有限实矩阵乘法法则的证明
设 m , n , p , q m,n,p,q m , n , p , q A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n B ∈ R n × p B\in\mathbb R^{n\times p} B ∈ R n × p C ∈ R p × q C\in\mathbb R^{p\times q} C ∈ R p × q ( i , ℓ ) (i,\ell) ( i , ℓ )
( ( A B ) C ) i ℓ = ∑ k = 1 p ( ∑ j = 1 n a i j b j k ) c k ℓ = ∑ j = 1 n a i j ( ∑ k = 1 p b j k c k ℓ ) = ( A ( B C ) ) i ℓ . \begin{aligned}
((AB)C)_{i\ell}
&=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}\\
&=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{k\ell}\right)
=(A(BC))_{i\ell}.
\end{aligned} (( A B ) C ) i ℓ = k = 1 ∑ p ( j = 1 ∑ n a ij b jk ) c k ℓ = j = 1 ∑ n a ij ( k = 1 ∑ p b jk c k ℓ ) = ( A ( BC ) ) i ℓ . 中间等号只交换两个有限和的求和次序，并使用实数分配律。两边同为 m × q m\times q m × q
对 D ∈ R n × p D\in\mathbb R^{n\times p} D ∈ R n × p
[ A ( B + D ) ] i k = ∑ j = 1 n a i j ( b j k + d j k ) = ( A B ) i k + ( A D ) i k . [A(B+D)]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+d_{jk})
=(AB)_{ik}+(AD)_{ik}. [ A ( B + D ) ] ik = j = 1 ∑ n a ij ( b jk + d jk ) = ( A B ) ik + ( A D ) ik . 对 E ∈ R m × n E\in\mathbb R^{m\times n} E ∈ R m × n
[ ( A + E ) B ] i k = ∑ j = 1 n ( a i j + e i j ) b j k = ( A B ) i k + ( E B ) i k . [(A+E)B]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+e_{ij})b_{jk}
=(AB)_{ik}+(EB)_{ik}. [( A + E ) B ] ik = j = 1 ∑ n ( a ij + e ij ) b jk = ( A B ) ik + ( EB ) ik . 所以在所写的相容大小下，两条分配律均成立。对任意实标量 c c c
[ ( c A ) B ] i k = ∑ j ( c a i j ) b j k = c ∑ j a i j b j k = ∑ j a i j ( c b j k ) = [ A ( c B ) ] i k , [(cA)B]_{ik}=\sum_j(ca_{ij})b_{jk}
=c\sum_j a_{ij}b_{jk}
=\sum_j a_{ij}(cb_{jk})=[A(cB)]_{ik}, [( c A ) B ] ik = j ∑ ( c a ij ) b jk = c j ∑ a ij b jk = j ∑ a ij ( c b jk ) = [ A ( c B ) ] ik , 逐项相等便证明 ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) (cA)B=c(AB)=A(cB) ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) x , y ∈ R n x,y\in\mathbb R^n x , y ∈ R n s , t s,t s , t
[ A ( s x + t y ) ] i = ∑ j a i j ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . [A(sx+ty)]_i=\sum_j a_{ij}(sx_j+ty_j)
=s(Ax)_i+t(Ay)_i. [ A ( s x + t y ) ] i = j ∑ a ij ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . 这证明了比较同一线性系统的解时所用的矩阵乘向量线性性质。所有恒等式都只针对大小相容的有限实矩阵，不声称任意矩阵因子可交换或可消去。
全章中，V V V F F F T ∈ End F ( V ) T\in\operatorname{End}_F(V) T ∈ End F ( V )
域上的多项式除法与根因式恒等式
