Cauchy-Schwarz 与三角不等式

实内积、诱导范数与所需不等式

实向量空间上的内积是取值于实数的映射 $\langle u,v\rangle$，它对称、对每个变量线性，并且正定：$v\ne0$ 时 $\langle v,v\rangle>0$。线性性给出 $\langle0,v\rangle=0$。定义 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$，则范数恰在零向量处为零，且 $\|cv\|=|c|\|v\|$。$\mathbb R^m$ 上的标准例子是 $\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^mu_iv_i$。内积为零的向量称为正交；不同成员互相正交且每个成员范数为一的列表称为正交规范列表。

若 $v\ne0$，将 $t=\langle u,v\rangle/\|v\|^2$ 代入非负平方 $\|u-tv\|^2$，以双线性展开得 $\|u\|^2-\langle u,v\rangle^2/\|v\|^2\ge0$，故 $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|$。若 $v=0$，该不等式直接成立。对 $v\ne0$，等号意味着 $\|u-tv\|=0$，等价于 $u=tv$；零向量情形也取等。最后展开 $\|u+v\|^2$ 并对交叉项使用该界，得到 $\|u+v\|^2\le(\|u\|+\|v\|)^2$。待开方的两边非负，因此得到三角不等式。这确实定义了范数，任何非零向量的归一化都只除以正实数；这里不使用复双线性的约定。

控制长度平方中的交叉项

内积给你长度与夹角的公式。接下来的问题是：这些公式究竟受到什么限制？

两条不等式给出了相应的界：

• Cauchy-Schwarz 不等式控制内积的大小，不会超过两个向量长度的乘积；
• 三角不等式说明，由 $0$ 走到 $u+v$ 的直路，永远不会比先走 $u$ 再走 $v$ 更长。

这两条不等式说明欧氏几何为何能够用代数语言表达。

困难会在展开范数平方时出现。例如，$\|u+v\|^2$ 含有带符号的交叉项 $2\langle u,v\rangle$，但长度必须非负，而且最好能在不知道向量坐标的 情况下加以控制。Cauchy-Schwarz 恰好提供这个控制；它把上述代数展开转 化为三角不等式。各个等号条件则进一步记录两个向量是在同一条射线上， 还是在同一直线的相反方向上。相同的估计还说明：向量只有小幅变化时， 其长度以及与固定向量的内积也只会小幅变化。

按这个次序证明还有结构上的理由。由内积公理可立即得到诱导长度的非负 性与齐次性，三角不等式却并非直接可见。只有先用 Cauchy-Schwarz 控制 交叉项，范数的全部公理才告成立，而 $d(x,y)=\|x-y\|$ 也才真正成为度 量。因此，本节不只汇集几条方便的估计；它完成了由内积到长度、距离与 夹角的逻辑过渡。

实内积空间中的约定

定义

实内积空间与诱导范数

本节始终假设 $V$ 是一个实内积空间。因此 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 取实数值，并满足双线性、对称性与正定性。 由内积诱导的范数定义为

$$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle},$$

所以 $\|x\|\ge0$，而且等号成立当且仅当 $x=0$。标准模型是带点积的 $V=\mathbb{R}^m$，不过下面的证明只用到实内积公理，所以对任意实内积 空间都成立。

若存在不全为零的实数 $a,b$ 使 $av+bw=0$，就称 $v,w$ 线性相关。按这 个定义，任何包含零向量的向量对都线性相关。要在不另行排除零向量的情 况下准确陈述等号条件，这项约定不可省略。复内积空间涉及共轭线性，而 夹角也需要另一番讨论；本节并未把它们默默纳入当前陈述。

Cauchy-Schwarz 不等式

定理

Cauchy-Schwarz 不等式

对所有向量 $v,w\in V$，

$$|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.$$

而且等号成立当且仅当 $v$ 与 $w$ 线性相关。

这条不等式表示：内积的绝对值，不可能大过两个向量长度的乘积。对非零 向量 $v$ 与 $w$，下列商落在 $[-1,1]$ 内，因此可完整定义两者的夹角为

$$\theta= \arccos\!\left( \frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\,\|w\|} \right)\in[0,\pi].$$

等价地，$\cos\theta=\langle v,w\rangle/(\|v\|\,\|w\|)$。若其中一个 向量是零向量，分母便为零，所以此公式不能定义夹角。对非零向量而言， $\theta=0$ 表示它们在同一条射线上，$\theta=\pi/2$ 表示正交， $\theta=\pi$ 则表示它们在相反射线上。

