代数基本定理：明确闭合的完整证明

定理及其先备知识

每个非常数多项式 $p\in\mathbb C[z]$ 都有复根；因此每个 $n$ 次复系数多项式都是 $n$ 个线性因式的乘积，按重数计数。以下通过古萨定理、柯西估计及刘维尔定理证明该结论，并明确所用的先备知识。

全纯是指在开集每一点复可微；整函数是指在整个 $\mathbb C$ 上全纯。以下明确使用的初等基础是实一元积分及链式法则、多项式的连续性和求导、复数模的运算法则，以及欧氏平面的紧致性（包括递缩紧三角形、一致连续性和紧覆盖的勒贝格数）。这些实分析及拓扑基础是明确的先备知识。没有预先使用复多项式根定理、最大模定理、解析幂级数表示、恒等定理、留数定理或辐角原理。

复可微推出连续，因为 $u(z+h)-u(z)=h[(u(z+h)-u(z))/h]\to0$。展开乘积差商得到 $(uv)'=u'v+uv'$。在 $v(z)\ne0$ 处，

$$\frac{1/v(z+h)-1/v(z)}h=-\frac{v(z+h)-v(z)}{h\,v(z+h)v(z)}\longrightarrow-\frac{v'(z)}{v(z)^2}.$$

因此全纯函数的乘积和分母非零的商仍全纯。特别地，$f(z)/(z-a)$ 在 $a$ 之外全纯，无根多项式的倒数是整函数。这些事实来自差商，不依赖多项式根定理或正则性定理。

1. 积分记录路径及其方向

分段 $C^1$ 曲线是连续映射 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$，它在有限个子区间上连续可微，连接点有单侧导数。若 $\gamma(a)=\gamma(b)$，曲线是闭合的。其长度为 $\ell(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt$。连续函数 $f$ 沿该曲线的围道积分为

$$\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt,$$

实部和虚部分别积分。微分 $dz$ 包含运动方向；若改为 $|dz|$，定义的是另一种积分。

保持端点的分段 $C^1$ 递增参数变换由换元法保持积分不变；反向使积分变号；连接两条相容曲线时积分相加。这些结论也允许速度为零的曲线段，不要求曲线为单射。

估计引理。 若曲线上 $|f|\le M$，则

$$\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le M\ell(\gamma).$$

因为实参数积分的模不超过模的积分，且 $|f(\gamma)\gamma'|\le M|\gamma'|$。这个简单不等式是证明辅助弧在极限中贡献为零的主要工具。

例。 对正向圆周 $z=a+re^{it}$，其中 $0\le t\le2\pi$、$r>0$，

$$\int_\gamma(z-a)^n\,dz=\begin{cases}2\pi i,&n=-1,\\0,&n\in\mathbb Z,\ n\ne-1.\end{cases}$$

当 $n=-1$，被积函数乘以 $dz$ 为 $i\,dt$；否则为 $ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt$，积分为零。$n=-1$ 的结果与半径无关，但反向时变号。

2. 原函数将路径积分化为端点之差

开集 $U$ 上 $f$ 的原函数是该处满足 $F'=f$ 的全纯函数 $F$。对每个光滑段使用实链式法则可得

$$\int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))$$

对 $U$ 内每条围道成立。因此有原函数的函数沿 $U$ 内任何闭围道的积分为零。

反过来，在区域 $U$ 上，假设连续函数 $f$ 沿每条闭围道积分为零。平面的开连通集是折线路径连通的。固定 $a\in U$，定义 $F(z)$ 为沿 $U$ 内任意一条从 $a$ 到 $z$ 的折线路径对 $f$ 的积分。闭路径积分抵消保证结果与路径无关。对充分小的 $h$，从 $z$ 到 $z+h$ 的末端线段仍在 $U$ 内，且

$$\frac{F(z+h)-F(z)}h=\int_0^1 f(z+th)\,dt\longrightarrow f(z)$$

由连续性成立。因此 $F'=f$。只假设所有闭折线路径的积分为零也可采用同样构造；得到原函数后便可处理所有围道。

3. 古萨三角形论证：不假设导数连续

定理。 若 $f$ 在包含闭三角形 $T$ 的开集上全纯，则沿 $T$ 正向边界的积分为零。

证明。 连接边中点将 $T$ 分为四个三角形。内部边的积分抵消，所以外边界积分 $I$ 等于四个子三角形积分之和。至少一个子三角形的积分模不小于 $|I|/4$。在这样的子三角形中重复，得到嵌套闭三角形 $T_n$，其直径为 $D/2^n$、周长为 $P/2^n$，并满足

$$|I|\le4^n\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|.$$

由紧致性及直径趋零，存在共同点 $z_0$。在 $z_0$ 可微意味着

$$f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+(z-z_0)\varepsilon(z),\qquad\varepsilon(z)\to0.$$