设 F F F F [ t ] F[t] F [ t ] f , g f,g f , g deg ( f g ) = deg f + deg g \deg(fg)=\deg f+\deg g deg ( f g ) = deg f + deg g
对任意 f f f g g g q , r q,r q , r f = q g + r f=qg+r f = q g + r r = 0 r=0 r = 0 deg r < deg g \deg r<\deg g deg r < deg g f f f d ≥ e = deg g d\ge e=\deg g d ≥ e = deg g ( a / b ) t d − e g (a/b)t^{d-e}g ( a / b ) t d − e g ( a / b ) t d − e (a/b)t^{d-e} ( a / b ) t d − e a , b a,b a , b g g g g ( q − q ′ ) = r ′ − r g(q-q')=r'-r g ( q − q ′ ) = r ′ − r e e e e e e
对 λ ∈ F \lambda\in F λ ∈ F
t k − λ k = ( t − λ ) ∑ j = 0 k − 1 t k − 1 − j λ j ( k ≥ 1 ) t^k-\lambda^k=(t-\lambda)\sum_{j=0}^{k-1}t^{k-1-j}\lambda^j\quad(k\ge1) t k − λ k = ( t − λ ) j = 0 ∑ k − 1 t k − 1 − j λ j ( k ≥ 1 ) 给出 f ( t ) − f ( λ ) = ( t − λ ) h ( t ) f(t)-f(\lambda)=(t-\lambda)h(t) f ( t ) − f ( λ ) = ( t − λ ) h ( t ) f ( λ ) = 0 f(\lambda)=0 f ( λ ) = 0 t − λ t-\lambda t − λ f f f F F F
交换环上的 Leibniz 行列式与交错性
设 R R R n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 A ∈ M n ( R ) A\in M_n(R) A ∈ M n ( R )
det A = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) , det [ ] = 1 ( n = 0 ) . \det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},\qquad \det[\ ]=1\quad(n=0). det A = σ ∈ S n ∑ sgn ( σ ) i = 1 ∏ n a i , σ ( i ) , det [ ] = 1 ( n = 0 ) . 符号为 ( − 1 ) inv ( σ ) (-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)} ( − 1 ) inv ( σ ) R R R τ \tau τ σ \sigma σ sgn ( σ τ ) = sgn ( σ ) sgn ( τ ) \operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau) sgn ( σ τ ) = sgn ( σ ) sgn ( τ ) − 1 -1 − 1 R R R
有限公式对每行及每列多重线性。若两行相同，把每个排列项与交换这两行所选列后的项配对。两项不同，乘积相同而符号相反，故任何特征下两项之和均为零。因此重复行使行列式为零；重复列同理。这是成对抵消，不是从 2 det A = 0 2\det A=0 2 det A = 0 det I = 1 \det I=1 det I = 1 σ − 1 \sigma^{-1} σ − 1 σ \sigma σ det A T = det A \det A^{\mathsf T}=\det A det A T = det A
所需唯一性原理即使有零因子也成立。若 D D D R n R^n R n n n n D D D D ( … , u + v , … , u + v , … ) = 0 D(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots)=0 D ( … , u + v , … , u + v , … ) = 0 D ( … , u , … , v , … ) + D ( … , v , … , u , … ) = 0 D(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)+D(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)=0 D ( … , u , … , v , … ) + D ( … , v , … , u , … ) = 0 D ( e 1 , … , e n ) D(e_1,\ldots,e_n) D ( e 1 , … , e n )
乘法性、三角分块与伴随矩阵