这个定义只取决于方向。把任一向量乘以正标量不会改变上述商；若恰好把 其中一个向量乘以负标量，其方向反转，夹角便由 $\theta$ 变为 $\pi-\theta$。在两个端点，商分别为 $1$ 与 $-1$，对应正比例与负比 例。Cauchy-Schwarz 中的绝对值有意把两种端点都列作取等情形，三角不 等式却会把它们区分开来。零向量不能归一化，也没有方向；这正是除了分 母为零之外，不在这里为它指定夹角的概念原因。

证明

用二次多项式证明

先考虑 $w=0$。此时 Cauchy-Schwarz 的两边同为 $0$，等号立即成立；而 包含零向量的一对向量必定线性相关。因此，不等式和上述等号条件在这个 情形都成立。

现在假设 $w\ne0$，并考虑函数

$$F(t)=\|tw-v\|^2.$$

由于范数平方永远非负，所以对所有实数 $t$ 都有 $F(t)\ge0$。把它展 开得

$$F(t)=t^2\langle w,w\rangle-2t\langle v,w\rangle+\langle v,v\rangle.$$

由于首项系数是 $\|w\|^2>0$，这是一个真正的二次多项式。它对所有实数 都非负，因此其判别式不能为正：

$$4\langle v,w\rangle^2-4\|v\|^2\|w\|^2\le0.$$

于是

$$|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.$$

在 $w\ne0$ 的情形，Cauchy-Schwarz 取等当且仅当判别式为零，也就是 $F(t)$ 有实根。这表示存在某个实数 $t$ 使 $tw-v=0$，所以 $v$ 是 $w$ 的标量倍。反过来，若 $v$ 与 $w$ 线性相关，因 $w\ne0$，可写成 $v=tw$，直接代入便得等号。连同 $w=0$ 的情形，这就证明了完整的等号 条件，包括其中一个或两个向量都是零向量的所有情形。

二次式的投影意义

同一个计算也说明这个证明为何有自然的几何意义。当 $w\ne0$ 时，令

$$t_0=\frac{\langle v,w\rangle}{\|w\|^2}, \qquad r=v-t_0w.$$

于是

$$\langle r,w\rangle =\langle v,w\rangle-t_0\|w\|^2=0.$$

所以 $t_0w$ 是 $v$ 沿 $w$ 所张成直线的分量，$r$ 则是正交余项。把正 交分解 $v=t_0w+r$ 展开，可得

$$\|v\|^2 =\|t_0w\|^2+\|r\|^2 =\frac{\langle v,w\rangle^2}{\|w\|^2}+\|r\|^2.$$

由于 $\|r\|^2\ge0$，一个向量沿某条直线的分量不可能比向量本身更 长；整理后正是 Cauchy-Schwarz。等号成立当且仅当 $r=0$，也就是 $v$ 本来就在那条直线上。因此，判别式、正交投影与等号条件其实是同一事实 的三种表述。

也可以把二次式配方，直接看出其精确最小值：

$$F(t) =\|w\|^2\left(t-\frac{\langle v,w\rangle}{\|w\|^2}\right)^2 +\|v\|^2-\frac{\langle v,w\rangle^2}{\|w\|^2}.$$

第一项恰在 $t=t_0$ 时消失，所以最后的常数项就是 $F$ 的最小值，必定 非负。这会给出与判别式方法相同的不等式平方形式。更重要的是，它说明 判别式为零并非偶然的代数现象：这表示 $v$ 到 $w$ 所张成直线的最短距 离为零。此时正交余项消失，两个向量也就线性相关。

非负二次式给出 Cauchy–Schwarz，再由它对交叉项的估计得到三角不等式。

例题

数值检查 Cauchy-Schwarz

令

$$v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} 4\\5\\6 \end{bmatrix}.$$

则

$$\langle v,w\rangle=32, \qquad \|v\|=\sqrt{14}, \qquad \|w\|=\sqrt{77}.$$

所以

$$|\langle v,w\rangle|=32, \qquad \|v\|\,\|w\|=\sqrt{14\cdot77}=\sqrt{1078}\approx32.83.$$

确实有

$$32\le32.83.$$

归一化内积为 $32/\sqrt{1078}\approx0.9746$，所以夹角约为 $0.226$ 弧 度。这个数严格小于 $1$，说明两向量方向相近，却并非线性相关。

