指数、对数与三角函数的严格构造

熟悉的图像不是数学定义。我们从收敛级数构造初等函数，证明其代数与微分法则，并在证明所需值域之后才定义反函数分支。这不同于对已假定存在且性质已知的函数应用泰勒公式。

1 构造指数函数

对每个实数 $x$ 定义 $E(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$。比值判别法给出绝对收敛。在每个有界区间上，阶乘控制项保证该级数及其导数级数一致收敛。一致求导定理因此给出 $E'=E$ 和 $E(0)=1$。

数组 $x^my^n/(m!n!)$ 绝对可和，因为其绝对总和为 $E(|x|)E(|y|)<\infty$。二重级数 Fubini 定理允许按 $m+n=k$ 分组。二项式定理于是给出

$$E(x)E(y)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(x+y)^k}{k!}=E(x+y).$$

特别地，$E(x)E(-x)=1$，所以 $E$ 从不为零。又因 $E(x)=E(x/2)^2>0$，故 $E'=E>0$，由中值定理可知它严格递增。对 $x\ge0$，非负项级数给出 $E(x)\ge1+x$，所以当 $x\to\infty$ 时 $E(x)\to\infty$。倒数恒等式给出当 $x\to-\infty$ 时 $E(x)\to0$。连续性与介值定理表明其值域恰为 $(0,\infty)$。

现在记 $\exp x=E(x)$、$e=E(1)$。通常的实指数运算法则和导数已由定义证明，而非根据图像或幂记号假定。

2 定义对数与实数幂

定义 $\log:(0,\infty)\to\mathbb R$ 为连续严格递增函数 $E$ 的反函数。它的导数为 $1/x$。直接证明可对 $\log x$ 和 $\log(x+h)$ 之间的 $E$ 应用中值定理：

$$h=E(\xi_h)[\log(x+h)-\log x].$$

反函数的连续性使 $\xi_h\to\log x$，故差商趋于 $1/E(\log x)=1/x$。反函数连续，是因为连续严格单调且映到某区间上的函数具有连续反函数；可用定义域中靠近反函数值的两点之像夹住该值来证明。

由于 $\log1=0$，微积分基本定理给出

$$\log x=\int_1^x\frac{dt}{t}\quad(x>0).$$

指数乘积法则和单射性证明对正数 $x,y$ 有 $\log(xy)=\log x+\log y$。对任意实数 $a$，在 $x>0$ 上定义 $x^a=E(a\log x)$；链式法则给出导数 $ax^{a-1}$。此构造没有在实数域内为负数定义任意无理数幂。

例如，当 $x\to\infty$ 时，极限 $\log x/x\to0$ 可不借助未经证明的对数法则得到。令 $x=E(t)$，其中 $t\to\infty$。当 $t>0$ 时，指数级数给出 $E(t)\ge t^2/2$，因此 $0\le t/E(t)\le2/t\to0$。

3 用级数定义正弦与余弦

定义

$$S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad C(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$

与 $E$ 一样，阶乘控制项在有界区间上控制每个导数级数。因此 $S'=C$、$C'=-S$、$S(0)=0$、$C(0)=1$，且 $S$ 为奇函数、$C$ 为偶函数。对 $S^2+C^2$ 求导得到零，其在零处的值为 1，所以

$$S(x)^2+C(x)^2=1.$$

为推导加法公式，先注意一个基本唯一性事实：若 $u'=-v$、$v'=u$ 且两个初值均为零，则 $(u^2+v^2)'=0$，迫使两个函数均为零。固定 $y$ 时，平移后的函数对 $(C(x+y),S(x+y))$ 与函数对

$$(C(x)C(y)-S(x)S(y),\ S(x)C(y)+C(x)S(y))$$

满足同一微分方程组且在零处相等。对它们之差应用唯一性论证。因此熟悉的加法公式是级数及导数的结果，而不是预先假定的三角恒等式。

4 定义圆周率并证明基本周期

在 2 处的级数满足 $C(2)<1-2+2/3=-1/3$：这些项之后交错尾项从负项开始且各项绝对值严格递减。因此由连续性可知 2 以下有正零点，而 $C(0)=1$ 给出一个没有零点的初始邻域。设 $\rho$ 为正零点的下确界。取趋于它的零点序列并用连续性，可得 $C(\rho)=0$ 且 $\rho>0$。

在 $\rho$ 之前余弦为正；否则由连续性会出现更早的零点。因此在那里 $S'=C>0$，所以 $S(\rho)>0$，单位圆恒等式给出 $S(\rho)=1$。定义 $\pi=2\rho$。加法公式给出

$$C(x+\rho)=-S(x),\qquad S(x+\rho)=C(x).$$

四次这样的平移回到原函数对，得到公共周期 $4\rho=2\pi$。最小性需要单独论证。在依次的四个开象限区间内，$(C,S)$ 的符号分别为 $(+,+),(-,+),(-,-),(+,-)$；中间端点处的值依次为 $(0,1),(-1,0),(0,-1)$。因此在 $0<x<4\rho$ 内不会再次取到 $(1,0)$。任何更小的公共周期都会迫使零点处的函数对再次取该值。对平移恒等式求导表明 $S$ 的周期也是 $C=S'$ 的周期；对 $C$ 的周期同理。所以 $2\pi$ 是两函数各自的最小正周期。