固定 A A A D ( v 1 , … , v n ) = det ( A v 1 , … , A v n ) D(v_1,\ldots,v_n)=\det(Av_1,\ldots,Av_n) D ( v 1 , … , v n ) = det ( A v 1 , … , A v n ) D ( e 1 , … , e n ) = det A D(e_1,\ldots,e_n)=\det A D ( e 1 , … , e n ) = det A B B B
det ( A B ) = det A det B . \det(AB)=\det A\det B. det ( A B ) = det A det B . 对方块大小为 p , q p,q p , q ( B C 0 D ) \begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix} ( B 0 C D ) q q q q q q p p p p p p det B det D \det B\det D det B det D
记 A i j ^ A_{ij}^{\widehat{\ } } A ij i i i j j j C i j = ( − 1 ) i + j det A i j ^ C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}^{\widehat{\ } } C ij = ( − 1 ) i + j det A ij σ ( i ) = j \sigma(i)=j σ ( i ) = j det A = ∑ j a i j C i j \det A=\sum_j a_{ij}C_{ij} det A = ∑ j a ij C ij i i i j j j i + j − 2 i+j-2 i + j − 2 adj ( A ) j i = C i j \operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij} adj ( A ) ji = C ij A adj ( A ) A\operatorname{adj}(A) A adj ( A ) ( i , j ) (i,j) ( i , j ) ∑ k a i k C j k \sum_k a_{ik}C_{jk} ∑ k a ik C jk j j j i i i i = j i=j i = j det A \det A det A
A adj ( A ) = adj ( A ) A = ( det A ) I . A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I. A adj ( A ) = adj ( A ) A = ( det A ) I . 当 n = 1 n=1 n = 1 [ 1 ] [1] [ 1 ] n = 0 n=0 n = 0 R = F [ t ] R=F[t] R = F [ t ]
向量空间是在域 F F F d d d P d ( F ) P_d(F) P d ( F ) P d ( F ) P_d(F) P d ( F )
子空间 包含零，且对加法和数乘封闭。若每个向量都是某列表中向量的线性组合，该列表张成空间；若只有零系数组合能得到零，它线性无关。基 同时满足两者。有限生成列表可通过删除相关项缩减成基；线性无关列表可通过添加其张成空间外的向量扩充成基，直到张成给定的有限生成列表。
交换引理。 若 r r r s s s r ≤ s r\le s r ≤ s r r r dim V \dim V dim V
因此在 n n n n n n n n n
映射 T : V → W T:V\to W T : V → W T ( α v + β u ) = α T v + β T u T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu T ( αv + β u ) = α T v + βT u ker T \ker T ker T k 1 , … , k r k_1,\ldots,k_r k 1 , … , k r v 1 , … , v s v_1,\ldots,v_s v 1 , … , v s T v 1 , … , T v s Tv_1,\ldots,Tv_s T v 1 , … , T v s im T \operatorname{im}T im T
dim V = dim ker T + dim im T . \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. dim V = dim ker T + dim im T . 这就是秩–零度定理 。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。
域上的桥梁：奇异性与特征多项式
现在令 R = F R=F R = F det A ≠ 0 \det A\ne0 det A = 0 adj ( A ) / det A \operatorname{adj}(A)/\det A adj ( A ) / det A A A A det A det A − 1 = 1 \det A\det A^{-1}=1 det A det A − 1 = 1 det A ≠ 0 \det A\ne0 det A = 0 det A = 0 \det A=0 det A = 0