三角不等式

定理

三角不等式

对所有向量 $u,v\in V$，

$$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.$$

而且等号成立当且仅当 $u$ 与 $v$ 其中一个是另一个的非负标量倍，包括 其中一个是零向量的情形。

几何意义很直接：三角形的一边，永远不会比另外两边的总和更长。

证明

两个估计的等号必须同时成立

这里要追踪连续的两个等号缺口：

$$\langle u,v\rangle\le|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|$$

第一个缺口控制内积的符号，第二个控制线性相关性。零向量情形单独处理， 因此不需要在这些情形下归一化。

由

$$\|u+v\|^2 =\langle u+v,u+v\rangle =\|u\|^2+2\langle u,v\rangle+\|v\|^2$$

及 Cauchy-Schwarz，

$$\langle u,v\rangle\le|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|,$$

可得

$$\|u+v\|^2\le\|u\|^2+2\|u\|\,\|v\|+\|v\|^2=(\|u\|+\|v\|)^2.$$

两边取平方根便得到

$$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.$$

要在最后取等，上面一连串的两个估计都必须取等。第一个估计要求 $\langle u,v\rangle=|\langle u,v\rangle|$，即内积非负； Cauchy-Schwarz 的界取等则要求 $u$ 与 $v$ 线性相关。若两个向量都非 零，可写成 $v=\lambda u$，而 $\langle u,v\rangle=\lambda\|u\|^2\ge0$ 迫使 $\lambda\ge0$。若其中 一个是零向量，等号立即成立，而零向量也是另一个向量的非负标量倍。反 过来，直接代入可见，符合这个非负标量倍条件的向量必定取等。因此，两 个非零向量方向相反时虽然会令 Cauchy-Schwarz 取等，却不会令三角不等 式取等。

对非零 $u,v$，夹角定义把这种几何联系写得更明确：

$$\|u+v\|^2 =\|u\|^2+\|v\|^2+2\|u\|\,\|v\|\cos\theta.$$

Cauchy-Schwarz 正是断言 $-1\le\cos\theta\le1$；采用上端点便得到三角 不等式。要在上端点取等，必须有 $\theta=0$，而不是 $\theta=\pi$。因此，同一直线上方向相反的向量会使 Cauchy-Schwarz 取 等，却不能使三角不等式取等。代数中的符号条件与几何中的同射线条件， 实际上是等价的两种描述。

还可以量化这幅图景。对非零向量作归一化： $\widehat u=u/\|u\|$、$\widehat v=v/\|v\|$。它们都是单位向量，而且

$$\|\widehat u-\widehat v\|^2 =2-2\langle\widehat u,\widehat v\rangle =2-2\cos\theta =4\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right).$$

因为 $\theta/2\in[0,\pi/2]$，取非负平方根得 $\|\widehat u-\widehat v\|=2\sin(\theta/2)$。所以夹角小时，两个归一 化向量在范数意义下也接近；夹角为 $\pi$ 时，两者距离达到最大值 $2$。 类似地，$\|\widehat u+\widehat v\|=2\cos(\theta/2)$，故三角不等式的 上界 $2$ 只在夹角为零时达到。这些恒等式把等号条件转化为单位球面上的 精确距离。

定理

反向三角不等式

对所有向量 $u,v\in V$，

$$\|u-v\|\ge\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|.$$

等号成立当且仅当 $u$ 与 $v$ 其中一个是另一个的非负标量倍，零向量的 情形也包括在内。

把三角不等式分别用于 $u=(u-v)+v$ 与 $v=(v-u)+u$，可得 $\|u\|-\|v\|\le\|u-v\|$ 及 $\|v\|-\|u\|\le\|u-v\|$，两式合起来便证明上述下界。例如，若 $\|u\|\ge\|v\|$ 而且取等，则 $u=(u-v)+v$ 所用的三角不等式本身也必 须取等。因此 $u-v$ 与 $v$ 沿同一非负方向，从而 $u$ 与 $v$ 也沿同一 非负方向。另一种范数大小次序完全对称。反过来，若两向量符合上述非负 标量倍条件，直接计算便得等号；这也包括其中一个是零向量的情形。

