柯西积分公式与全纯函数的刚性

1. 边界积分确定内部值

对 $c\in\mathbb C$、$R>0$，令圆周 $C:|z-c|=R$ 取逆时针方向。假设 $f$ 在闭圆盘 $\overline{D(c,R)}$ 的开邻域上全纯。对每个满足 $|a-c|<R$ 的 $a$，

$$f(a)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$

分母在 $C$ 上不为零。该公式给出内部点的值，并不适用于外部点或围道上的点。

本证明所用的开集。 令 $U$ 为假设中包含闭圆盘的开全纯邻域。所有移动圆周，包括最初的边界圆周，都在 $U\setminus\{a\}$ 内考虑。下文证明中的“去心圆盘”是在这个周围开集内去掉 $a$ 后理解的。各圆周位于闭圆盘内且避开 $a$，因此紧致同伦像在 $U\setminus\{a\}$ 中有局部原函数圆盘。

证明。 取 $\varepsilon>0$ 使 $|a-c|+\varepsilon<R$。用圆心 $(1-t)c+ta$、半径 $(1-t)R+t\varepsilon$，将外圆变形为小圆 $C_\varepsilon:|z-a|=\varepsilon$ 而不经过 $a$。每个移动的圆都围住 $a$ 并留在原圆盘内。对去心圆盘上的 $f(z)/(z-a)$ 使用 C02 的网格／局部原函数证明。虽然移动基点不固定，两条侧边轨迹相同并互相抵消，因此闭路积分不变。故

$$\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2\pi if(a)+\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz.$$

最后一项的模至多为 $2\pi\sup_{|z-a|=\varepsilon}|f(z)-f(a)|$，由 $f$ 在 $a$ 的连续性，该上界趋于零，证明公式。∎

这个证明没有预先假设 $(f(z)-f(a))/(z-a)$ 在 $a$ 有全纯延拓；该性质是下面所得正则性的结果。

例。 若 $|z|=2$ 取正向，则

$$\int_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz=2\pi i e.$$

若分母换成 $z-3$，则 $e^z/(z-3)$ 在闭圆盘的邻域上全纯，柯西定理给出零。应用公式前先确定极点位置。

2. 所有高阶导数及其界

对开圆盘中的 $a$，从 $a$ 到围道的距离为正。在 $a$ 附近充分小的圆盘内，核 $1/(z-a)$ 的差商对 $z\in C$ 一致收敛到 $1/(z-a)^2$。估计引理允许将极限移入围道积分。重复论证得到

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,\qquad n=0,1,2,\ldots.$$

核的一致收敛论证证明这些导数存在，并未假设 $f$ 起初属于 $C^\infty$。同一公式还说明导数局部连续，因为分母一致远离零。

在以 $a$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆周上，令 $M_r=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。由长度估计得到柯西估计

$$|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M_r}{r^n}.$$

所选圆盘的边界必须有全纯邻域；不能将半径扩大到穿过奇点。

例。 对 $|z|=2$，

$$\int\frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz=\frac{2\pi i}{2!}f''(1)=\pi ie.$$

这里阶乘是 $2!$ 而不是 $3!$，因为分母指数比导数阶数大一。

3. 局部幂级数、孤立零点与唯一性

固定 $a$，取全纯域内闭圆盘 $|z-a|\le r$。对 $|w-a|<r$，在其边界用等比级数展开核：

$$\frac1{z-w}=\frac1{z-a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n.$$

当 $|w-a|\le\rho<r$，公比的模至多为 $\rho/r<1$，所以该级数在围道上一致收敛。逐项积分并使用导数公式得

$$f(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(w-a)^n.$$

因此每个全纯函数都是解析的。反过来，幂级数的导数级数在较小圆盘上一致收敛，故幂级数在其收敛圆盘内可微，因此解析函数全纯。这里并未假设实可微函数也具有这一性质。

若 $f(a)=0$ 且第一个非零泰勒系数的指标是 $m$，则

$$f(z)=(z-a)^mg(z),\qquad g(a)\ne0,$$

其中 $g$ 在附近全纯。由连续性，$g$ 在更小圆盘内不为零，所以 $a$ 是孤立零点，其阶为 $m$。若所有泰勒系数都为零，则 $f$ 在 $a$ 附近的圆盘上为零。

