初等映射：幂、指数与 Möbius 变换

本映射专题使用的术语

在复定义域的内点 $a$，若 h 沿任意复路径趋于零时都存在同一个有限极限，则复导数为 $f'(a)=\lim_{h\to0}(f(a+h)-f(a))/h$。函数在一个开集的每个点都有复导数时，称其在该开集上全纯；在整个 $\mathbb C$ 上全纯时，称为整函数。全纯函数的导数为零的点称为临界点。反全纯函数是局部可写成某个全纯函数的复共轭的函数。在零点处一阶导数非零时，该零点称为单零点。

1. 用不等式确定区域的像，而非只画边界

对 $w=f(z)$，映射一个区域需要确定所有像点及其原像的个数，而不只是画几条边界曲线的像。可按以下步骤：找无定义的点；求逆式或参数关系；转换原定义域条件；检查每个拟定像点是否有允许的原像；再考察定向与临界点。

对 $w=z^2$，极坐标给出 $|w|=|z|^2$，辐角加倍并按模 $2\pi$ 计算。在扇形 $0<\arg z<\pi/2$ 上，该映射一一映到上半平面：像的辐角属于 $(0,\pi)$，模可以是任意正数。反过来，上半平面的每个点都有唯一辐角属于 $(0,\pi/2)$ 的平方根。在整个去心平面上它是二对一，因此在 $2z\ne0$ 处局部保角并不意味着全局单射。

例：双曲线变为直线。 写 $z=x+iy$、$w=u+iv=z^2$，则 $u=x^2-y^2$、$v=2xy$。曲线 $x^2-y^2=c$ 映入竖直直线 $u=c$，而 $2xy=d$ 映入水平直线 $v=d$。若要断言整条直线都是像，仍须检查原曲线上的分支限制。两个曲线族在零点以外正交相交；原点是临界点。

2. 倒数映射交换有界与无界几何

对于 $w=1/z$、$z\ne0$，

$$w=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}.$$

因此 $|w|=1/|z|$，辐角变号。这并不使倒数映射成为反全纯映射：它的导数为 $-1/z^2\ne0$，故局部保持有向角。极角的反射伴随径向方向的反转；只考察一个坐标不能确定平面定向。

去掉零点的单位圆盘映为 $|w|>1$；上半平面映为下半平面，因为 $\operatorname{Im}(1/z)=-y/|z|^2$。经过零点的圆可以映为直线。例如方程

$$|z-1|=1\quad\Longleftrightarrow\quad |z|^2-2\operatorname{Re}z=0$$

除以 $|z|^2$ 后变为 $1-2\operatorname{Re}w=0$。零点本身已被排除；逆映射计算表明像是整条直线 $\operatorname{Re}w=1/2$。

3. Möbius 变换与半平面—圆盘对应

Möbius 变换形如

$$w=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne0.$$

在分母非零处它全纯，导数为 $(ad-bc)/(cz+d)^2\ne0$。求解得到逆式

$$z=\frac{dw-b}{a-cw}.$$

它扩展为扩充复平面 $\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$ 上的双射：极点映为无穷远点，无穷远点映为相应极限值。若去掉行列式非零条件，表达式可能退化为常数，而书写公式处有可去的空缺；此时它不是 Möbius 双射。

广义圆：非退化条件与完整的变换证明

真正的圆或直线并不是具有下列外形的任意方程。记

$$A|z|^2+Bz+\bar B\bar z+C=0,\qquad A,C\in\mathbb R,\quad B\in\mathbb C,\quad D=|B|^2-AC.$$

若 $A\ne0$ 且 $D>0$，配方得到真正的圆

$$\left|z+\frac{\bar B}{A}\right|^2=\frac{D}{A^2}.$$

若 $A=0$ 且 $B\ne0$，方程为真正的直线 $2\operatorname{Re}(Bz)+C=0$，此时也有 $D>0$。其他系数组合可能给出空集、单点或退化方程；这里不把它们称为真正的广义圆。

为同时准确处理有限点与无穷远点，用非零数对 $(Z,T)$ 表示扩充平面上的点，相差一个非零复数倍的数对代表同一点。有限点由 $(z,1)$ 表示，无穷远点由 $(1,0)$ 表示。齐次圆方程为

$$q(Z,T)=A|Z|^2+BZ\bar T+\bar B\bar ZT+C|T|^2=0.$$

两个坐标同时乘以一个非零因子时，这个表达式乘以该因子模的平方，所以它的零点集定义良好。无穷远点属于此集合，当且仅当 $A=0$。因此在扩充平面的解释中，直线包含无穷远点，真正的圆则不包含。

设 $\Delta=ad-bc\ne0$。本节 Möbius 映射的一个齐次逆变换是

$$\begin{pmatrix}Z\\T\end{pmatrix}=N\begin{pmatrix}W\\S\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$