这个版本在你需要下界而不是上界时，往往更容易用。

它也可写成对称形式

$$\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|.$$

因此，对距离 $d(u,v)=\|u-v\|$ 而言，范数函数是 1-Lipschitz 的： 向量至多改变 $\varepsilon$，其长度也至多改变 $\varepsilon$。特别地， 若 $x_n$ 在范数下趋近 $x$，则 $|\|x_n\|-\|x\||\le\|x_n-x\|$ 直接说明 $\|x_n\|$ 趋近 $\|x\|$。 这个分析结论仍是同一条反向三角不等式，并未增加任何坐标假设。

重复使用三角不等式，还可得到有限和形式

$$\left\|\sum_{k=1}^{n}x_k\right\| \le\sum_{k=1}^{n}\|x_k\|.$$

证明只需归纳：分离最后一个加项，对它与前面的部分和使用二向量三角不 等式，再对前面的部分和使用归纳假设。结合范数的齐次性，又有

$$\left\|\sum_{k=1}^{n}a_kx_k\right\| \le\sum_{k=1}^{n}|a_k|\,\|x_k\|.$$

这是在不展开坐标的情况下，控制多个向量贡献之累计大小的标准方法。

有限和的等号条件也有一个很有用的多向量形式。设 $p$ 是正整数，且有向量 $x_1,\ldots,x_p$。展开两个平方可得

$$\left(\sum_{i=1}^{p}\|x_i\|\right)^2- \left\|\sum_{i=1}^{p}x_i\right\|^2 =2\sum_{1\le i<j\le p} \left(\|x_i\|\,\|x_j\|-\langle x_i,x_j\rangle\right)\ge0$$

由 Cauchy-Schwarz 以及 $\langle x_i,x_j\rangle\le|\langle x_i,x_j\rangle|$， 每个两两缺口都非负。因此取等当且仅当每个两两缺口都为零。$p=1$ 时 结论立即成立；若所有向量都是零，也立即成立。否则选取一个非零向量 $w=x_k$；对 $w$ 取等，再结合二向量三角不等式的等号条件，可知每个非零 $x_i$ 都是 $w$ 的正标量倍，零向量可以存在。反过来，位于同一条正向射线 上的向量会使范数和可加。因此，取等要求所有非零向量位于同一条正向射线， 而不只是同一条直线。

同样可以得到折线路径不等式。对点 $t_0,\ldots,t_p$，令 $x_i=t_i-t_{i-1}$。由于

$$\sum_{i=1}^{p}x_i=t_p-t_0$$

有限和不等式给出

$$\|t_p-t_0\|\le\sum_{i=1}^{p}\|t_i-t_{i-1}\|$$

当且仅当所有非零步向量都位于同一条正向射线时取等；零步向量可以存在，全为 零的路径也符合条件。几何上，这表示路径沿一个方向直线前进，没有来回折返。 若 $t_p=t_0$，取等便进一步迫使每一步都为零。

Cauchy-Schwarz 则给出内积的相应稳定性估计。固定 $z$ 后，

$$|\langle x,z\rangle-\langle y,z\rangle| =|\langle x-y,z\rangle| \le\|x-y\|\,\|z\|.$$

若两个位置都改变，可加上再减去 $\langle x',y\rangle$，并使用两次 Cauchy-Schwarz，得到

$$|\langle x,y\rangle-\langle x',y'\rangle| \le\|x-x'\|\,\|y\|+\|x'\|\,\|y-y'\|.$$

这些界在不依赖坐标的情况下说明：范数与内积在小扰动下都保持稳定。

等号条件很重要

等号条件不是补充说明，而是告诉你估计何时会变得恰好。

• 对两个非零向量，Cauchy-Schwarz 取等表示它们同向或反向。更一般地， 取等表示两个向量线性相关，这也包括任何含有零向量的向量对；
• 对两个非零向量，三角不等式取等表示它们沿同一方向，而且比例非负。 含有零向量的向量对也会取等。

例题

三角不等式取等的情形

令

$$u= \begin{bmatrix} 2\\0 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 3\\0 \end{bmatrix}.$$

则 $v=\frac32u$，所以 $v$ 是 $u$ 的非负标量倍。于是

$$\|u+v\|=\left\| \begin{bmatrix} 5\\0 \end{bmatrix} \right\|=5 =2+3 =\|u\|+\|v\|.$$

