幂级数与实解析性

泰勒多项式以有限阶近似函数。解析表示则使无穷级数在某个邻域中等于该函数。光滑性本身并不保证相等；幂级数的收敛性和余项控制解释了这一差别。

1 收敛半径

以 $a$ 为中心的幂级数为 $\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$。令 $L=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}$，其收敛半径为 $R=1/L$，约定 $1/0=\infty$、$1/\infty=0$。

收敛半径定理。 当 $|x-a|<R$ 时级数绝对收敛，当 $|x-a|>R$ 时发散。在每个较小的闭区间 $|x-a|\le r<R$ 上，收敛绝对且一致。

证明。 若 $r<R$，取 $s$ 使 $r<s<R$。根值判别法给出 $\sum|c_n|s^n$ 收敛，且 $|c_n(x-a)^n|\le|c_n|r^n\le|c_n|s^n$。Weierstrass 判别法给出一致绝对收敛。若 $|x-a|>R$，项的 $n$ 次方根的上极限大于 1，故各项不可能趋于零。此论证不能决定边界点。$\square$

对于 $\sum x^n/n$（$n\ge1$），收敛半径为 1。在 $x=1$ 处发散，在 $x=-1$ 处条件收敛。单靠半径不能确定任一端点的情况。

2 在半径内求导与积分

在收敛区间内部，

$$\frac d{dx}\sum c_n(x-a)^n=\sum_{n\ge1}nc_n(x-a)^{n-1}.$$

为证明它，选取 $r<s<R$。在 $s$ 处收敛使 $|c_n|s^n$ 被某常数 $M$ 所控制。若 $|x-a|\le r$ 且 $r>0$，则

$$|nc_n(x-a)^{n-1}|\le\frac Ms n(r/s)^{n-1},$$

右侧数项级数收敛。因此导数级数在较小区间上一致收敛。对部分和应用导数定理，它们在 $a$ 处的值均为 $c_0$。重复此过程得到所有高阶导数，以及

$$c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.$$

一致收敛也允许在每个较小闭区间上逐项积分。端点公式需要各自的收敛论证，不能仅仅将边界值代入内部定理。

例。 几何级数给出 $1/(1-x)=\sum_{n\ge0}x^n$（$|x|<1$）。从零积分到 $x$ 得

$$-\log(1-x)=\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n}.$$

再求导得到 $1/(1-x)^2=\sum_{n\ge0}(n+1)x^n$。每个操作在 $(-1,1)$ 内部的较小闭区间上有效，因此在每个内部点有效。

3 解析性与无限可微性

函数在 $a$ 处实解析，是指它在 $a$ 的某个邻域内等于一个收敛幂级数。系数公式使该表示必为它的 Taylor 级数。在定义域每点解析，并不意味着同一中心的级数表示整个定义域上的函数。

定义

$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2},&x\ne0,\\0,&x=0.\end{cases}$$

下面给出光滑但不解析的完整论证。对 $x\ne0$，令 $t=1/x$，并递归定义多项式

$$P_0(t)=1,\qquad P_{j+1}(t)=2t^3P_j(t)-t^2P_j'(t).$$

由 $dt/dx=-t^2$，乘积和链式法则说明 $P_j(1/x)e^{-1/x^2}$ 的导数是 $P_{j+1}(1/x)e^{-1/x^2}$。为控制原点，对任意固定幂 $p\ge0$ 和整数 $N>p$，非负项指数级数给出 $u>0$ 时 $e^u\ge u^N/N!$，所以当 $u\to\infty$ 时，$u^pe^{-u}\le N!u^{p-N}\to0$。因此任意 $1/x$ 的多项式乘 $e^{-1/x^2}$ 均趋零，再多乘一个 $1/x$ 仍然如此。

对非零 $x$ 令 $g_j(x)=P_j(1/x)e^{-1/x^2}$，并令 $g_j(0)=0$。每个 $g_j$ 在零处连续，且该处差商为

$$\frac{g_j(x)-g_j(0)}x=\frac1xP_j(1/x)e^{-1/x^2}\longrightarrow0.$$

在零点以外，其导数是 $g_{j+1}$；在零点，刚证明的差商给出同一导数值 $g_{j+1}(0)=0$。由 $g_0=f$ 开始归纳，得到 $f\in C^\infty(\mathbb R)$，且每个 $j$ 都有 $f^{(j)}(0)=0$。全部 Taylor 系数为零，但每个非零 $x$ 处 $f(x)>0$，所以不可能在任何邻域由零 Taylor 级数表示。这里使用的指数恒等式和正项级数界，在初等函数章节中独立于本反例构造。

作为对照，设一个 $C^\infty$ 函数存在固定常数 $M,K>0$，使每个整数 $n\ge0$ 和 $a$ 的同一个邻域中的每个 $t$ 都满足 $|f^{(n+1)}(t)|\le M K^{n+1}$。一元 Taylor 余项便以 $M K^{n+1}|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ 为界；相邻界的比为 $K|x-a|/(n+2)\to0$，故余项趋零。这证明在每个充分近的点处等于 Taylor 级数。只控制有限阶导数，或只在 $a$ 处控制，不能代替这个共同邻域假设。