对固定 A ∈ M n ( F ) A\in M_n(F) A ∈ M n ( F ) t I − A ∈ M n ( F [ t ] ) tI-A\in M_n(F[t]) t I − A ∈ M n ( F [ t ]) n n n t n t^n t n n n n P P P A ↦ P − 1 A P A\mapsto P^{-1}AP A ↦ P − 1 A P n − 1 n-1 n − 1
对 p ( t ) = ∑ j = 0 d c j t j p(t)=\sum_{j=0}^dc_jt^j p ( t ) = ∑ j = 0 d c j t j p ( T ) = ∑ c j T j p(T)=\sum c_jT^j p ( T ) = ∑ c j T j T 0 = I T^0=I T 0 = I ( p q ) ( T ) = p ( T ) q ( T ) (pq)(T)=p(T)q(T) ( pq ) ( T ) = p ( T ) q ( T ) F [ t ] → End ( V ) F[t]\to\operatorname{End}(V) F [ t ] → End ( V )
定理。 χ T ( T ) = 0 \chi_T(T)=0 χ T ( T ) = 0
证明。 令 χ A ( t ) = ∑ k = 0 n c k t k \chi_A(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k χ A ( t ) = ∑ k = 0 n c k t k c n = 1 c_n=1 c n = 1 F [ t ] F[t] F [ t ]
( t I − A ) B ( t ) = χ A ( t ) I , B ( t ) = adj ( t I − A ) = ∑ k = 0 n − 1 B k t k . (tI-A)B(t)=\chi_A(t)I,\qquad B(t)=\operatorname{adj}(tI-A)=\sum_{k=0}^{n-1}B_kt^k. ( t I − A ) B ( t ) = χ A ( t ) I , B ( t ) = adj ( t I − A ) = k = 0 ∑ n − 1 B k t k . 设 B − 1 = B n = 0 B_{-1}=B_n=0 B − 1 = B n = 0 0 ≤ k ≤ n 0\le k\le n 0 ≤ k ≤ n B k − 1 − A B k = c k I B_{k-1}-AB_k=c_kI B k − 1 − A B k = c k I k k k A k A^k A k
∑ k = 0 n c k A k = ∑ k = 0 n ( A k B k − 1 − A k + 1 B k ) = 0. \sum_{k=0}^nc_kA^k=\sum_{k=0}^n\left(A^kB_{k-1}-A^{k+1}B_k\right)=0. k = 0 ∑ n c k A k = k = 0 ∑ n ( A k B k − 1 − A k + 1 B k ) = 0. 这就是 χ A ( A ) = 0 \chi_A(A)=0 χ A ( A ) = 0
上一节的零空间判准
det ( A − λ I ) = 0 \det(A-\lambda I)=0 det ( A − λ I ) = 0 已经告诉你如何测试一个候选数 λ \lambda λ
特征多项式限制特征值的数目，记录重复特征值的情形，并给出可对角化的实用判准。
本节的基础域是 F = R F=\mathbb{R} F = R F F F n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 t t t p A ( t ) = det ( A − t I n ) p_A(t)=\det(A-tI_n) p A ( t ) = det ( A − t I n )
特征多项式
定义
特征多项式 设 A ∈ M n ( F ) A\in M_n(F) A ∈ M n ( F ) F = R F=\mathbb{R} F = R n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1
p A ( t ) = det ( A − t I n ) p_A(t)=\det(A-tI_n) p A ( t ) = det ( A − t I n ) 称为 A A A 特征多项式
变量 t t t λ \lambda λ p A ( λ ) p_A(\lambda) p A ( λ ) A − λ I A-\lambda I A − λ I
定理
特征值正好就是特征多项式的根 设 A A A n × n n\times n n × n λ \lambda λ
λ \lambda λ A A A λ \lambda λ p A ( t ) p_A(t) p A ( t ) 这其实只是把上一节的行列式判准整理成较有系统的写法：
λ 是特征值 ⟺ det ( A − λ I ) = 0 ⟺ p A ( λ ) = 0. \lambda\text{ 是特征值}
