黎曼积分、微积分基本定理与反常积分

即使被积函数有跳跃，积分仍可能存在；在比连续性更弱的条件下，原函数也可以还原积分。反常积分则在无穷端点或奇点引入另一种极限。我们将这些构造分开，确保只在有依据时应用微积分基本定理。

1 有限区间上的 Darboux 可积性

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且 $a<b$。对分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，定义

$$U(f,P)=\sum_i\sup_{[x_{i-1},x_i]}f\,\Delta x_i,\qquad L(f,P)=\sum_i\inf_{[x_{i-1},x_i]}f\,\Delta x_i.$$

加细分割使 $U$ 不增、$L$ 不减。共同加细证明每个下和都不超过每个上和。上积分为 $\inf_PU$，下积分为 $\sup_PL$；两者相等定义了黎曼可积性。等价地，对每个 $\varepsilon>0$，存在分割使 $U-L<\varepsilon$：夹逼证明充分性，而近似最优的上下分割及其共同加细证明必要性。

一致连续性证明闭有界区间上的每个连续函数可积。单调性也是充分条件，即使有间断亦然。对不减函数 $f$，等长的 $n$ 段分割给出

$$U-L=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})] =\frac{b-a}{n}[f(b)-f(a)]\longrightarrow0.$$

积分具有线性和保序性。例如，$|\int_a^bf|\le\int_a^b|f|\le(b-a)\sup|f|$。这些性质先由各小区间和得到，再通过极限得到。在内部点分割的可加性则来自组合两部分的分割。

2 微积分基本定理的两个方向

基本定理第一部分。 若有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，且 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则 $F$ 是 Lipschitz 函数。在 $f$ 连续的每个内点，$F'(x)=f(x)$。

证明。 若 $|f|\le M$，可加性给出 $|F(y)-F(x)|\le M|y-x|$。对连续点和充分小的非零 $h$，

$$\frac{F(x+h)-F(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}[f(t)-f(x)]dt.$$

其绝对值不超过两端点之间 $|f(t)-f(x)|$ 的上确界，而该上确界趋于零。有向积分也处理负 $h$。$\square$

在跳跃处，可微性可能失败：若在 $1/2$ 以下有 $f=0$、以上有 $f=1$，则无论跳跃点赋给被积函数什么值，累积函数在 $1/2$ 的左斜率为 0，右斜率为 1。

基本定理第二部分。 若 $G$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可微，且在该开区间上 $G'=f$，其中 $f$ 在闭区间上有界且黎曼可积，则

$$\int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a).$$

证明。 在每个分割小区间上，中值定理给出内点 $\xi_i$，使 $G(x_i)-G(x_{i-1})=f(\xi_i)\Delta x_i$。求和后相消得到端点之差。当分割的网格趋于零时，这些黎曼和收敛到积分。$f$ 的端点值不影响积分。$\square$

因此被积函数连续是第二部分的充分条件，但不是必要条件。不能对闭区间上无界的奇异被积函数应用这一论证；它需要反常极限。

FTC 第二部分使用的任意充分细标记和收敛，可直接由 Darboux 定义推出。若 $|f|\le M$ 且 $f$ 的积分为 $I$，固定 $\varepsilon>0$，取 $P_0$ 使 $U(f,P_0)-L(f,P_0)<\varepsilon$。设 $k$ 为 $P_0$ 的内部划分点个数。对网格宽度为 $\eta$ 的任意标记划分 $P$，加入这些固定点细化为 $Q$。只有内部含有 $P_0$ 划分点的 $P$ 区间被切开，其总长度至多为 $k\eta$。未切开的区间使用相同标记点，被切开的小段可任取允许标记。若相应和为 $S_P,S_Q$，有界性给出 $|S_P-S_Q|\le2Mk\eta$。由于 $Q$ 细化 $P_0$，$S_Q$ 和 $I$ 都在 $L(f,P_0)$ 与 $U(f,P_0)$ 之间。因此

$$|S_P-I|<\varepsilon+2Mk\eta.$$

固定 $P_0$ 后，这证明 $\eta\to0$ 时的收敛对所有标记一致；若 $k=0$，第二项为零。这补上了 Darboux 判据与中值定理的望远镜和之间的联系，同时仍允许有界但不连续的被积函数。

估计中使用的绝对值结论也可闭合。对每个区间 $J$，由 $||u|-|v||\le|u-v|$ 有 $\operatorname{osc}(|f|,J)\le\operatorname{osc}(f,J)$。因此 Darboux 判据说明 $f$ 可积时 $|f|$ 也可积。有限标记和满足三角不等式，令其趋向刚证明的极限，得到 $|\int f|\le\int|f|$。再由保序性得到 $\int|f|\le M(b-a)$。这里没有给 FTC 第二部分增加连续性假设。