4 有限范围的多元推广

对多重指标 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$，记 $|\alpha|=\sum\alpha_i$、$\alpha!=\prod\alpha_i!$ 和 $h^\alpha=\prod h_i^{\alpha_i}$。局部实解析展开形如 $\sum_\alpha c_\alpha h^\alpha$。若某个 $s>0$ 使 $\sum_\alpha|c_\alpha|s^{|\alpha|}<\infty$，则级数在每个较小闭立方体 $|h_i|\le r<s$ 上绝对且一致收敛。导数级数也在其上一致收敛：额外因子 $\alpha_j$ 可由 $r$ 和 $s$ 之间收敛的多项式乘几何级数控制。因此 $c_\alpha=\partial^\alpha f(a)/\alpha!$。

对于 $1/(1-x-y)$，几何级数展开和二项式定理给出

$$\frac1{1-x-y}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}x^iy^{k-i},\qquad |x|+|y|<1.$$

绝对值之和以 $\sum_k(|x|+|y|)^k$ 为界。所示区域是绝对收敛的充分区域，不能通过将 $x$ 和 $y$ 视为互不相关的一维级数得到。

以下逆向结论中，取正整数 $n$、中心 $a\in\mathbb R^n$、$s>0$ 及实系数 $c_\alpha$。在所述有限绝对系数界下，于 $|h_i|<s$ 定义 $f(a+h)=\sum_\alpha c_\alpha h^\alpha$。这定义了待证明正则性的函数，并未预先假设它为 $C^\infty$。

逆向结论：绝对系数控制允许逐项求导。 假设存在 $s>0$，使

$$A=\sum_{\alpha\in\mathbb N_0^n}|c_\alpha|s^{|\alpha|}<\infty.$$

把这个绝对和解释为有限子和的上确界，或按总次数递增枚举多重指标。对每个闭立方体 $|h_i|\le r<s$，M 判别法保证原级数一致收敛。对一个偏导数及 $m=|\alpha|\ge1$，若 $\alpha_j=0$，该项为零；否则，对 $0<r<s$，

$$|\alpha_jc_\alpha h^{\alpha-e_j}|\le\frac{|c_\alpha|s^m}{s}\,m(r/s)^{m-1}.$$

当 $q=r/s<1$ 时，$m q^{m-1}$ 一致有界，例如可用收敛标量级数 $\sum_{m\ge1}m q^{m-1}=1/(1-q)^2$ 控制。因此求导后的项具有可求和的系数优级数，在该立方体上一致收敛。

为什么这种收敛确实给出导数？令 $P_N$ 为总次数至多 $N$ 的单项式有限和。固定第 j 个坐标以外的所有坐标，让该坐标在 $[-r,r]$ 中变化。$P_N$ 和 $\partial_jP_N$ 均一致收敛，在该坐标为零处的值也收敛。一元一致导数定理证明极限具有这个偏导数。导数多项式的一致极限在整个立方体上连续。对每个坐标这样做，再用连续偏导数的可微判据，得到内部的 C1 正则性。

对给定的更高求导阶数 $\ell$，下降阶乘系数至多为 $m^\ell$；在 $|h_i|\le r$ 上，各项以 $|c_\alpha|s^m s^{-\ell}m^\ell(r/s)^{m-\ell}$ 为界，相关指数不足时则该项为零。这个多项式乘几何因子一致有界；在严格介于 $r$ 和 $s$ 之间的嵌套立方体上逐次使用同一论证，得到各阶导数存在且连续。在 $h=0$ 处代入，只剩匹配的单项式，因此 $\partial^\alpha f(a)=\alpha!c_\alpha$。这里实际证明了逐项求导规则，而非从形式记号直接假定它。

练习与完整解答

E1 基础。 求 $\sum_{n\ge1}x^n/n^2$ 的收敛半径与端点行为。

S1. 根值上极限为 1，故 $R=1$。在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处，绝对值级数均为收敛的 $\sum1/n^2$。所以收敛区间为 $[-1,1]$；整个区间上的一致收敛也可另外由 Weierstrass 判别法得到。

E2 级数运算。 求 $1/(2-x)$ 和 $1/(2-x)^2$ 在零处的幂级数，并给出共同收敛半径。

S2. 当 $|x|<2$ 时，$1/(2-x)=\frac12\sum_{n\ge0}(x/2)^n=\sum x^n/2^{n+1}$。求导得 $1/(2-x)^2=\sum_{n\ge0}(n+1)x^n/2^{n+2}$，收敛半径同为 2。

E3 唯一性。 证明以同一点为中心的两个收敛幂级数若在该点附近表示同一函数，则对应系数相同。

S3. 使用已论证的逐项求导法，在中心处对两个相等的函数求 $n$ 次导数。两者各自的第 $n$ 阶导数均为对应系数的 $n!$ 倍，因此对每个 $n$，系数相等。

E4 多元情形。 求 $e^{x+y}$ 的级数中总次数至多为二的各项。

S4. 展开 $1+(x+y)+(x+y)^2/2+\cdots$。各项为 $1+x+y+x^2/2+xy+y^2/2$。$xy$ 的系数为 1，符合除以 $1!1!$，而不是在没有二项式系数时除以 $2!$。

总结

幂级数在收敛半径内的较小区域上一致收敛，允许有依据的逐项微积分运算。解析性意味着函数等于该局部级数。无限可微性更弱；需要泰勒余项或其他收敛论证来证明相等。