有限实矩阵乘法法则的证明
设 m , n , p , q m,n,p,q m , n , p , q A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n B ∈ R n × p B\in\mathbb R^{n\times p} B ∈ R n × p C ∈ R p × q C\in\mathbb R^{p\times q} C ∈ R p × q ( i , ℓ ) (i,\ell) ( i , ℓ )
( ( A B ) C ) i ℓ = ∑ k = 1 p ( ∑ j = 1 n a i j b j k ) c k ℓ = ∑ j = 1 n a i j ( ∑ k = 1 p b j k c k ℓ ) = ( A ( B C ) ) i ℓ . \begin{aligned}
((AB)C)_{i\ell}
&=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}\\
&=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{k\ell}\right)
=(A(BC))_{i\ell}.
\end{aligned} (( A B ) C ) i ℓ = k = 1 ∑ p ( j = 1 ∑ n a ij b jk ) c k ℓ = j = 1 ∑ n a ij ( k = 1 ∑ p b jk c k ℓ ) = ( A ( BC ) ) i ℓ . 中间等号只交换两个有限和的求和次序，并使用实数分配律。两边同为 m × q m\times q m × q
对 D ∈ R n × p D\in\mathbb R^{n\times p} D ∈ R n × p
[ A ( B + D ) ] i k = ∑ j = 1 n a i j ( b j k + d j k ) = ( A B ) i k + ( A D ) i k . [A(B+D)]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+d_{jk})
=(AB)_{ik}+(AD)_{ik}. [ A ( B + D ) ] ik = j = 1 ∑ n a ij ( b jk + d jk ) = ( A B ) ik + ( A D ) ik . 对 E ∈ R m × n E\in\mathbb R^{m\times n} E ∈ R m × n
[ ( A + E ) B ] i k = ∑ j = 1 n ( a i j + e i j ) b j k = ( A B ) i k + ( E B ) i k . [(A+E)B]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+e_{ij})b_{jk}
=(AB)_{ik}+(EB)_{ik}. [( A + E ) B ] ik = j = 1 ∑ n ( a ij + e ij ) b jk = ( A B ) ik + ( EB ) ik . 所以在所写的相容大小下，两条分配律均成立。对任意实标量 c c c
[ ( c A ) B ] i k = ∑ j ( c a i j ) b j k = c ∑ j a i j b j k = ∑ j a i j ( c b j k ) = [ A ( c B ) ] i k , [(cA)B]_{ik}=\sum_j(ca_{ij})b_{jk}
=c\sum_j a_{ij}b_{jk}
=\sum_j a_{ij}(cb_{jk})=[A(cB)]_{ik}, [( c A ) B ] ik = j ∑ ( c a ij ) b jk = c j ∑ a ij b jk = j ∑ a ij ( c b jk ) = [ A ( c B ) ] ik , 逐项相等便证明 ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) (cA)B=c(AB)=A(cB) ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) x , y ∈ R n x,y\in\mathbb R^n x , y ∈ R n s , t s,t s , t
[ A ( s x + t y ) ] i = ∑ j a i j ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . [A(sx+ty)]_i=\sum_j a_{ij}(sx_j+ty_j)
=s(Ax)_i+t(Ay)_i. [ A ( s x + t y ) ] i = j ∑ a ij ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . 这证明了比较同一线性系统的解时所用的矩阵乘向量线性性质。所有恒等式都只针对大小相容的有限实矩阵，不声称任意矩阵因子可交换或可消去。
域上的多项式除法与根因式恒等式
设 F F F F [ t ] F[t] F [ t ] f , g f,g f , g deg ( f g ) = deg f + deg g \deg(fg)=\deg f+\deg g deg ( f g ) = deg f + deg g
对任意 f f f g g g q , r q,r q , r f = q g + r f=qg+r f = q g + r r = 0 r=0 r = 0 deg r < deg g \deg r<\deg g deg r < deg g f f f d ≥ e = deg g d\ge e=\deg g d ≥ e = deg g ( a / b ) t d − e g (a/b)t^{d-e}g ( a / b ) t d − e g ( a / b ) t d − e (a/b)t^{d-e} ( a / b ) t d − e a , b a,b a , b g g g g ( q − q ′ ) = r ′ − r g(q-q')=r'-r g ( q − q ′ ) = r ′ − r e e e e e e
对 λ ∈ F \lambda\in F λ ∈ F