记 $\sin=S$、$\cos=C$。参数化单位圆曲线 $(C(x),S(x))$ 的速度为 1。第一象限的严格单调性及四分之一周转恒等式使其在 $[0,2\pi)$ 内恰好绕圆一周。因此该参数与单位圆上的有向弧长一致；构造完成之后，才将解析参数与几何弧度相联系。

为明确弧长的认定，可用一个初等 C1 曲线论证。设 $\gamma:[a,b]\to\mathbb R^2$ 属 C1，把其长度定义为所有有限划分的折线弦长和的上确界。微积分基本定理与积分范数不等式，使每个弦长和至多为 $\int_a^b\|\gamma'(t)\|dt$。反过来，$\gamma'$ 一致连续，具有模 $\omega(\eta)\to0$。对网格宽度为 $\eta$ 的划分中长度为 $\Delta t$ 的区间，其弦向量与左端点 $\gamma'$ 乘 $\Delta t$ 的差，范数至多为 $\omega(\eta)\Delta t$，二者长度之差也有同一界。求和说明弦长和与速率积分的 Riemann 和之差至多为 $(b-a)\omega(\eta)$。所以该上确界等于速率积分。对已构造的单位圆曲线，速率为一，故正向参数恰好量度弧长；前面的四分之一转构造保证在最小周期前恰走一周。

5 反函数分支与端点极限

在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上，正弦严格递增且值域为 $[-1,1]$；在 $[0,\pi]$ 上，余弦严格递减且值域同为该区间。这些限制定义了 $\arcsin$ 和 $\arccos$。商 $\tan=S/C$ 在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 上的导数为 $1/C^2>0$，两端极限分别为方向相反的无穷大，因而在整个实数轴上定义了 $\arctan$。

反函数求导，并考虑所选分支的符号，得到

$$\frac d{du}\arcsin u=\frac1{\sqrt{1-u^2}},\quad \frac d{du}\arccos u=-\frac1{\sqrt{1-u^2}}\quad(|u|<1),$$

以及对所有实数 $u$ 的 $(\arctan u)'=1/(1+u^2)$。前两个公式并未声称端点处有有限导数。在反正弦分支上余弦非负且在内部为正，因此平方根取正号，并非任意选取代数符号。

练习与完整解答

E1 构造。 解释为什么指数乘积恒等式的这一二重级数证明需要对二重级数的绝对控制，而不仅是两个因子的部分和分别逐点收敛。

S1. 展开乘积引入所有项指标对，并按总次数分组。绝对可和使行、列和对角线的分组等价。仅有逐点收敛不能证明这样的重排有效；行和与列和不同的二重级数反例说明了缺少的原理。

E2 定义域与导数。 从定义推导 $x^{\sqrt2}$ 的导数，并指出此处它的实数定义域。

S2. 在 $x>0$ 上定义 $x^{\sqrt2}=E(\sqrt2\log x)$。链式法则给出 $E(\sqrt2\log x)\sqrt2/x=\sqrt2 x^{\sqrt2-1}$。此构造未给负输入提供实值定义。

E3 唯一性。 不调用一般常微分方程唯一性定理，证明 $u''+u=0$、$u(0)=A$、$u'(0)=B$ 蕴含 $u=AC+BS$。

S3. 减去 $AC+BS$ 得到 $v''=-v$，且 $v(0)=v'(0)=0$。$v^2+(v')^2$ 的导数为零，因此恒等于初值零。$v$ 和 $v'$ 均为零，证明该公式。直接求导验证了所示解的存在性。

E4 反函数分支。 计算 $\arcsin(\sin\pi)$，并解释无限制的正弦为何不能有全局反函数。

S4. 四分之一周转恒等式给出 $\sin\pi=0$，反函数分支给出 $\arcsin0=0$，不是 $\pi$。周期性使许多实数输入对应同一个正弦值；只有限制在一一对应的分支上才有反函数。

E5 积分恒等式。 用构造出的对数证明：对 $0<a<b$，有 $\int_a^b dt/t=\log b-\log a$。

S5. 构造出的对数在正区间上导数为 $1/t$，且该导数在 $[a,b]$ 上连续。因此微积分基本定理第二部分给出端点之差。若加入零或负端点，就改变了实数定义域问题。

小结

级数绝对收敛构造出指数函数及其乘积法则。正性和单调性使对数成为真正的反函数。正弦与余弦由各自的收敛级数构造；能量唯一性给出加法公式，首个零点的论证给出圆周率和最小周期。反函数公式需要分支限制和开值域内的求导条件。