多元可微性与中值估计

几个方向上的变化率未必能组合成良好的线性近似。分析的核心问题是：一个线性映射能否控制所有充分小位移的误差，而不只是在选定直线上控制误差。这一区别是链式法则、泰勒估计和多元优化的基础。

1 范数、极限与导数

在有限维空间中使用欧氏范数。对开集 $U\subset\mathbb R^n$ 和 $f:U\to\mathbb R^m$，在 $a$ 处连续是指当 $\|x-a\|\to0$ 时 $\|f(x)-f(a)\|\to0$。若存在线性映射 $L$ 使

$$\lim_{h\to0}\frac{\|f(a+h)-f(a)-Lh\|}{\|h\|}=0.$$

则称映射在 $a$ 处可微。映射 $L=Df(a)$ 称为全导数或 Fréchet 导数。它是唯一的：若 $L$ 和 $M$ 均满足条件，代入 $h=tv$，对每个 $v$ 得到 $\|(L-M)v\|=0$。对 $h=\sum_{j=1}^n h_je_j$，线性与三角不等式给出 $\|Lh\|\le\sum_j|h_j|\|Le_j\|\le(\sum_j\|Le_j\|)\|h\|$。这直接证明有限维中的有界性。由导数定义便得到连续性。

雅可比矩阵的元素为 $\partial f_i/\partial x_j$。通过考察 $h=te_j$ 可知，可微蕴含这些偏导数存在且是 $L$ 的矩阵元素。若所有偏导数在邻域中连续，则 $f$ 在该邻域可微。对标量函数 $f$，将增量分成 $n$ 个坐标方向步骤，对每一步应用一元中值定理。得到的系数是在趋于 $a$ 的点处的偏导数；连续性使误差至多为 $\sum o(1)|h_j|=o(\|h\|)$。对向量值函数逐分量应用即可。

2 为什么直线检验可能失败

定义 $f(0,0)=0$，并令

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\quad\text{for }(x,y)\ne(0,0).$$

因为 $|f(x,y)|\le|y|$，它在原点连续。原点的两个坐标偏导数均为零。若它可微，则导数必为零。但沿 $h=(t,t)$ 有 $f(t,t)=t/2$，并且

$$\frac{|f(t,t)|}{\|(t,t)\|}=\frac1{2\sqrt2},$$

它不趋于零。因此函数不可微。实际上每个方向导数都存在，但它们对方向的依赖不是线性的，这也是存在全导数的障碍。

3 控制误差的链式法则

定理。 若 $f$ 在 $a$ 处可微、$g$ 在 $f(a)$ 处可微，且复合函数在 $a$ 附近有定义，则

$$D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))Df(a).$$

证明。 写成 $f(a+h)-f(a)=Lh+r(h)$，其中 $r(h)=o(\|h\|)$。这一增量 $k$ 是 $O(\|h\|)$。第二个近似给出 $g(f(a)+k)-g(f(a))=Mk+s(k)$，其中 $s(k)=o(\|k\|)$。因此减去 $MLh$ 后的余项为 $Mr(h)+s(k)=o(\|h\|)$。当 $k=0$ 时，第二个余项按定义为零，所以不需要除零的例外处理。$\square$

对于 $f(x,y)=(xy,x+y)$ 和 $g(u,v)=u^2+v$，复合函数的导数为 $(2xy^2+1,2x^2y+1)$；直接求 $x^2y^2+x+y$ 的导数或相乘雅可比矩阵都可得到这个结果。

4 沿线段的中值定理

标量中值定理。 若线段 $[a,b]$ 位于开定义域中，且 $f:U\to\mathbb R$ 在其上可微，则存在 $t\in(0,1)$ 使

$$f(b)-f(a)=Df(a+t(b-a))(b-a).$$

对 $\phi(t)=f(a+t(b-a))$ 应用一元中值定理，再由链式法则求导即可。向量值函数不一定存在单个点满足类似的向量等式：$f(t)=(\cos t,\sin t)$ 在 $[0,2\pi]$ 上总增量为零，但导数从不为零。

向量值情形有如下有效估计：若 $f$ 沿线段为 $C^1$，且 $\|Df(x)\|_{\rm op}\le M$，则

$$\|f(b)-f(a)\|\le M\|b-a\|.$$

逐分量积分路径的导数并使用范数不等式即可证明。若同一个常数 $M$ 在开凸定义域的每个 $x$ 处都控制 $\|Df(x)\|_{\rm op}$，则估计适用于任意连接线段，给出该定义域上的全局 Lipschitz 常数 $M$。只在某一条线段上另行选出的界，并非全局界。不连通或非凸定义域未必包含所需线段。

练习与完整解答

E1 基础。 从定义直接证明 $f(x,y)=xy$ 在 $(a,b)$ 处可微。

S1. 位移 $(h,k)$ 对应的增量为 $bh+ak+hk$。线性部分为 $bh+ak$，且 $|hk|\le(h^2+k^2)/2$，因此余项除以 $\sqrt{h^2+k^2}$ 趋于零。

E2 反例。 对第 2 节的函数，计算单位向量 $v=(p,q)$ 方向的方向导数，说明它不是 $v$ 的线性函数。

S2. 对 $v\ne0$，$f(tp,tq)/t=p^2q/(p^2+q^2)$；对于单位向量则为 $p^2q$。它在两个坐标方向均为零，但在 $(1,1)/\sqrt2$ 处非零，所以不可能是线性泛函。该公式扩展到任意非零方向时是齐次但不具有可加性的函数。

E3 估计。 对 $R\ge0$，证明 $f(x,y)=(x^2,y^2)$ 在正方形 $[-R,R]^2$ 上是 Lipschitz 连续的，常数为 $2R$。

S3. 当 $R\ge0$ 时，雅可比矩阵为 $\operatorname{diag}(2x,2y)$，其算子范数至多为 $2R$。正方形内两点间的线段均位于正方形内，因此可应用线段估计。也可直接对每个平方差估计，再把界平方求和。

E4 证明。 若在凸开集上 $Df=0$，证明 $f$ 在该集合上为常数，包括向量值的 $f$。

S4. 对集合中任意 $a,b$，把每个分量限制在线段上。其一元导数为零，因此由中值定理两端的分量值相同。故 $f(a)=f(b)$。

总结

可微性是由单个线性映射给出的统一一阶近似。仅有偏导数或方向导数并不能保证可微。线段论证使一元定理得以谨慎推广，但不能混淆标量等式与向量范数估计。