t k − λ k = ( t − λ ) ∑ j = 0 k − 1 t k − 1 − j λ j ( k ≥ 1 ) t^k-\lambda^k=(t-\lambda)\sum_{j=0}^{k-1}t^{k-1-j}\lambda^j\quad(k\ge1) t k − λ k = ( t − λ ) j = 0 ∑ k − 1 t k − 1 − j λ j ( k ≥ 1 ) 给出 f ( t ) − f ( λ ) = ( t − λ ) h ( t ) f(t)-f(\lambda)=(t-\lambda)h(t) f ( t ) − f ( λ ) = ( t − λ ) h ( t ) f ( λ ) = 0 f(\lambda)=0 f ( λ ) = 0 t − λ t-\lambda t − λ f f f F F F
交换环上的 Leibniz 行列式与交错性
设 R R R n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 A ∈ M n ( R ) A\in M_n(R) A ∈ M n ( R )
det A = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) , det [ ] = 1 ( n = 0 ) . \det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},\qquad \det[\ ]=1\quad(n=0). det A = σ ∈ S n ∑ sgn ( σ ) i = 1 ∏ n a i , σ ( i ) , det [ ] = 1 ( n = 0 ) . 符号为 ( − 1 ) inv ( σ ) (-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)} ( − 1 ) inv ( σ ) R R R τ \tau τ σ \sigma σ sgn ( σ τ ) = sgn ( σ ) sgn ( τ ) \operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau) sgn ( σ τ ) = sgn ( σ ) sgn ( τ ) − 1 -1 − 1 R R R
有限公式对每行及每列多重线性。若两行相同，把每个排列项与交换这两行所选列后的项配对。两项不同，乘积相同而符号相反，故任何特征下两项之和均为零。因此重复行使行列式为零；重复列同理。这是成对抵消，不是从 2 det A = 0 2\det A=0 2 det A = 0 det I = 1 \det I=1 det I = 1 σ − 1 \sigma^{-1} σ − 1 σ \sigma σ det A T = det A \det A^{\mathsf T}=\det A det A T = det A
所需唯一性原理即使有零因子也成立。若 D D D R n R^n R n n n n D D D D ( … , u + v , … , u + v , … ) = 0 D(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots)=0 D ( … , u + v , … , u + v , … ) = 0 D ( … , u , … , v , … ) + D ( … , v , … , u , … ) = 0 D(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)+D(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)=0 D ( … , u , … , v , … ) + D ( … , v , … , u , … ) = 0 D ( e 1 , … , e n ) D(e_1,\ldots,e_n) D ( e 1 , … , e n )
乘法性、三角分块与伴随矩阵
固定 A A A D ( v 1 , … , v n ) = det ( A v 1 , … , A v n ) D(v_1,\ldots,v_n)=\det(Av_1,\ldots,Av_n) D ( v 1 , … , v n ) = det ( A v 1 , … , A v n ) D ( e 1 , … , e n ) = det A D(e_1,\ldots,e_n)=\det A D ( e 1 , … , e n ) = det A B B B
det ( A B ) = det A det B . \det(AB)=\det A\det B. det ( A B ) = det A det B . 对方块大小为 p , q p,q p , q ( B C 0 D ) \begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix} ( B 0 C D ) q q q q q q p p p p p p det B det D \det B\det D det B det D
记 A i j ^ A_{ij}^{\widehat{\ } } A ij i i i j j j C i j = ( − 1 ) i + j det A i j ^ C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}^{\widehat{\ } } C ij = ( − 1 ) i + j det A ij σ ( i ) = j \sigma(i)=j σ ( i ) = j det A = ∑ j a i j C i j \det A=\sum_j a_{ij}C_{ij} det A = ∑ j a ij C ij i i i j j j i + j − 2 i+j-2 i + j − 2 adj ( A ) j i = C i j \operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij} adj ( A ) ji = C ij A adj ( A ) A\operatorname{adj}(A) A adj ( A ) ( i , j ) (i,j) ( i , j ) ∑ k a i k C j k \sum_k a_{ik}C_{jk} ∑ k a ik C jk j j j i i i i = j i=j i = j det A \det A det A
