是单值函数。开集 $U$ 上的全纯对数分支是满足对每个 $z\in U$ 都有 $e^{L(z)}=z$ 的全纯函数 $L$。

在割平面区域 $\Omega=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ 上，取唯一的连续角度 $\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi)$。全纯主值对数为

$$\operatorname{Log}z=\log|z|+i\operatorname{Arg}z\quad(z\in\Omega).$$

角度在局部有连续偏导数 $\theta_x=-y/(x^2+y^2)$、$\theta_y=x/(x^2+y^2)$。令 $u=\tfrac12\log(x^2+y^2)$，它们满足柯西–黎曼方程，因此

$$(\operatorname{Log}z)'=1/z.$$

这个选择排除了非正实轴。数值约定可以将负实数的角度指定为 $\pi$，从而在该处给出逐点主值；但这不会使该约定跨越割线全纯。

$\mathbb C\setminus\{0\}$ 上不存在整体连续辐角。 假设 $\theta$ 连续且 $e^{i\theta(z)}=z/|z|$。在单位圆上令 $g(t)=\theta(e^{it})-t$，其中 $0\le t\le2\pi$。其值属于 $2\pi\mathbb Z$，由区间上的连续性可知它为常数。但 $\theta(e^{2\pi i})=\theta(1)$ 蕴含 $g(2\pi)=g(0)-2\pi$，矛盾。因此该集合上也不存在整体连续对数。这个证明只用到连续性，不用围道积分。

若两个对数分支 $L_1,L_2$ 定义在同一个连通区域上，它们的差属于 $2\pi i\mathbb Z$ 且连续，因此为常数。若没有连通性，各连通分量中的整数可以不同。

选定分支后定义 $z^\alpha=\exp(\alpha L(z))$，在其定义域上导数为 $\alpha z^\alpha/z$。此定义依赖分支；整数幂则单值，不同分支给出相同结果，非整数幂一般并非如此。对于主值，只有当选定的辐角相加不跨越割线时，才有 $\operatorname{Log}(zw)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}w$。例如取 $z=w=e^{3\pi i/4}$，两个主值对数之和与 $\operatorname{Log}(zw)$ 相差 $2\pi i$。

5. 练习：计算、诊断与证明

P01 — 基础。 求 $-8$ 的所有立方根，并验证它们的和。

P02 — 基础。 描述 $|z-2i|<2$ 及其与实轴的交集。区分开圆盘与其边界。

P03 — 核心。 确定 $f(z)=x^2+iy^2$ 在哪些点复可微，以及在哪些地方全纯。

P04 — 核心。 对 $f(z)=z\bar z+2z$，确定可微点，并在任何例外点直接求导数。

P05 — 核心。 求 $u=e^x\cos y$ 在 $\mathbb C$ 上的所有调和共轭，并写出所得全纯函数。

P06 — 核心。 在 $\Omega$ 上求 $\operatorname{Log}(i)$ 和 $-i$ 的主值平方根，并求该平方根分支的导数。

P07 — 诊断。 一名学生检查了零点的柯西–黎曼方程，便断言函数在零点附近全纯。指出该论证的两个不同缺陷，并举例说明。

P08 — 证明。 证明区域上的实值全纯函数为常数。可以使用实可微性，以及 $\mathbb R^2$ 的开连通子集具有折线路径连通性这一事实。

P09 — 证明。 若 $L$ 是某区域上的全纯对数分支，用链式法则证明 $L'=1/z$，并解释为何零不能属于该区域。

P10 — 拓展。 确定复常数 $a,b$ 何时使 $z\mapsto az+b\bar z$ 全纯。若它实可微，求其实雅可比行列式，并解释 $a=0$、$b\ne0$ 的情形。

6. 详解

P01. 写 $-8=8e^{i\pi}$。三个根为 $2e^{i\pi/3}=1+i\sqrt3$、$2e^{i\pi}=-2$ 和 $2e^{5i\pi/3}=1-i\sqrt3$。它们的立方均为 $-8$，和为零。角度相差 $2\pi/3$，故互不相同；求根公式保证没有遗漏。