\iff
\det(A-\lambda I)=0
\iff
p_A(\lambda)=0. λ 是特征值 ⟺ det ( A − λ I ) = 0 ⟺ p A ( λ ) = 0. 根确定特征值，特征空间提供方向
p A ( t ) = det ( A − t I ) p_A(t)=\det(A-tI) p A ( t ) = det ( A − t I )
定理
特征多项式的基本形状 若 A A A n × n n\times n n × n p A ( t ) p_A(t) p A ( t ) n n n ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n det ( A ) \det(A) det ( A )
因此，特征多项式绝不是任意的表达式。它的次数由矩阵大小固定，而其常
数项已经记住了矩阵的行列式。
证明
由列的多重线性看次数与首项符号 把 A A A a 1 , … , a n a_1,\ldots,a_n a 1 , … , a n A − t I n A-tI_n A − t I n a j − t e j a_j-t e_j a j − t e j a j a_j a j − t e j -t e_j − t e j − t e j -t e_j − t e j
( − t ) n det ( I n ) = ( − 1 ) n t n (-t)^n\det(I_n)=(-1)^n t^n ( − t ) n det ( I n ) = ( − 1 ) n t n 其余选择至少含有一个 a j a_j a j n − 1 n-1 n − 1 t t t n n n ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n t t t det ( A ) \det(A) det ( A ) p A ( 0 ) = det ( A ) p_A(0)=\det(A) p A ( 0 ) = det ( A ) det ( A − t I n ) \det(A-tI_n) det ( A − t I n ) det ( t I n − A ) = ( − 1 ) n p A ( t ) \det(tI_n-A)=(-1)^n p_A(t) det ( t I n − A ) = ( − 1 ) n p A ( t )
第一批例子
例题
一个 2×2 特征多项式 令
A = [ 3 2 3 − 2 ] . A=
\begin{bmatrix}
3&2\\
3&-2
\end{bmatrix}. A = [ 3 3 2 − 2 ] . 则
p A ( t ) = det [ 3 − t 2 3 − 2 − t ] = ( 3 − t ) ( − 2 − t ) − 6. p_A(t)=
\det
\begin{bmatrix}
3-t&2\\
3&-2-t
\end{bmatrix}
=(3-t)(-2-t)-6. p A ( t ) = det [ 3 − t 3 2 − 2 − t ] = ( 3 − t ) ( − 2 − t ) − 6. 化简后得
p A ( t ) = t 2 − t − 12 = ( t − 4 ) ( t + 3 ) . p_A(t)=t^2-t-12=(t-4)(t+3). p A ( t ) = t 2 − t − 12 = ( t − 4 ) ( t + 3 ) . 这个系数计算值得直接检查，而不应只记住因式分解的形式：
( 3 − t ) ( − 2 − t ) − 6 = t 2 − t − 6 − 6 = t 2 − t − 12 (3-t)(-2-t)-6=t^2-t-6-6=t^2-t-12 ( 3 − t ) ( − 2 − t ) − 6 = t 2 − t − 6 − 6 = t 2 − t − 12 按本节约定 det ( A − t I ) \det(A-tI) det ( A − t I ) − 12 -12 − 12 det ( A ) = − 12 \det(A)=-12 det ( A ) = − 12 + 1 +1 + 1 ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n 4 4 4 − 3 -3 − 3
例题
一个重根例子 令
B = [ 2 3 0 2 ] . B=
\begin{bmatrix}
2&3\\
0&2
\end{bmatrix}. B = [ 2 0 3 2 ] . 则
p B ( t ) = det [ 2 − t 3 0 2 − t ] = ( 2 − t ) 2 = ( t − 2 ) 2 . p_B(t)=
\det
\begin{bmatrix}
2-t&3\\
0&2-t
\end{bmatrix}
=(2-t)^2=(t-2)^2. p B ( t ) = det [ 2 − t 0 3 2 − t ] = ( 2 − t ) 2 = ( t − 2 ) 2 . 所以 2 2 2 2 2 2
代数重数与几何重数
一旦根可以重复，便需要更精细的语言。
定义