3 反常端点与 Cauchy 判别准则

对 $[a,\infty)$ 上局部黎曼可积的 $f$，当有限极限存在时定义 $\int_a^\infty f=\lim_{B\to\infty}\int_a^Bf$。在奇异端点 $a$，定义 $\int_a^bf=\lim_{\delta\downarrow0}\int_{a+\delta}^bf$。若两端均为反常端点，则在固定内点分割，并分别要求两个极限存在。对称消去不是收敛的定义。

无穷端点积分收敛，当且仅当其尾部满足：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $A$，使所有 $B>C\ge A$ 均有 $|\int_C^Bf|<\varepsilon$。必要性来自相减两个接近极限的累积积分。充分性来自端点趋于无穷时累积值是 Cauchy 的；$\mathbb R$ 的完备性给出有限极限。

若 $f\ge0$，累积积分递增，所以收敛等价于其有界。因此，最终有 $0\le f\le g$ 且 $\int g$ 收敛，蕴含 $\int f$ 收敛。若 $\int|f|$ 收敛，则绝对尾界及 Cauchy 准则证明 $\int f$ 收敛。这称为绝对收敛；逆命题不成立。

对于幂函数模型，以下两个积分分别当且仅当所示条件成立时收敛：

$$\int_1^\infty x^{-p}dx\quad(p>1),\qquad \int_0^1x^{-p}dx\quad(p<1).$$

先在正常有限区间上计算原函数，再取端点极限；$p=1$ 时使用对数。

4 一个条件收敛的振荡积分

对 $B>A\ge1$，分部积分给出

$$\int_A^B\frac{\sin x}{x}dx=\left[-\frac{\cos x}{x}\right]_A^B-\int_A^B\frac{\cos x}{x^2}dx.$$

尾积分的绝对值至多为 $1/A+1/B+(1/A-1/B)=2/A$。Cauchy 准则证明 $\int_1^\infty\sin x/x\,dx$ 收敛。

它不绝对收敛。在每个区间 $[n\pi+\pi/6,n\pi+5\pi/6]$ 上，$|\sin x|\ge1/2$ 且 $x\le(n+1)\pi$。它对 $\int|\sin x|/x$ 的贡献至少为 $1/[3(n+1)]$。将不相交区间的贡献相加，得到发散的调和级数下界。消去至关重要，所以取绝对值或重排等操作需要单独论证。

这里用到的三角恒等式在本课程的初等函数章节中以解析方式建立，并不作为允许任意反常换序的依据。

练习与完整解答

E1 基础。 设 $f(x)=0$ 于 $[0,1/2)$，$f(x)=2$ 于 $[1/2,1]$。求 $F(x)=\int_0^xf$，并指出其导数不存在的位置。

S1. 当 $0\le x\le1/2$ 时 $F(x)=0$，当 $1/2\le x\le1$ 时 $F(x)=2x-1$。它连续且为 Lipschitz 函数，但在 $1/2$ 的左右导数分别为 0 和 2，因此该处导数不存在。在 $(0,1)$ 中除 $1/2$ 外的每一点，基本定理第一部分适用。端点只有单侧导数：$F'_+(0)=0$、$F'_-(1)=2$。

E2 收敛性。 判断 $\int_1^\infty x^{-3/2}dx$ 与 $\int_0^1x^{-3/2}dx$ 的收敛性，并在有限时求值。

S2. 在有限端点之间，原函数为 $-2x^{-1/2}$。从 1 到无穷的积分为 2，而下端点积分发散到正无穷。同一个幂在零和无穷处可能表现不同。

E3 技巧。 计算 $\int_1^\infty (\log x)/x^2\,dx$，并论证端点极限。

S3. 在 $[1,B]$ 上分部积分得到 $-(\log B)/B+1-1/B$。由于 $(\log B)/B\to0$，极限为 1。例如，对数／指数的构造给出 $\log B=o(B)$，或可用已证明的基本极限得到同一端点结论。所有有限区间积分都远离奇点。

E4 消去。 解释为什么尽管对称截断积分为零，$\int_{-1}^1dx/x$ 作为反常积分仍发散。

S4. 在零处分割后，必须分别计算 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上的积分；两者都按对数形式发散，符号相反。为零的对称主值是另一种极限，不是所需两个反常部分的收敛。写成无穷减无穷不会产生积分值。

小结

Darboux 和独立于原函数定义有限区间积分。微积分基本定理的两部分有不同的条件和结论。反常积分增加了端点极限，此时 Cauchy 尾部、比较与绝对收敛控制哪些操作仍然有效。