A adj ( A ) = adj ( A ) A = ( det A ) I . A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I. A adj ( A ) = adj ( A ) A = ( det A ) I . 当 n = 1 n=1 n = 1 [ 1 ] [1] [ 1 ] n = 0 n=0 n = 0 R = F [ t ] R=F[t] R = F [ t ]
向量空间是在域 F F F d d d P d ( F ) P_d(F) P d ( F ) P d ( F ) P_d(F) P d ( F )
子空间 包含零，且对加法和数乘封闭。若每个向量都是某列表中向量的线性组合，该列表张成空间；若只有零系数组合能得到零，它线性无关。基 同时满足两者。有限生成列表可通过删除相关项缩减成基；线性无关列表可通过添加其张成空间外的向量扩充成基，直到张成给定的有限生成列表。
交换引理。 若 r r r s s s r ≤ s r\le s r ≤ s r r r dim V \dim V dim V
因此在 n n n n n n n n n
映射 T : V → W T:V\to W T : V → W T ( α v + β u ) = α T v + β T u T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu T ( αv + β u ) = α T v + βT u ker T \ker T ker T k 1 , … , k r k_1,\ldots,k_r k 1 , … , k r v 1 , … , v s v_1,\ldots,v_s v 1 , … , v s T v 1 , … , T v s Tv_1,\ldots,Tv_s T v 1 , … , T v s im T \operatorname{im}T im T
dim V = dim ker T + dim im T . \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. dim V = dim ker T + dim im T . 这就是秩–零度定理 。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。
域上的桥梁：奇异性与特征多项式
现在令 R = F R=F R = F det A ≠ 0 \det A\ne0 det A = 0 adj ( A ) / det A \operatorname{adj}(A)/\det A adj ( A ) / det A A A A det A det A − 1 = 1 \det A\det A^{-1}=1 det A det A − 1 = 1 det A ≠ 0 \det A\ne0 det A = 0 det A = 0 \det A=0 det A = 0
对固定 A ∈ M n ( F ) A\in M_n(F) A ∈ M n ( F ) t I − A ∈ M n ( F [ t ] ) tI-A\in M_n(F[t]) t I − A ∈ M n ( F [ t ]) n n n t n t^n t n n n n P P P A ↦ P − 1 A P A\mapsto P^{-1}AP A ↦ P − 1 A P n − 1 n-1 n − 1
行列式会告诉你一个方阵是否可逆。特征值问的是另一个问题：哪些非零向量
在矩阵作用之下仍然保持它所张成的直线 ？若
A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v span { v } \operatorname{span}\{v\} span { v } λ > 0 \lambda>0 λ > 0 λ < 0 \lambda<0 λ < 0 λ = 0 \lambda=0 λ = 0
一般矩阵不必保持每一条直线。标量矩阵会把每一条直线映入自身，包括零
标量的情形：0 I 0I 0 I λ \lambda λ
寻找矩阵作用最简单的方向
当你解 A x = b Ax=b A x = b v v v
A v = λ v . Av=\lambda v. A v = λ v . 一旦找出这些向量，之后便能更容易处理矩阵的幂、理解对角化，并描述哪
些方向在变换下是不变的。实际计算时，我们会把它改写成齐次系统，再使用
零空间、秩和行列式的工具。
先看 A = diag ( 2 , 3 ) A=\operatorname{diag}(2,3) A = diag ( 2 , 3 ) e 1 e_1 e 1 2 e 1 2e_1 2 e 1 e 2 e_2 e 2 3 e 2 3e_2 3 e 2 ( 1 , 1 ) T (1,1)^T ( 1 , 1 ) T ( 2 , 3 ) T (2,3)^T ( 2 , 3 ) T
定义
特征值与特征向量 设 A A A n × n n\times n n × n n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 λ ∈ R \lambda\in\mathbb R λ ∈ R v ∈ R n v\in\mathbb R^n v ∈ R n
若
A v = λ v , Av=\lambda v, A v = λ v , 便称 v v v A A A 特征值 λ \lambda λ 特征向量 。
这里必须要求 v v v A 0 = λ 0 A0=\lambda0 A 0 = λ 0
重点在于，矩阵作用与标量乘法在这个向量上完全一致。向量的直线被保留，
但长度、方向，甚至向量本身是否被压到零，都由 λ \lambda λ
从不变直线到齐次方程组
方程 A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v ( A − λ I ) v = 0 (A-\lambda I)v=0 ( A − λ I ) v = 0 λ \lambda λ