常数项和线性项都有原函数，故沿三角形边界积分为零。对任意 $\eta>0$，当 $n$ 充分大时，整个 $T_n$ 上 $|\varepsilon|\le\eta$。由于 $z_0\in T_n$，估计引理给出

$$\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|\le\eta(D/2^n)(P/2^n).$$

因此 $|I|\le\eta DP$。由 $\eta$ 的任意性，$I=0$。这里没有使用 $f'$ 的连续性。∎

推论：每个圆盘上有原函数。 若 $f$ 在圆盘 $D$ 上全纯，固定圆心 $a$，令 $F(z)=\int_{[a,z]}f$。当 $z,z+h\in D$ 且充分接近时，以 $a,z,z+h$ 为顶点的三角形位于 $D$ 中。三角形定理给出 $F(z+h)-F(z)=\int_{[z,z+h]}f$；第 2 节的极限计算得到 $F'=f$。因此圆盘内所有闭围道积分均为零。同样论证适用于任何开凸集。

4. 同伦与“无孔”的含义

路径 $\gamma_0,\gamma_1$ 之间的固定端点同伦是连续映射 $H:[0,1]^2\to U$，满足 $H(s,0)=\gamma_0(s)$、$H(s,1)=\gamma_1(s)$，且 $H(0,t),H(1,t)$ 不随 $t$ 改变。它在不离开 $U$ 的情况下将一条路径变形为另一条。若每条闭路径都可通过这样的同伦收缩到其基点，则区域是单连通的。

同伦不变性。 若 $f$ 在 $U$ 上全纯，而 $U$ 内两条分段 $C^1$ 路径在其中固定端点同伦，则其积分相等。

仅用局部原函数的证明。 $H$ 的紧致像可由有限个 $f$ 有原函数的圆盘覆盖。由勒贝格数性质和一致连续性，将参数正方形细分为矩形网格，使每个闭网格的像都落在某个这样的圆盘中。用线段连接相邻网格顶点的像；由于圆盘是凸的，每个网格的这些线段都位于其圆盘内。由原函数知其多边形边界积分为零。对所有网格求和，内部线段与其反向线段抵消。在底边和顶边，每段原路径与替代线段位于同一圆盘且有相同端点，故由局部原函数它们的积分相等。端点固定，侧边线段的贡献为零。剩下的是底边积分减顶边积分。这证明了结论，即使同伦的中间路径不可微也成立。∎

圆周变形所用的开集

在柯西证明中，令 $U$ 为原来包含 $\overline{D(c,R)}$ 的开全纯邻域，$d=|a-c|<R$。取 $0<\varepsilon<R-d$。$g(z)=f(z)/(z-a)$ 所用的正确全纯集是 $U\setminus\{a\}$，其中包含外圆；单独的开圆盘 $D(c,R)\setminus\{a\}$ 不包含外圆。该开集包含边界圆周；下面的不等式证明变形始终留在这个开集内。

令 $c_t=(1-t)c+ta$、$r_t=(1-t)R+t\varepsilon$，以及 $H(s,t)=c_t+r_te^{2\pi i s}$。对 $0\le s,t\le1$，

$$|H(s,t)-c|\le R-t(R-d-\varepsilon)\le R,$$ $$|H(s,t)-a|\ge r_t-|c_t-a|=(1-t)(R-d)+t\varepsilon>0.$$

因此整个紧致同伦像都在 $U\setminus\{a\}$ 内。网格／局部原函数证明也适用于闭路的这个自由同伦：$H(0,t)=H(1,t)$，所以两条折线侧边轨迹相同、边界方向相反，互相抵消，不必为常数。顶边及底边圆周为分段 $C^1$，不需要中间同伦可微。这补全了下文所用的定义域及移动基点步骤。

1. 边界积分确定内部值

对 $c\in\mathbb C$、$R>0$，令圆周 $C:|z-c|=R$ 取逆时针方向。假设 $f$ 在闭圆盘 $\overline{D(c,R)}$ 的开邻域上全纯。对每个满足 $|a-c|<R$ 的 $a$，

$$f(a)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$

分母在 $C$ 上不为零。该公式给出内部点的值，并不适用于外部点或围道上的点。

证明。 取 $\varepsilon>0$ 使 $|a-c|+\varepsilon<R$。用圆心 $(1-t)c+ta$、半径 $(1-t)R+t\varepsilon$，将外圆变形为小圆 $C_\varepsilon:|z-a|=\varepsilon$ 而不经过 $a$。每个移动的圆都围住 $a$ 并留在原圆盘内。对去心圆盘上的 $f(z)/(z-a)$ 使用 C02 的网格／局部原函数证明。虽然移动基点不固定，两条侧边轨迹相同并互相抵消，因此闭路积分不变。故

$$\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2\pi if(a)+\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz.$$

最后一项的模至多为 $2\pi\sup_{|z-a|=\varepsilon}|f(z)-f(a)|$，由 $f$ 在 $a$ 的连续性，该上界趋于零，证明公式。∎