P02. 这是以 $(0,2)$ 为圆心、半径为二的开圆盘。若 $z=x$ 为实数，$|x-2i|^2=x^2+4\ge4$，所以与实轴的交集为空。零在边界上，不在圆盘内。

P03. 此处 $u_x=2x$、$u_y=0$、$v_x=0$、$v_y=2y$。分量属于 $C^1$，方程恰在 $x=y$ 时成立。因此导数恰在该直线上存在，且等于 $2x$。直线不包含任何开圆盘，所以不存在非空开集使函数在其上全纯。这个可微点集本身不是开区域。

P04. $2z$ 项处处全纯；$|z|^2$ 仅在零点可微。因此 $f$ 仅在零点可微，且 $f'(0)=\lim_{h\to0}(|h|^2+2h)/h=\lim(\bar h+2)=2$。它不在任何非空开集上全纯。

P05. 方程给出 $v_y=e^x\cos y$、$v_x=e^x\sin y$，因此 $v=e^x\sin y+C$。故 $f=e^z+iC$，其中 $C\in\mathbb R$。任意两个共轭函数之差的两个偏导数均为零，并在连通的平面上为常数，所以已列出全部解。

P06. $\operatorname{Log}i=i\pi/2$。选定的平方根为 $\exp(\tfrac12\operatorname{Log}(-i))=e^{-i\pi/4}=(1-i)/\sqrt2$。对 $s(z)=\exp(\operatorname{Log}z/2)$，由于 $s(z)^2=z$ 且 $s$ 在 $\Omega$ 上非零，故 $s'(z)=s(z)/(2z)=1/(2s(z))$。

P07. 第一，若没有实可微性或其他有效的正则性条件，仅有一点处的偏导数与方程并不充分；将 $\bar z^2/z$ 在零点延拓为零便是反例。第二，即使正确证明一点处有导数，也不能说明某个邻域中处处有导数；$|z|^2$ 仅在零点可微。这是两个逻辑上不同的缺陷。

P08. 写 $f=u+i0$。柯西–黎曼方程蕴含 $u_x=u_y=0$。复可微蕴含实可微，因此把 $u$ 限制在区域内的线段上，由链式法则及实数平均值定理可知它在线段上为常数。平面的开连通子集内任意两点可用有限折线连接；逐段应用上述结论，两点函数值相同。连通性是必要的：不同连通分量可以取不同常数。

P09. 对 $e^{L(z)}=z$ 求导，得 $e^{L(z)}L'(z)=1$，即 $zL'(z)=1$。指数函数永不为零，所以该恒等式不可能在零点成立。这个证明适用于任何已存在的分支，并不证明每个不含零的区域都存在对数分支。

P10. 实线性使它在每一点的实导数都等于映射本身。其差商为 $a+b\bar h/h$。沿实增量和纯虚增量分别得到 $a+b$ 和 $a-b$，所以在任何点复可微都要求 $b=0$；而此条件也保证处处复可微。写 $a=\alpha+i\beta$、$b=\gamma+i\delta$，实矩阵为 $\begin{pmatrix}\alpha+\gamma&-\beta+\delta\\\beta+\delta&\alpha-\gamma\end{pmatrix}$，其行列式为 $|a|^2-|b|^2$。当 $a=0$、$b\ne0$，映射是反射、旋转和伸缩的组合，反转方向，与其负行列式一致。

7. 总结与后续联系

复微分意味着以复数乘法作近似，而非任意实线性映射。柯西–黎曼方程在一点是必要条件；若同时已知实可微，则也是充分条件。全纯要求开邻域。分支在精心指定的定义域上将多值逆变为函数；割线是定义的一部分，不是可以忽略的细节。下一章从参数化曲线构建围道积分，而不预先假设全纯函数已有幂级数。