由定义立刻得到的结论
定理
同一个特征向量只会对应一个特征值 设 A A A v v v
A v = λ v 且 A v = μ v , Av=\lambda v
\qquad\text{且}\qquad
Av=\mu v, A v = λ v 且 A v = μv , 则 λ = μ \lambda=\mu λ = μ
把两式相减得到
( λ − μ ) v = 0. (\lambda-\mu)v=0. ( λ − μ ) v = 0. 选择一个非零坐标 v r ≠ 0 v_r\ne0 v r = 0 r r r ( λ − μ ) v r = 0 (\lambda-\mu)v_r=0 ( λ − μ ) v r = 0 v r v_r v r λ − μ = 0 \lambda-\mu=0 λ − μ = 0 λ = μ \lambda=\mu λ = μ
定理
特征向量的非零倍数仍是特征向量 若 v v v A A A λ \lambda λ c v cv c v A A A λ \lambda λ
事实上，若 c ≠ 0 c\ne0 c = 0
A ( c v ) = c ( A v ) = c ( λ v ) = λ ( c v ) A(cv)=c(Av)=c(\lambda v)=\lambda(cv) A ( c v ) = c ( A v ) = c ( λ v ) = λ ( c v ) 而 c v ≠ 0 cv\ne0 c v = 0
定理
同一特征值下的线性组合 设 u 1 , … , u k u_1,\dots,u_k u 1 , … , u k A A A λ \lambda λ
α 1 u 1 + ⋯ + α k u k \alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k α 1 u 1 + ⋯ + α k u k 仍然是 A A A λ \lambda λ
令 w = α 1 u 1 + ⋯ + α k u k w=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k w = α 1 u 1 + ⋯ + α k u k
A w = ∑ j = 1 k α j A u j = ∑ j = 1 k α j λ u j = λ w Aw=\sum_{j=1}^k\alpha_jAu_j
=\sum_{j=1}^k\alpha_j\lambda u_j
=\lambda w A w = j = 1 ∑ k α j A u j = j = 1 ∑ k α j λ u j = λ w 若 w ≠ 0 w\ne0 w = 0 w = 0 w=0 w = 0
定义
特征空间 设 A A A n × n n\times n n × n λ \lambda λ A A A λ \lambda λ 特征空间 定义为
E A ( λ ) = N ( A − λ I n ) . E_A(\lambda)=N(A-\lambda I_n). E A ( λ ) = N ( A − λ I n ) . 当 λ \lambda λ λ \lambda λ E A ( λ ) = { 0 } E_A(\lambda)=\{0\} E A ( λ ) = { 0 }
第一批例子
例题
一个 2×2 矩阵有两个不同特征值 令
A = [ 13 30 − 6 − 14 ] . A=
\begin{bmatrix}
13&30\\
-6&-14
\end{bmatrix}. A = [ 13 − 6 30 − 14 ] . 先看向量
u 1 = [ 5 − 2 ] . u_1=
\begin{bmatrix}
5\\
-2
\end{bmatrix}. u 1 = [ 5 − 2 ] . 计算得
A u 1 = [ 13 30 − 6 − 14 ] [ 5 − 2 ] = [ 5 − 2 ] = 1 ⋅ u 1 . Au_1=
\begin{bmatrix}
13&30\\
-6&-14
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5\\
-2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5\\
-2
\end{bmatrix}
=1\cdot u_1. A u 1 = [ 13 − 6 30 − 14 ] [ 5 − 2 ] = [ 5 − 2 ] = 1 ⋅ u 1 . 所以 u 1 u_1 u 1 1 1 1
再看
u 2 = [ 2 − 1 ] . u_2=
\begin{bmatrix}
2\\
-1
\end{bmatrix}. u 2 = [ 2 − 1 ] . 则
A u 2 = [ − 4 2 ] = − 2 [ 2 − 1 ] = − 2 u 2 . Au_2=
\begin{bmatrix}
-4\\
2
\end{bmatrix}
=-2
\begin{bmatrix}
2\\
-1
\end{bmatrix}
=-2u_2. A u 2 = [ − 4 2 ] = − 2 [ 2 − 1 ] = − 2 u 2 . 所以 u 2 u_2 u 2 − 2 -2 − 2
因此不能把同一特征值的线性组合定理用于 u 1 + u 2 u_1+u_2 u 1 + u 2
u 1 + u 2 = [ 7 − 3 ] , A ( u 1 + u 2 ) = [ 1 0 ] . u_1+u_2=\begin{bmatrix}7\\-3\end{bmatrix},\qquad
A(u_1+u_2)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}. u 1 + u 2 = [ 7 − 3 ] , A ( u 1 + u 2 ) = [ 1 0 ] . 如果这个和是特征向量，第二个坐标会迫使 λ = 0 \lambda=0 λ = 0 1 = 0 ⋅ 7 1=0\cdot7 1 = 0 ⋅ 7
例题
同一个特征值可以对应多个方向 令
B = [ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] . B=
\begin{bmatrix}