所以等号成立。

例题

Cauchy-Schwarz 取等不能决定三角不等式中的符号

令

$$u=(2,0), \qquad v=(-3,0).$$

因为 $v=-\frac32u$，两向量线性相关。因此 Cauchy-Schwarz 取等，直接 计算也可验证：

$$|\langle u,v\rangle|=|-6|=6 =\|u\|\,\|v\|=2\cdot3.$$

但对三角不等式，

$$\|u+v\|=\|(-1,0)\|=1 <5=\|u\|+\|v\|.$$

这里严格不等，是因为比例 $-3/2$ 为负。这个例子保护了符号条件：线性 相关足以令 Cauchy-Schwarz 取等，但三角不等式取等要求的是非负标 量倍。

常见错误

常见错误

Cauchy-Schwarz 取等不等于正交

正交表示 $\langle v,w\rangle=0$。Cauchy-Schwarz 取等表示

$$|\langle v,w\rangle|=\|v\|\,\|w\|.$$

若 $v$ 与 $w$ 都非零，取等表示两个向量线性相关，因此不可能同时正交。 不过，若其中一个向量是零向量，两者会同时正交和线性相关， Cauchy-Schwarz 在这个退化情形仍然取等。

常见错误

不要丢掉符号条件或非零假设

绝对值等式 $|\langle u,v\rangle|=\|u\|\,\|v\|$ 同时容许正标量倍与负标 量倍。三角不等式的证明还需要 $\langle u,v\rangle=|\langle u,v\rangle|$；若漏掉这一步，就会错误地 把反向向量也列入取等情形。另一方面，夹角公式要除以两个范数，所以只 能在两个向量都非零时使用。某个向量为零时，不等式本身仍然成立，却不 能为了方便而给这个未定义的夹角随意赋值。

快速检查

思考检查

Cauchy-Schwarz 对 $|\langle v,w\rangle|$ 给出什么估计？

直接写出不等式。

解答 · 答案

$$|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.$$

思考检查

若 $u$ 与 $v$ 完全同方向，三角不等式可以取等吗？

假设其中一个是另一个的非负标量倍。

解答 · 答案

可以。这正正就是三角不等式的取等情形。

思考检查

若 $v\perp w$，Cauchy-Schwarz 会化成什么？

代入 $\langle v,w\rangle=0$。

解答 · 答案

它会化成 $0\le\|v\|\,\|w\|$，自然成立。

练习

思考检查

用 Cauchy-Schwarz 证明 $|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|$。

把两边数值都算出来。

解答 · 引导解答

左边是

$$|1\cdot3+2\cdot4|=11.$$

右边是

$$\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt5\cdot5=5\sqrt5\approx11.18.$$

因此 $11\le5\sqrt5$。

思考检查

对 $u=(1,0)$ 与 $v=(0,1)$，求 $\|u+v\|$，并与 $\|u\|+\|v\|$ 比较。

这是直角情形。

解答 · 引导解答

$$u+v=(1,1), \qquad \|u+v\|=\sqrt2.$$

而

$$\|u\|+\|v\|=1+1=2.$$

所以 $\sqrt2\le2$，而且是不等号严格成立，因为两向量不是非负标量倍。

思考检查

若 $\|u\|=7$、$\|v\|=3$，利用反向三角不等式求 $\|u-v\|$ 的下界。

直接代公式。

解答 · 引导解答

$$\|u-v\|\ge|\|u\|-\|v\||=|7-3|=4.$$

同时记住估计与等号条件

Cauchy-Schwarz 是最基本的内积估计： $|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|$。在实内积空间中，它既限制一个 向量沿另一个向量的分量，也保证两个非零向量的夹角 $\theta=\arccos(\langle v,w\rangle/(\|v\|\,\|w\|))$ 落在 $[0,\pi]$。其取等条件是线性相关，包括所有零向量情形以及正、负两种比 例。

用它控制 $\|u+v\|^2$ 中的交叉项，就得到三角不等式。这里的等号条件 更严格：其中一个向量必须是另一个的非负标量倍。再把三角不等式用于向 量之差，便得到反向三角不等式与稳定性估计 $|\|u\|-\|v\||\le\|u-v\|$。整个证明链条依次是内积的正定性、 Cauchy-Schwarz、三角不等式与反向三角不等式；各等号条件所区分的，正 是“一条直线”和“一条射线”。

相关笔记

请先读 9.1 内积、范数与夹角， 因为本节所有不等式都直接建基于那里的定义。

而 9.2 正交集与标准正交基 与 9.3 Gram-Schmidt 正交化 中的坐标公式与投影几何由内积的代数性质和正交性建立；本节的不等式进一步给出这些系数和余量长度的界。