代数重数与几何重数 设 λ ∈ F \lambda\in F λ ∈ F p A ( t ) p_A(t) p A ( t ) 代数重数 m a ( λ ) m_a(\lambda) m a ( λ ) ( t − λ ) m (t-\lambda)^m ( t − λ ) m p A ( t ) p_A(t) p A ( t ) m m m p A ( t ) = ( t − λ ) m q ( t ) p_A(t)=(t-\lambda)^m q(t) p A ( t ) = ( t − λ ) m q ( t ) q ( λ ) ≠ 0 q(\lambda)\ne0 q ( λ ) = 0 几何重数 m g ( λ ) m_g(\lambda) m g ( λ ) dim F E A ( λ ) = dim F N ( A − λ I n ) \dim_F E_A(\lambda)=\dim_F N(A-\lambda I_n) dim F E A ( λ ) = dim F N ( A − λ I n )
若 p A p_A p A F F F λ 1 , … , λ s \lambda_1,\dots,\lambda_s λ 1 , … , λ s
p A ( t ) = ( − 1 ) n ( t − λ 1 ) m 1 ⋯ ( t − λ s ) m s , ∑ i m i = n p_A(t)=(-1)^n(t-\lambda_1)^{m_1}\cdots(t-\lambda_s)^{m_s},\qquad\sum_i m_i=n p A ( t ) = ( − 1 ) n ( t − λ 1 ) m 1 ⋯ ( t − λ s ) m s , i ∑ m i = n 这个分解与重数总和要求所选域上完全分裂；局部的重数定义本身不需要这个条件
代数重数来自多项式本身；几何重数来自零空间 N ( A − λ I ) N(A-\lambda I) N ( A − λ I )
定理
重数不等式 若 λ \lambda λ n × n n\times n n × n A A A
1 ≤ m g ( λ ) ≤ m a ( λ ) ≤ n . 1\le m_g(\lambda)\le m_a(\lambda)\le n. 1 ≤ m g ( λ ) ≤ m a ( λ ) ≤ n . 因此，每个特征空间至少有一维，但它的维数永远不会超过相应特征值的代
数重数。
证明
为什么几何重数不超过代数重数 固定特征值 λ \lambda λ g = dim E A ( λ ) g=\dim E_A(\lambda) g = dim E A ( λ ) F n F^n F n P P P B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B = P − 1 A P g g g λ e 1 , … , λ e g \lambda e_1,\dots,\lambda e_g λ e 1 , … , λ e g
B = [ λ I g C 0 D ] B=\begin{bmatrix}\lambda I_g&C\\0&D\end{bmatrix} B = [ λ I g 0 C D ] 相似变换保持特征多项式。若 g < n g<n g < n B − t I B-tI B − t I g g g λ − t \lambda-t λ − t t = λ t=\lambda t = λ
p A ( t ) = det ( B − t I ) = ( λ − t ) g det ( D − t I ) p_A(t)=\det(B-tI)=(\lambda-t)^g\det(D-tI) p A ( t ) = det ( B − t I ) = ( λ − t ) g det ( D − t I ) 所以 ( t − λ ) g (t-\lambda)^g ( t − λ ) g p A ( t ) p_A(t) p A ( t ) g ≤ m a ( λ ) g\le m_a(\lambda) g ≤ m a ( λ ) g = n g=n g = n B = λ I n B=\lambda I_n B = λ I n p A ( t ) = ( λ − t ) n p_A(t)=(\lambda-t)^n p A ( t ) = ( λ − t ) n
例题
重根，但特征空间太小 对
B = [ 2 3 0 2 ] , B=
\begin{bmatrix}
2&3\\
0&2
\end{bmatrix}, B = [ 2 0 3 2 ] , 特征多项式是 ( t − 2 ) 2 (t-2)^2 ( t − 2 ) 2 2 2 2 2 2 2
现在解 ( B − 2 I ) x = 0 (B-2I)x=0 ( B − 2 I ) x = 0
B − 2 I = [ 0 3 0 0 ] . B-2I=
\begin{bmatrix}
0&3\\
0&0
\end{bmatrix}. B − 2 I = [ 0 0 3 0 ] . 因此 x 2 = 0 x_2=0 x 2 = 0 x 1 x_1 x 1
span { [ 1 0 ] } , \operatorname{span}\left\{
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}
\right\}, span { [ 1 0 ] } , 只有一维。也就是说