2&1&1\\
1&2&1\\
1&1&2
\end{bmatrix}. B = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . 对 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T x=(x_1,x_2,x_3)^T x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T s = x 1 + x 2 + x 3 s=x_1+x_2+x_3 s = x 1 + x 2 + x 3
B x = ( s + x 1 , s + x 2 , s + x 3 ) T . Bx=(s+x_1,\ s+x_2,\ s+x_3)^T. B x = ( s + x 1 , s + x 2 , s + x 3 ) T . 向量
u 1 = [ 1 1 1 ] u_1=
\begin{bmatrix}
1\\1\\1
\end{bmatrix} u 1 = 1 1 1 满足 B u 1 = 4 u 1 Bu_1=4u_1 B u 1 = 4 u 1 4 4 4
再看
u 2 = [ 1 − 1 0 ] , u 3 = [ 1 0 − 1 ] . u_2=
\begin{bmatrix}
1\\-1\\0
\end{bmatrix},
\qquad
u_3=
\begin{bmatrix}
1\\0\\-1
\end{bmatrix}. u 2 = 1 − 1 0 , u 3 = 1 0 − 1 . 二者都满足
B u 2 = u 2 , B u 3 = u 3 . Bu_2=u_2,
\qquad
Bu_3=u_3. B u 2 = u 2 , B u 3 = u 3 . 对 λ = 1 \lambda=1 λ = 1 s = 0 s=0 s = 0
E B ( 1 ) = { x ∈ R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0 } = span { [ 1 − 1 0 ] , [ 1 0 − 1 ] } . E_B(1)=\{x\in\mathbb R^3:x_1+x_2+x_3=0\}
=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\right\}. E B ( 1 ) = { x ∈ R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0 } = span ⎩ ⎨ ⎧ 1 − 1 0 , 1 0 − 1 ⎭ ⎬ ⎫ . 这两个向量线性无关：若
a ( 1 , − 1 , 0 ) T + b ( 1 , 0 , − 1 ) T = 0 a(1,-1,0)^T+b(1,0,-1)^T=0 a ( 1 , − 1 , 0 ) T + b ( 1 , 0 , − 1 ) T = 0 a = 0 a=0 a = 0 b = 0 b=0 b = 0
对 λ = 4 \lambda=4 λ = 4 B x = 4 x Bx=4x B x = 4 x s = 3 x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 s=3x_1=3x_2=3x_3 s = 3 x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 x 1 = x 2 = x 3 x_1=x_2=x_3 x 1 = x 2 = x 3
E B ( 4 ) = span { [ 1 1 1 ] } . E_B(4)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\right\}. E B ( 4 ) = span ⎩ ⎨ ⎧ 1 1 1 ⎭ ⎬ ⎫ . 同一个非零向量不能对应两个不同特征值，但同一个特征值可以有一个平面
的特征向量。平面中的零向量属于特征空间，其非零点才是特征向量。
特征值其实是一个零空间问题
把方程 A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v
A v − λ v = 0. Av-\lambda v=0. A v − λ v = 0. 由于 λ v = λ I n v \lambda v=\lambda I_nv λ v = λ I n v
( A − λ I n ) v = 0. (A-\lambda I_n)v=0. ( A − λ I n ) v = 0. 定理
用齐次系统描述特征值 设 A A A n × n n\times n n × n λ \lambda λ v ≠ 0 v\neq0 v = 0
下列两件事等价：
v v v A A A λ \lambda λ v v v ( A − λ I n ) x = 0 (A-\lambda I_n)x=0 ( A − λ I n ) x = 0 的一个非平凡解。
正向是把 A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v v v v A − λ I n A-\lambda I_n A − λ I n
因为它本身是一个零空间，所以 E A ( λ ) E_A(\lambda) E A ( λ ) x , y ∈ E A ( λ ) x,y\in E_A(\lambda) x , y ∈ E A ( λ ) a , b a,b a , b
( A − λ I n ) ( a x + b y ) = a ( A − λ I n ) x + b ( A − λ I n ) y = 0 (A-\lambda I_n)(ax+by)=a(A-\lambda I_n)x+b(A-\lambda I_n)y=0 ( A − λ I n ) ( a x + b y ) = a ( A − λ I n ) x + b ( A − λ I n ) y = 0 所以它对线性组合封闭。特征空间的维数大于零，当且仅当 λ \lambda λ
dim E A ( λ ) \dim E_A(\lambda) dim E A ( λ ) λ \lambda λ 几何重数 ，表示这个特征值有多
