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章节 1
任意阶多元 Taylor 定理
多重指标系数、积分与 Lagrange 余项及局部 Peano 定理，附完整证明、例题和练习解答。
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任意阶多元 Taylor 定理
多重指标系数、积分与 Lagrange 余项及局部 Peano 定理，附完整证明、例题和练习解答。
章节 1
多元可微性与中值估计
几个方向上的变化率未必能组合成良好的线性近似。分析的核心问题是：一个线性映射能否控制所有充分小位移的误差，而不只是在选定直线上控制误差。这一区别是链式法则、泰勒估计和多元优化的基础。
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多元可微性与中值估计
几个方向上的变化率未必能组合成良好的线性近似。分析的核心问题是：一个线性映射能否控制所有充分小位移的误差，而不只是在选定直线上控制误差。这一区别是链式法则、泰勒估计和多元优化的基础。
章节 2
泰勒展开与凸性
导数预测一阶变化，Hessian 矩阵预测这一变化率如何随方向改变。泰勒定理使近似定量化，而凸性将局部导数信息转化为全局比较。每个结果的假设和余项阶数都是结论的一部分。
章节 3
多重 Riemann 积分与 Fubini 定理
累次积分是一系列一元积分；多重积分是小单元上求和的极限。二者相等需要定理保证。我们先在假设明确的矩形连续函数情形下建立这一结论，再用它计算和解释区域积分。
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多重 Riemann 积分与 Fubini 定理
累次积分是一系列一元积分；多重积分是小单元上求和的极限。二者相等需要定理保证。我们先在假设明确的矩形连续函数情形下建立这一结论，再用它计算和解释区域积分。
章节 4
一致收敛与极限交换
性质良好的函数序列，其极限可能表现不佳。关键是收敛能否从某个共同阶段起在所有点都达到所需精度。一致收敛提供这种控制，但它并不对所有运算同样有效：积分比微分更容易与极限交换。
章节 5
幂级数与实解析性
泰勒多项式以有限阶近似函数。解析表示则使无穷级数在某个邻域中等于该函数。光滑性本身并不保证相等；幂级数的收敛性和余项控制解释了这一差别。
章节 6
Riemann 截面与不连续情形的 Fubini 定理
矩形上的连续性是交换积分次序的简洁充分条件，但许多有用的函数沿曲线发生跳跃。本章证明更广泛的有界 Riemann 截面定理，解释截面存在性的独立作用，并研究交换次序后答案改变的反常积分例子。
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Riemann 截面与不连续情形的 Fubini 定理
矩形上的连续性是交换积分次序的简洁充分条件，但许多有用的函数沿曲线发生跳跃。本章证明更广泛的有界 Riemann 截面定理，解释截面存在性的独立作用，并研究交换次序后答案改变的反常积分例子。
章节 7
高阶导数与多元解析性
多元泰勒公式不能通过在每个坐标中写出互不相关的一元展开得到。位移同时改变所有坐标，因此出现混合偏导数。多重线性导数组织这些相互作用，余项估计则告诉我们无穷泰勒展开是否等于函数。
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高阶导数与多元解析性
多元泰勒公式不能通过在每个坐标中写出互不相关的一元展开得到。位移同时改变所有坐标，因此出现混合偏导数。多重线性导数组织这些相互作用，余项估计则告诉我们无穷泰勒展开是否等于函数。
章节 8
黎曼积分、微积分基本定理与反常积分
即使被积函数有跳跃，积分仍可能存在；在比连续性更弱的条件下，原函数也可以还原积分。反常积分则在无穷端点或奇点引入另一种极限。我们将这些构造分开，确保只在有依据时应用微积分基本定理。
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黎曼积分、微积分基本定理与反常积分
即使被积函数有跳跃，积分仍可能存在；在比连续性更弱的条件下，原函数也可以还原积分。反常积分则在无穷端点或奇点引入另一种极限。我们将这些构造分开，确保只在有依据时应用微积分基本定理。
章节 9
二重级数与 Fubini 换序
先对每一行求和再对各行求和，与先求列和或扩大正方形部分和是不同的极限过程。在非负性或绝对可和条件下，这些过程的结果相同。条件收敛的例子说明，关于二重积分的章节不能替代二重级数的单独定理。
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二重级数与 Fubini 换序
先对每一行求和再对各行求和，与先求列和或扩大正方形部分和是不同的极限过程。在非负性或绝对可和条件下，这些过程的结果相同。条件收敛的例子说明，关于二重积分的章节不能替代二重级数的单独定理。
章节 10
指数、对数与三角函数的严格构造
熟悉的图像不是数学定义。我们从收敛级数构造初等函数，证明其代数与微分法则，并在证明所需值域之后才定义反函数分支。这不同于对已假定存在且性质已知的函数应用泰勒公式。
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指数、对数与三角函数的严格构造
熟悉的图像不是数学定义。我们从收敛级数构造初等函数，证明其代数与微分法则，并在证明所需值域之后才定义反函数分支。这不同于对已假定存在且性质已知的函数应用泰勒公式。
章节 11
一元中值定理与泰勒定理的证明
多元情形中的线段论证依赖一元定理。本章在本课程内证明这些基础，并始终区分可微、连续可微及整个区间上的条件。
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一元中值定理与泰勒定理的证明
多元情形中的线段论证依赖一元定理。本章在本课程内证明这些基础，并始终区分可微、连续可微及整个区间上的条件。