由于 $\det N=\Delta$，矩阵 $N$ 可逆。因此，将这个非零数对代入齐次方程的步骤是可逆的，它证明整个像集相等，而不只是单向包含。对于有限像点，令 $(W,S)=(w,1)$。展开得到

$$A'|w|^2+B'w+\overline{B'}\bar w+C'=0,$$

其中

$$A'=A|d|^2-Bd\bar c-\bar B\bar d c+C|c|^2,$$ $$B'=-Ad\bar b+Bd\bar a+\bar B\bar b c-Cc\bar a,$$ $$C'=A|b|^2-Bb\bar a-\bar B\bar b a+C|a|^2.$$

首末两个系数为实数。

还需排除变换后集合退化的可能。写成

$$H=\begin{pmatrix}A&\bar B\\B&C\end{pmatrix},\qquad q(Z,T)=\begin{pmatrix}\bar Z&\bar T\end{pmatrix}H\begin{pmatrix}Z\\T\end{pmatrix}.$$

记 $N^*$ 为共轭转置，代入后得到 Hermitian 矩阵 $H'=N^*HN$，其各项正是上述变换后的系数。二阶矩阵的行列式乘积公式可直接展开验证：

$$\det\left(\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u&v\\w&x\end{pmatrix}\right)=(pu+qw)(rv+sx)-(pv+qx)(ru+sw)=(ps-qr)(ux-vw).$$

又有 $\det(N^*)=\overline{\det N}$，所以

$$A'C'-|B'|^2=\det H'=|\Delta|^2\det H=|\Delta|^2(AC-|B|^2),$$

从而

$$|B'|^2-A'C'=|\Delta|^2D>0.$$

若 $A'\ne0$，配方就得到半径平方为正的真正的圆。若 $A'=0$，最后一个不等式迫使 $B'\ne0$，因此得到真正的直线。这证明每个真正的广义圆都映成真正的广义圆，也包含圆变成直线的情形。

齐次论证也防止清分母后对有限点作出错误结论。若原集合包含无穷远点，变换后的集合就包含它的像；该像未必有有限的原像。若原集合包含 Möbius 映射的极点，其像就是无穷远点。要得到仅由原来的有限非极点组成的定义域的像，必须删去那些仅来自被排除的原无穷远点或极点的像点。这种删点涉及映射的有限定义域版本，而不是扩充平面定理失效。

例如，将圆 $|z-1|=1$ 作倒数映射时，取 $A=1$、$B=-1$、$C=0$ 和映射 $w=1/z$。公式给出 $A'=0$、$B'=-1$、$C'=1$，故为 $\operatorname{Re}w=1/2$，且判别量为正。原圆包含极点零，所以完整的扩充像是该直线连同无穷远点；有限非极点部分的像，恰为上一节已经求出的有限直线。

例。 Cayley 映射

$$w=\frac{z-i}{z+i}$$

将上半平面双射到单位圆盘。事实上，

$$|z+i|^2-|z-i|^2=4\operatorname{Im}z,$$

因此 $\operatorname{Im}z>0$ 蕴含 $|w|<1$。逆映射为 $z=i(1+w)/(1-w)$；当 $|w|<1$ 时，

$$\operatorname{Im}z=\frac{1-|w|^2}{|1-w|^2}>0$$

故同时证明了包含与满射。实轴上的点的像模为一，但有限实点的像漏掉 $w=1$；这一边界点对应 $z=\infty$。

4. 指数条带与对数坐标

对于 $z=x+iy$，$e^z=e^xe^{iy}$。水平直线 $y=\theta$ 映为辐角为 $\theta$ 的射线；竖直直线 $x=c$ 映为半径为 $e^c$ 的圆。在满足 $0<\beta-\alpha\le2\pi$ 的条带 $\alpha<\operatorname{Im}z<\beta$ 上，指数映射是单射，其像为辐角可连续取在这两个界之间的扇形。宽度为 $2\pi$ 时，像是裂平面：共同边界射线被排除，而不是计入两次。宽度超过 $2\pi$ 时，虚部相差 $2\pi$ 的点可以同时位于条带内，因此单射性失效。

主对数是指数在 $-\pi<\operatorname{Im}z<\pi$ 上的反函数，把裂平面映到该条带。它把径向距离的乘法变为实坐标的加法；但如 C01 所述，当所选辐角跨越割线时，$\operatorname{Log}(zw)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}w$ 不成立。通过对数映射区域时，必须说明使用的是哪个连续辐角。

例。 环形扇区 $1<|z|<e^2$、$0<\arg z<\pi/3$ 在所选对数映射下变成矩形 $0<\operatorname{Re}w<2$、$0<\operatorname{Im}w<\pi/3$。对该矩形取指数得到逆映射，证明像恰为此矩形。