少个线性无关的特征向量方向。在上面的矩阵 B B B 1 1 1 2 2 2 4 4 4 1 1 1
概念视角 结构
固定特征值的空间不是所有特征向量的总集合 固定一个特征值 λ \lambda λ ( A − λ I n ) x = 0 (A-\lambda I_n)x=0 ( A − λ I n ) x = 0 u 1 + u 2 u_1+u_2 u 1 + u 2 λ \lambda λ
特征值的等价刻画
一旦有了零空间版本，前面学过的可逆性词典便可以直接搬过来。
定理
判断 λ 是否为特征值的等价条件 设 A A A n × n n\times n n × n λ \lambda λ
λ \lambda λ A A A ( A − λ I n ) x = 0 (A-\lambda I_n)x=0 ( A − λ I n ) x = 0 N ( A − λ I n ) ≠ { 0 } N(A-\lambda I_n)\neq\{0\} N ( A − λ I n ) = { 0 } A − λ I n A-\lambda I_n A − λ I n det ( A − λ I n ) = 0 \det(A-\lambda I_n)=0 det ( A − λ I n ) = 0 这五个条件来自齐次系统和可逆性词典。非平凡解正是非零零空间向量，所
以 (1)、(2)、(3) 等价；方阵有非零零空间，当且仅当它不可逆，于是
(3) 与 (4) 等价；行列式判准再给出 (4) 与 (5) 等价。特别地，特征值
会迫使 rank ( A − λ I n ) ≤ n − 1 \operatorname{rank}(A-\lambda I_n)\le n-1 rank ( A − λ I n ) ≤ n − 1
从方程读出特征空间
找到候选 λ \lambda λ A − λ I n A-\lambda I_n A − λ I n E A ( λ ) E_A(\lambda) E A ( λ )
例题
用行化简找特征值与特征空间 令
C = [ 3 2 3 − 2 ] . C=
\begin{bmatrix}
3&2\\
3&-2
\end{bmatrix}. C = [ 3 3 2 − 2 ] . 先解
det ( C − λ I ) = 0. \det(C-\lambda I)=0. det ( C − λ I ) = 0. 得到
det [ 3 − λ 2 3 − 2 − λ ] = ( 3 − λ ) ( − 2 − λ ) − 6 = λ 2 − λ − 12. \det
\begin{bmatrix}
3-\lambda&2\\
3&-2-\lambda
\end{bmatrix}
=(3-\lambda)(-2-\lambda)-6
=\lambda^2-\lambda-12. det [ 3 − λ 3 2 − 2 − λ ] = ( 3 − λ ) ( − 2 − λ ) − 6 = λ 2 − λ − 12. 因此特征值为
λ = 4 , λ = − 3. \lambda=4,\qquad \lambda=-3. λ = 4 , λ = − 3. 对 λ = 4 \lambda=4 λ = 4
C − 4 I = [ − 1 2 3 − 6 ] ∼ [ 1 − 2 0 0 ] . C-4I=
\begin{bmatrix}
-1&2\\
3&-6
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&-2\\
0&0
\end{bmatrix}. C − 4 I = [ − 1 3 2 − 6 ] ∼ [ 1 0 − 2 0 ] . 所以 x 1 = 2 x 2 x_1=2x_2 x 1 = 2 x 2
[ 2 1 ] . \begin{bmatrix}
2\\1
\end{bmatrix}. [ 2 1 ] . 对 λ = − 3 \lambda=-3 λ = − 3
C + 3 I = [ 6 2 3 1 ] ∼ [ 3 1 0 0 ] . C+3I=
\begin{bmatrix}
6&2\\
3&1
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
3&1\\
0&0
\end{bmatrix}. C + 3 I = [ 6 3 2 1 ] ∼ [ 3 0 1 0 ] . 所以 3 x 1 + x 2 = 0 3x_1+x_2=0 3 x 1 + x 2 = 0
[ 1 − 3 ] . \begin{bmatrix}
1\\-3
\end{bmatrix}. [ 1 − 3 ] . 因此
E C ( 4 ) = span { [ 2 1 ] } , E C ( − 3 ) = span { [ 1 − 3 ] } . E_C(4)=\operatorname{span}\left\{
\begin{bmatrix}
2\\1
\end{bmatrix}
\right\},
\qquad
E_C(-3)=\operatorname{span}\left\{
\begin{bmatrix}
1\\-3
\end{bmatrix}
\right\}. E C ( 4 ) = span { [ 2 1 ] } , E C ( − 3 ) = span { [ 1 − 3 ] } . 行列式计算负责找出两个标量；之后的两次行化简分别解决两个齐次系
统。最后代回可核对 C ( 2 , 1 ) T = 4 ( 2 , 1 ) T C(2,1)^T=4(2,1)^T C ( 2 , 1 ) T = 4 ( 2 , 1 ) T C ( 1 , − 3 ) T = − 3 ( 1 , − 3 ) T C(1,-3)^T=-3(1,-3)^T C ( 1 , − 3 ) T = − 3 ( 1 , − 3 ) T
对角矩阵与三角矩阵
若 D = diag ( d 1 , … , d n ) D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n) D = diag ( d 1 , … , d n )
( D − λ I n ) x = 0 ⟺ ( d j − λ ) x j = 0 对每个 j . (D-\lambda I_n)x=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