m a ( 2 ) = 2 , m g ( 2 ) = 1. m_a(2)=2,\qquad m_g(2)=1. m a ( 2 ) = 2 , m g ( 2 ) = 1. 这个不相等正是它不可对角化的原因。
互异特征值会强迫线性无关
定理
互异特征值所对应的特征向量必线性无关 若 v 1 , … , v k v_1,\dots,v_k v 1 , … , v k A A A λ 1 , … , λ k \lambda_1,\dots,\lambda_k λ 1 , … , λ k
v 1 , … , v k v_1,\dots,v_k v 1 , … , v k 必定线性无关
证明
不预设独立性的归纳证明 设 λ 1 , … , λ s \lambda_1,\dots,\lambda_s λ 1 , … , λ s w j ∈ E A ( λ j ) w_j\in E_A(\lambda_j) w j ∈ E A ( λ j ) s s s ∑ j = 1 s w j = 0 \sum_{j=1}^s w_j=0 ∑ j = 1 s w j = 0 w j = 0 w_j=0 w j = 0 w j w_j w j s = 1 s=1 s = 1 A − λ s I A-\lambda_s I A − λ s I
∑ j = 1 s − 1 ( λ j − λ s ) w j = 0 \sum_{j=1}^{s-1}(\lambda_j-\lambda_s)w_j=0 j = 1 ∑ s − 1 ( λ j − λ s ) w j = 0 每个数乘后的向量仍在自己的特征空间中。归纳假设使所有
( λ j − λ s ) w j (\lambda_j-\lambda_s)w_j ( λ j − λ s ) w j j < s j<s j < s w j = 0 w_j=0 w j = 0 w s = 0 w_s=0 w s = 0
这条定理立即带来两个重要推论。
定理
互异特征值的数目上界 一个 n × n n\times n n × n n n n
定理
互异特征值测试可对角化 若一个 n × n n\times n n × n n n n
前面的独立性结果同时给出两个推论：互异特征值最多有 n n n n n n n n n F n F^n F n
其逆命题是假的。可对角化矩阵仍然可以有重复特征值。最简单的例子就是单位矩阵：每一个非零向量都是特征值 1 1 1
更精确的可对角化判准
互异特征值是一个充分条件，但不是唯一条件。
定理
特征空间维数总和判准 把所选域 F F F A A A λ 1 , … , λ s \lambda_1,\dots,\lambda_s λ 1 , … , λ s A A A F F F
dim F E A ( λ 1 ) + ⋯ + dim F E A ( λ s ) = n \dim_F E_A(\lambda_1)+\cdots+\dim_F E_A(\lambda_s)=n dim F E A ( λ 1 ) + ⋯ + dim F E A ( λ s ) = n 这条判准是一个基底计数，并不要求特征多项式完全分裂。特征空间独立性证明说明，各
特征空间基的并集线性无关；若维数总和是 n n n n n n F n F^n F n n n n n n n F F F 0 0 0 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 F F F
更精细的重数判准需要完全分裂：
定理
代数重数与几何重数判准 若 p A p_A p A F F F A A A F F F F F F λ \lambda λ m g ( λ ) = m a ( λ ) m_g(\lambda)=m_a(\lambda) m g ( λ ) = m a ( λ )
完全分裂时，∑ i m a ( λ i ) = n \sum_i m_a(\lambda_i)=n ∑ i m a ( λ i ) = n m g ( λ i ) ≤ m a ( λ i ) m_g(\lambda_i)\le m_a(\lambda_i) m g ( λ i ) ≤ m a ( λ i ) n n n
R = [ 1 − 1 1 1 ] , p R ( t ) = ( t − 1 ) 2 + 1 R=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix},\qquad p_R(t)=(t-1)^2+1 R = [ 1 1 − 1 1 ] , p R ( t ) = ( t − 1 ) 2 + 1 没有实特征值。“每个实特征值都满足 m g = m a m_g=m_a m g = m a R R R R \mathbb R R C \mathbb C C 1 + i 1+i 1 + i 1 − i 1-i 1 − i
例题
特征值重复，但仍然可对角化 令
A = [ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] A=
\begin{bmatrix}
2&1&1\\
1&2&1\\
1&1&2