恒等定理。 若区域上的全纯函数 $f,g$ 在某个集合上相等，且该集合在区域内有聚点，则它们在整个区域上相等。

证明。 对 $h=f-g$ 使用上述零点讨论。内部点处的聚集零点排除首个非零泰勒系数，故 $h$ 在该点的某个邻域为零。令 $A$ 为那些拥有 $h=0$ 的邻域的点组成的集合；它非空且开。若 $A$ 中的点趋向区域内的 $b$，由导数连续性，所有 $h^{(n)}(b)$ 都为零，再由泰勒展开知 $b$ 属于 $A$。因此 $A$ 也相对闭；连通性使 $A$ 等于整个区域。∎

只在缺失的边界点处聚集并不足够：$\sin(\pi/z)$ 的零点 $z=1/n$ 聚集于零，但该函数在去心平面上并不恒为零。

4. 平均值与最大模

在圆心处将公式参数化得到平均值恒等式

$$f(a)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+re^{it})\,dt.$$

它平均的是复数值，不是模。三角不等式蕴含 $|f(a)|\le\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。

强最大模原理。 若 $f$ 在区域上全纯，且 $|f|$ 在内部点取得局部最大值，则 $f$ 为常数。

证明。 假设 $a$ 附近 $|f(z)|\le M=|f(a)|$。若 $M=0$，则 $f=0$ 在局部成立。若 $M>0$，将 $f$ 乘以单位复常数，使其在 $a$ 的值为 $M>0$。在以 $a$ 为圆心的充分小圆周上，其实部至多为 $M$，平均值却是 $M$。由连续性，圆周上每一点的实部都是 $M$；由于模至多为 $M$，虚部必须为零。改变半径可知函数在圆盘内为常数；恒等定理将常数性质推广至整个区域。∎

边界版本。 若 $f$ 在有界区域的闭包上连续、在内部全纯，则其模在紧致闭包上取得的最大值可在边界取得。若最大值在内部取得，强原理使 $f$ 在区域上为常数，而连续性使边界具有相同值。若要省略有界性或闭包上的连续性，必须另作论证。

5. 刘维尔定理、多项式根与莫雷拉定理

刘维尔定理。 有界整函数为常数。若 $\mathbb C$ 上 $|f|\le M$，对任意 $a$ 和任意半径 $r$ 的圆盘使用 $n=1$ 的估计：$|f'(a)|\le M/r$。令 $r\to\infty$ 得 $f'=0$，故函数在连通平面上为常数。

代数基本定理。 每个非常数复系数多项式都有复根。若 $p$ 无根，$1/p$ 便是整函数。其最高次项表明当 $|z|\to\infty$ 时 $|p(z)|\to\infty$，故 $1/p$ 在大圆盘之外有界；在剩余紧致圆盘上由连续性也有界。刘维尔定理使 $1/p$ 为常数，与 $p$ 的次数矛盾。反复除以线性因式后，每个 $n$ 次多项式都恰好分解为 $n$ 个线性因式，按重数计数。

莫雷拉定理。 若开集上的连续函数 $f$ 沿每个闭内部包含于该开集的三角形边界积分均为零，则 $f$ 在该处全纯。

证明。 在开集中的圆盘内，从圆心出发定义线段积分函数 $F$。三角形抵消与连续性如 C02 所示给出 $F'=f$，所以 $F$ 全纯。已经证明的高阶导数公式说明 $F'$ 全纯，故 $f$ 在每点局部全纯。∎

莫雷拉定理是带连续性假设的围道定理的逆向结论。典型应用是：若全纯函数列在开集的每个紧子集上一致收敛，则极限在局部连续，其三角形积分是各项积分的极限；莫雷拉定理使极限全纯。仅有逐点收敛不是这一结论的假设。