5. 复三角函数是整函数，但并非有界

定义

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2.$$

由指数函数求导得 $\sin'=\cos$、$\cos'=-\sin$，代数运算得 $\sin^2z+\cos^2z=1$。对于 $z=x+iy$，

$$\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,$$ $$\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y,$$

其中 $\cosh y=(e^y+e^{-y})/2$ 且 $\sinh y=(e^y-e^{-y})/2$。因此对复数输入，$|\sin z|\le1$ 不成立：当 $|y|\to\infty$ 时，$\sin(iy)=i\sinh y$ 无界。

$\sin z$ 的零点满足 $e^{2iz}=1$，故 $z=k\pi$，其中 $k$ 为整数；由于 $\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0$，这些零点都是单零点。余弦函数类似地在 $\pi/2+k\pi$ 处为零。商 $\tan z$ 在余弦非零处全纯，但不是整函数。事实上，在 $a=\pi/2+k\pi$ 处有 $\cos a=0$ 以及 $\cos'(a)=-\sin a\ne0$。由导数定义和正弦的连续性可得

$$\lim_{z\to a}(z-a)\tan z=\frac{\sin a}{\cos'(a)}=-1.$$

这个有限非零极限就是这里使用的单极点行为：函数像 $1/(z-a)$ 的某个非零倍数那样增长。后面的奇点章节会建立一般分类。这些初等指数定义已经确立全纯性和导数恒等式；级数表示的结果将为相应的 Taylor 展开提供依据。

6. 练习

P01 — 基础。 求扇形 $0<\arg z<\pi/3$ 在 $z^3$ 下的像，并证明该映射在扇形上单射。

P02 — 核心。 求 $|z|>2$ 在 $1/z$ 下的像，说明零是否属于该像。

P03 — 核心。 求上半平面在 $(z-i)/(z+i)$ 下的像，并验证逆映射。

P04 — 核心。 求 $0<\operatorname{Re}z<1$、$0<\operatorname{Im}z<\pi/2$ 在指数映射下的像。

P05 — 诊断。 有限实轴在 Cayley 映射下的像是整个单位圆吗？解释漏掉的点。

P06 — 证明。 证明 Möbius 变换在其有限全纯域内没有临界点。

P07 — 核心。 用实双曲函数表示 $\sin(2i)$ 和 $\cos(2i)$，并在该处验证三角恒等式。

P08 — 拓展。 找一个将开右半平面映到单位圆盘的 Möbius 映射，并证明包含与满射。

7. 完整解答

P01. 辐角从 $(0,\pi/3)$ 变为三倍，即 $(0,\pi)$；正的模经三次方双射到正数，故像是上半平面。每个像点恰有一个辐角位于该区间的立方根，所以既单射又满射。

P02. 不等式给出 $0<|w|<1/2$。零在倒数映射下没有有限原像；在扩充平面上它对应无穷远点。因此像是去心圆盘，而非整个圆盘。

P03. 第 3 节的计算给出 $|w|<1$。解出 $z=i(1+w)/(1-w)$，其虚部为 $(1-|w|^2)/|1-w|^2>0$。这证明像恰为单位圆盘，而不仅是实边界映入圆周。

P04. 像是环形扇区 $1<|w|<e$、$0<\arg w<\pi/2$。所选辐角给出矩形内唯一的对数原像。

P05. 不是。等式 $(z-i)/(z+i)=1$ 会推出 $-i=i$，对有限 $z$ 不可能成立。由所示逆式，单位圆上的其他点都有有限实数原像；漏掉的点一是无穷远点的像。

P06. 求导得到 $(ad-bc)/(cz+d)^2$。分子由定义非零，分母在全纯域内有限且非零，故导数在那里不能为零。

P07. $\sin(2i)=i\sinh2$，$\cos(2i)=\cosh2$。由指数定义，其平方和为 $-\sinh^22+\cosh^22=1$。它们的模不一定小于一。

P08. 取 $w=(z-1)/(z+1)$。若 $\operatorname{Re}z>0$，则 $|z+1|^2-|z-1|^2=4\operatorname{Re}z>0$，故 $|w|<1$。逆映射 $z=(1+w)/(1-w)$ 的实部为 $(1-|w|^2)/|1-w|^2>0$，证明满射。极点 $-1$ 位于右半平面之外。

8. 总结

幂映射使角度按倍数变化，倒数映射改变径向尺度，Möbius 映射交换广义圆，对数则把环形扇区变成矩形。要确定精确的像，须给出逆映射或等价的满射检验。复三角函数从指数继承解析性，却不继承其在实数上的有界性质。