(d_j-\lambda)x_j=0\quad\text{对每个 }j. ( D − λ I n ) x = 0 ⟺ ( d j − λ ) x j = 0 对每个 j . 因此
E D ( λ ) = span { e j : d j = λ } , E_D(\lambda)=\operatorname{span}\{e_j:d_j=\lambda\}, E D ( λ ) = span { e j : d j = λ } , 若没有对角项等于 λ \lambda λ { 0 } \{0\} { 0 } 0 0 0 1 1 1
若 T T T T − λ I n T-\lambda I_n T − λ I n
det ( T − λ I n ) = ∏ j = 1 n ( t j j − λ ) . \det(T-\lambda I_n)=\prod_{j=1}^n(t_{jj}-\lambda). det ( T − λ I n ) = j = 1 ∏ n ( t jj − λ ) . 所以特征值正好是对角项（按代数重数计算）。但对角项不能单独决定特征
向量。考虑上三角矩阵
T = [ 1 4 0 2 ] . T=\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}. T = [ 1 0 4 2 ] . 有 T e 1 = e 1 Te_1=e_1 T e 1 = e 1 E T ( 1 ) = span { e 1 } E_T(1)=\operatorname{span}\{e_1\} E T ( 1 ) = span { e 1 } λ = 2 \lambda=2 λ = 2 ( T − 2 I ) x = 0 (T-2I)x=0 ( T − 2 I ) x = 0 − x 1 + 4 x 2 = 0 -x_1+4x_2=0 − x 1 + 4 x 2 = 0
E T ( 2 ) = span { [ 4 1 ] } . E_T(2)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}\right\}. E T ( 2 ) = span { [ 4 1 ] } . 改变右上角的 4 4 4
重要性质
定理
0 是否为特征值，正好等同于可逆与否 对方阵 A A A
0 0 0 A A A A A A 等价地，A A A 0 0 0
这其实只是把前面的等价条件代入 λ = 0 \lambda=0 λ = 0
具体来说，若 0 0 0 v v v A v = 0 Av=0 A v = 0 A A A A A A A A A N ( A ) N(A) N ( A ) A v = 0 ⋅ v Av=0\cdot v A v = 0 ⋅ v 0 0 0
定理
简单矩阵运算下的特征值变化 若 λ \lambda λ A A A
k λ k\lambda kλ k A kA k A 对每个正整数 m m m λ m \lambda^m λ m A m A^m A m
λ \lambda λ A T A^T A T 若 A A A λ − 1 \lambda^{-1} λ − 1 A − 1 A^{-1} A − 1
若 A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v
( k A ) v = k λ v , (kA)v=k\lambda v, ( k A ) v = kλ v , 这证明了 (1)，也包括 k = 0 k=0 k = 0 0 0 0 m m m A m v = λ m v A^mv=\lambda^mv A m v = λ m v A A A A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v m = 0 m=0 m = 0 A 0 = I A^0=I A 0 = I 1 1 1 0 0 0^0 0 0
对于 (4)，若 A A A λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ = 0 A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v A − 1 A^{-1} A − 1 v = λ A − 1 v v=\lambda A^{-1}v v = λ A − 1 v λ \lambda λ A − 1 v = λ − 1 v A^{-1}v=\lambda^{-1}v A − 1 v = λ − 1 v
det ( A T − λ I n ) = det ( ( A − λ I n ) T ) = det ( A − λ I n ) = 0. \det(A^T-\lambda I_n)=\det((A-\lambda I_n)^T)
=\det(A-\lambda I_n)=0. det ( A T − λ I n ) = det (( A − λ I n ) T ) = det ( A − λ I n ) = 0. 这通过特征值判准证明了转置结论；不能把 A v = λ v Av=\lambda v A v = λ v A T v = λ v A^Tv=\lambda v A T v = λ v T = [ 1 4 0 2 ] T=\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix} T = [ 1 0 4 2 ] T e 1 = e 1 Te_1=e_1 T e 1 = e 1
T T e 1 = [ 1 0 4 2 ] [ 1 0 ] = [ 1 4 ] ≠ e 1 . T^Te_1=\begin{bmatrix}1&0\\4&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}\ne e_1. T T e 1 = [ 1 4 0 2 ] [ 1 0 ] = [ 1 4 ] = e 1 . 可选复数扩展：数域很重要
上面的基本定义是在 R \mathbb R R
R = [ 1 − 1 1 1 ] R=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix} R = [ 1 1 − 1 1 ] 若 λ \lambda λ