这个证明没有预先假设 $(f(z)-f(a))/(z-a)$ 在 $a$ 有全纯延拓；该性质是下面所得正则性的结果。

带一致界的一阶导数

刘维尔定理只需一阶柯西导数估计。对固定圆周 $C$ 内部的点 $a$，令 $\delta=\min_{z\in C}|z-a|>0$。当 $0<|h|<\delta/2$，将两个柯西公式相减得到差商核

$$\frac1h\left(\frac1{z-a-h}-\frac1{z-a}\right)=\frac1{(z-a-h)(z-a)}.$$

它与 $1/(z-a)^2$ 之差为

$$\frac{h}{(z-a-h)(z-a)^2},\qquad \sup_{z\in C}\left|\frac{h}{(z-a-h)(z-a)^2}\right|\le\frac{2|h|}{\delta^3}.$$

若 $M=\max_C|f|$、$L=\ell(C)$，估计引理给出除以 $2\pi i$ 并积分后的误差至多为 $ML|h|/(\pi\delta^3)$，趋于零。因此 $f'(a)=(2\pi i)^{-1}\int_C f(z)/(z-a)^2\,dz$。若圆心为 $a$、半径为 $r$，便有 $|f'(a)|\le M_r/r$。重复同样论证得到下列高阶公式；刘维尔定理只使用一阶估计。

2. 所有高阶导数及其界

对开圆盘中的 $a$，从 $a$ 到围道的距离为正。在 $a$ 附近充分小的圆盘内，核 $1/(z-a)$ 的差商对 $z\in C$ 一致收敛到 $1/(z-a)^2$。估计引理允许将极限移入围道积分。重复论证得到

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,\qquad n=0,1,2,\ldots.$$

核的一致收敛论证证明这些导数存在，并未假设 $f$ 起初属于 $C^\infty$。同一公式还说明导数局部连续，因为分母一致远离零。

在以 $a$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆周上，令 $M_r=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。由长度估计得到柯西估计

$$|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M_r}{r^n}.$$

所选圆盘的边界必须有全纯邻域；不能将半径扩大到穿过奇点。

刘维尔定理与多项式根定理

对整函数，每个半径都可使用前面的估计。将估计用于有界整函数便得到刘维尔定理；再把刘维尔定理用于多项式的倒数便证明根的存在。

刘维尔定理。 有界整函数为常数。若 $\mathbb C$ 上 $|f|\le M$，对任意 $a$ 和任意半径 $r$ 的圆盘使用 $n=1$ 的估计：$|f'(a)|\le M/r$。令 $r\to\infty$ 得 $f'=0$，故函数在连通平面上为常数。

代数基本定理。 每个非常数复系数多项式都有复根。若 $p$ 无根，$1/p$ 便是整函数。其最高次项表明当 $|z|\to\infty$ 时 $|p(z)|\to\infty$，故 $1/p$ 在大圆盘之外有界；在剩余紧致圆盘上由连续性也有界。刘维尔定理使 $1/p$ 为常数，与 $p$ 的次数矛盾。反复除以线性因式后，每个 $n$ 次多项式都恰好分解为 $n$ 个线性因式，按重数计数。

多项式反证中的初等细节

为写全细节，若 $F$ 在 $\mathbb C$ 上满足 $F'=0$，则它为常数：沿 $\gamma(t)=a+t(b-a)$，$F(\gamma(t))$ 的实部和虚部导数均为零，实中值定理给出 $F(a)=F(b)$。

写 $p(z)=a_nz^n+\sum_{k<n}a_kz^k$，其中 $n\ge1$、$a_n\ne0$，令 $S=\sum_{k<n}|a_k|$。当 $|z|\ge R=\max(1,2S/|a_n|)$，

$$|p(z)|\ge |a_n||z|^n-S|z|^{n-1}\ge\frac{|a_n|}{2}|z|^n.$$

若 $p$ 无根，其倒数处处连续并且全纯，因为

$$\frac{1/p(z+h)-1/p(z)}h=-\frac{p(z+h)-p(z)}{h\,p(z+h)p(z)}\longrightarrow-\frac{p'(z)}{p(z)^2}.$$

上述增长界使 $1/p$ 在半径为 $R$ 的圆盘外有界；在剩余闭圆盘上，由紧致性和连续性也有界。刘维尔定理使 $1/p$ 成为常数；该常数非零，因此 $p$ 为常数，矛盾。故存在根 $\alpha$。

最后，由 $z^k-\alpha^k=(z-\alpha)\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}\alpha^j$ 得到 $p(z)-p(\alpha)=(z-\alpha)q(z)$，其中 $q$ 为 $n-1$ 次、最高次项系数为 $a_n$。若 $q$ 非常数，对它使用根定理并对次数归纳。恰好除以 $n$ 个线性因式后，余下非零常数 $a_n$。由次数和乘积恒等式，恰有 $n$ 个线性因式，按重数计数。这也证明了有限维谱论或 Jordan 论证所需的复数域分裂结论；并未断言任意实数域或其他基域上也分裂。