6. 练习

P01 — 基础。 沿逆时针方向计算 $\int_{|z|=3}z^2/(z-1)\,dz$。

P02 — 核心。 沿逆时针方向计算 $\int_{|z|=2}\cos z/z^3\,dz$。

P03 — 核心。 若 $f$ 在 $|z|\le4$ 的邻域上全纯，且其上 $|f|\le7$，给出 $|f^{(3)}(0)|$ 的上界。

P04 — 证明。 证明若整函数满足 $|f(z)|\le C(1+|z|^m)$，其中 $m\ge0$ 为整数，则它是次数至多为 $m$ 的多项式。

P05 — 诊断。 两个整函数在每个 $1/n$ 处相等，是否必然相同？若在每个正整数处相等，是否必然相同？分别说明理由。

P06 — 证明。 设 $f$ 在区域上处处非零且全纯。若 $|f|$ 在内部有局部最小值，证明 $f$ 为常数。为什么需要非零假设？

P07 — 核心。 若函数在 $|z|<1$ 上全纯、在 $|z|\le1$ 上连续，且边界上 $|f|\le2$，证明全域都有 $|f|\le2$。若 $|f(0)|=2$，可得什么结论？

P08 — 拓展。 若 $f_n$ 在区域上全纯并在紧子集上一致收敛，用莫雷拉定理证明极限全纯。解释如何由导数公式进一步得到 $f_n'$ 在紧子集上一致收敛。

7. 详解

P01. 点 $1$ 位于圆内，分子是整函数。公式给出 $2\pi i\cdot1^2=2\pi i$。

P02. 分母指数 $3$ 对应二阶导数：积分为 $2\pi i(\cos)''(0)/2!=-\pi i$。

P03. 以四为半径使用柯西估计，$|f^{(3)}(0)|\le3!\cdot7/4^3=21/32$。这是统一上界，在有额外信息时未必是最优界。

P04. 对每个整数 $n>m$，在零点使用估计得 $|f^{(n)}(0)|\le n!C(1+R^m)/R^n\to0$，其中 $R\to\infty$。次数高于 $m$ 的泰勒系数均为零。由于函数是整函数，其零点泰勒展开在每个圆盘上都表示该函数，因而在全平面成立。零函数也包括在内。

P05. 对 $1/n$，答案是肯定的：零是共同定义域 $\mathbb C$ 内的聚点，恒等定理适用。对正整数，答案是否定的：函数 $0$ 和 $\sin(\pi z)$ 在所有正整数处相等，却并不相同。无穷远不是复平面的内部聚点。

P06. 因为 $f$ 处处非零，$1/f$ 全纯。$|f|>0$ 的局部最小值对应 $|1/f|$ 的局部最大值，故最大模原理使 $1/f$ 及 $f$ 为常数。若允许零点，$f(z)=z$ 的模在零处有局部最小值，但函数不是常数。

P07. 闭圆盘紧致，其上的连续函数取得最大模。边界原理给出该最大值不超过二。若 $|f(0)|=2$，最大值在内部取得，强原理使 $f$ 为常数且常数的模为二。

P08. 在区域内每个小闭圆盘上，一致收敛保证极限连续。对区域内任意闭三角形，在其紧致边界上一致收敛，再由估计引理得 $\int f=\lim\int f_n=0$；莫雷拉定理给出全纯性。对导数收敛，在给定紧集每点周围选取足够小且相同的正半径，使圆周仍在区域内；这些圆周的并包含在一个紧邻域中。对 $f_n-f$ 使用柯西导数估计，导数差由常数乘以函数一致差控制。紧集的有限覆盖给出其上一致收敛。也可取小于该紧集到补集正距离的统一半径，并使用有界紧增厚集；若区域是整个平面，取任何充分小的固定半径即可。

8. 总结

边界值确定内部每阶导数。柯西核的等比展开证明解析性和唯一性，进而得到最大模原理、刘维尔定理和多项式根的存在性。莫雷拉定理提供从围道积分为零回到全纯性的途径。下一章研究最大收敛圆盘与圆环，其中负次幂记录孔洞和孤立奇点。