det ( R − λ I 2 ) = ( 1 − λ ) 2 + 1 = ( λ − 1 ) 2 + 1 > 0. \det(R-\lambda I_2)=(1-\lambda)^2+1=(\lambda-1)^2+1>0. det ( R − λ I 2 ) = ( 1 − λ ) 2 + 1 = ( λ − 1 ) 2 + 1 > 0. 因此 R R R C \mathbb C C 1 + i 1+i 1 + i 1 − i 1-i 1 − i
u + = [ i 1 ] , u − = [ − i 1 ] , u_+=\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix},\qquad
u_-=\begin{bmatrix}-i\\1\end{bmatrix}, u + = [ i 1 ] , u − = [ − i 1 ] , 直接计算可得
R u + = [ i − 1 i + 1 ] = ( 1 + i ) u + , R u − = [ − 1 − i 1 − i ] = ( 1 − i ) u − . Ru_+=\begin{bmatrix}i-1\\i+1\end{bmatrix}=(1+i)u_+,
\qquad
Ru_- =\begin{bmatrix}-1-i\\1-i\end{bmatrix}=(1-i)u_-. R u + = [ i − 1 i + 1 ] = ( 1 + i ) u + , R u − = [ − 1 − i 1 − i ] = ( 1 − i ) u − . 解 ( R − ( 1 + i ) I ) x = 0 (R-(1+i)I)x=0 ( R − ( 1 + i ) I ) x = 0 x = i y x=iy x = i y 1 − i 1-i 1 − i x = − i y x=-iy x = − i y C \mathbb C C span C { u + } \operatorname{span}_{\mathbb C}\{u_+\} span C { u + } span C { u − } \operatorname{span}_{\mathbb C}\{u_-\} span C { u − }
常见错误
常见错误
零向量永远不是特征向量 学生常会留意到 A 0 = λ 0 A0=\lambda0 A 0 = λ 0
快速检查
思考检查
若 v v v A A A λ \lambda λ 3 v 3v 3 v 解答 · 答案 是。因为 A ( 3 v ) = 3 A v = 3 λ v = λ ( 3 v ) A(3v)=3Av=3\lambda v=\lambda(3v) A ( 3 v ) = 3 A v = 3 λ v = λ ( 3 v ) 3 v 3v 3 v λ \lambda λ
思考检查
为什么 0 0 0 A A A 利用系统 ( A − 0 I ) x = 0 (A-0I)x=0 ( A − 0 I ) x = 0
解答 · 答案 若 0 0 0 A x = 0 Ax=0 A x = 0 A A A A A A
思考检查
用零空间语言写出 E A ( λ ) E_A(\lambda) E A ( λ ) 解答 · 答案 E A ( λ ) = N ( A − λ I n ) . E_A(\lambda)=N(A-\lambda I_n). E A ( λ ) = N ( A − λ I n ) . 它就是 A − λ I n A-\lambda I_n A − λ I n
练习
思考检查
证明 [ 1 1 ] \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} [ 1 1 ] [ 2 1 1 2 ] \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} [ 2 1 1 2 ] 解答 · 引导解答 [ 2 1 1 2 ] [ 1 1 ] = [ 3 3 ] = 3 [ 1 1 ] . \begin{bmatrix}
2&1\\
1&2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3\\3
\end{bmatrix}
=3
\begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}. [ 2 1 1 2 ] [ 1 1 ] = [ 3 3 ] = 3 [ 1 1 ] . 所以这个向量是特征向量，而对应特征值是 3 3 3
思考检查
求 A = [ 1 0 0 4 ] A=\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix} A = [ 1 0 0 4 ] 4 4 4 解 ( A − 4 I ) x = 0 (A-4I)x=0 ( A − 4 I ) x = 0
解答 · 引导解答 A − 4 I = [ − 3 0 0 0 ] . A-4I=
\begin{bmatrix}
-3&0\\
0&0
\end{bmatrix}. A − 4 I = [ − 3 0 0 0 ] . 因此 x 1 = 0 x_1=0 x 1 = 0 x 2 x_2 x 2
E A ( 4 ) = span { [ 0 1 ] } . E_A(4)=\operatorname{span}\left\{
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}
\right\}. E A ( 4 ) = span { [ 0 1 ] } . 思考检查
若 A A A 0 0 0 A T A^T A T 解答 · 引导解答 不会。若 0 0 0 A T A^T A T A T A^T A T A A A A T A^T A T
相关笔记
请把
7.2 行变换、乘积与可逆性
放在旁边，因为测试 det ( A − λ I ) = 0 \det(A-\lambda I)=0 det ( A − λ I ) = 0
接着可读
8.2 对角化与相似 ，
看看一整组特征向量如何改变矩阵的整体形状。
本节的子空间观点也依赖
6.5 基底与维数 。