\end{bmatrix} A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 令 d = 2 − t d=2-t d = 2 − t det [ d 1 1 d ] = d 2 − 1 \det\begin{bmatrix}d&1\\1&d\end{bmatrix}=d^2-1 det [ d 1 1 d ] = d 2 − 1 det [ 1 1 1 d ] = d − 1 \det\begin{bmatrix}1&1\\1&d\end{bmatrix}=d-1 det [ 1 1 1 d ] = d − 1 det [ 1 d 1 1 ] = 1 − d \det\begin{bmatrix}1&d\\1&1\end{bmatrix}=1-d det [ 1 1 d 1 ] = 1 − d d ( d 2 − 1 ) d(d^2-1) d ( d 2 − 1 ) − ( d − 1 ) -(d-1) − ( d − 1 ) + ( 1 − d ) +(1-d) + ( 1 − d )
d ( d 2 − 1 ) − ( d − 1 ) + ( 1 − d ) = d 3 − 3 d + 2 = ( d − 1 ) 2 ( d + 2 ) d(d^2-1)-(d-1)+(1-d)=d^3-3d+2=(d-1)^2(d+2) d ( d 2 − 1 ) − ( d − 1 ) + ( 1 − d ) = d 3 − 3 d + 2 = ( d − 1 ) 2 ( d + 2 ) 代回 d = 2 − t d=2-t d = 2 − t
p A ( t ) = ( 1 − t ) 2 ( 4 − t ) = − ( t − 1 ) 2 ( t − 4 ) p_A(t)=(1-t)^2(4-t)=-(t-1)^2(t-4) p A ( t ) = ( 1 − t ) 2 ( 4 − t ) = − ( t − 1 ) 2 ( t − 4 ) 这个因式分解显示根 1 1 1 4 4 4 R \mathbb R R
当 λ = 1 \lambda=1 λ = 1 ( A − I ) x = 0 (A-I)x=0 ( A − I ) x = 0 x + y + z = 0 x+y+z=0 x + y + z = 0
E A ( 1 ) = span { [ 1 − 1 0 ] , [ 1 0 − 1 ] } E_A(1)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\right\} E A ( 1 ) = span ⎩ ⎨ ⎧ 1 − 1 0 , 1 0 − 1 ⎭ ⎬ ⎫ 当 λ = 4 \lambda=4 λ = 4 x = y = z x=y=z x = y = z E A ( 4 ) = span { ( 1 , 1 , 1 ) T } E_A(4)=\operatorname{span}\{(1,1,1)^T\} E A ( 4 ) = span {( 1 , 1 , 1 ) T } E A ( 1 ) E_A(1) E A ( 1 ) E A ( 4 ) E_A(4) E A ( 4 )
dim E A ( 1 ) + dim E A ( 4 ) = 2 + 1 = 3 \dim E_A(1)+\dim E_A(4)=2+1=3 dim E A ( 1 ) + dim E A ( 4 ) = 2 + 1 = 3 这里也可以直接审查零空间：A − I A-I A − I x + y + z = 0 x+y+z=0 x + y + z = 0 2 2 2 A − 4 I A-4I A − 4 I x = y = z x=y=z x = y = z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4 4 1 1 1 F 3 F^3 F 3
因此 A A A
Cayley-Hamilton 定理给出一条多项式恒等式
本节再向前一步，把特征多项式重新代回矩阵本身。
定理
Cayley-Hamilton 定理 若
p A ( t ) = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + ⋯ + c n t n , p_A(t)=c_0+c_1t+c_2t^2+\cdots+c_nt^n, p A ( t ) = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + ⋯ + c n t n , 则
c 0 I + c 1 A + c 2 A 2 + ⋯ + c n A n = 0. c_0I+c_1A+c_2A^2+\cdots+c_nA^n=0. c 0 I + c 1 A + c 2 A 2 + ⋯ + c n A n = 0. 等价写法是 p A ( A ) = 0 p_A(A)=0 p A ( A ) = 0
对可对角化矩阵来说，这条定理很好理解：若 A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 p A p_A p A A A A D D D A A A p A p_A p A
旁注 按下可固定此旁注，按 Escape 关闭。 旁注
区分定理本身与这里证明的情形
Cayley-Hamilton 对每个方阵都成立。下面的论证只证明 A A A J J J
关闭 证明
可对角化情形的 Cayley-Hamilton 证明 假设 A = S D S − 1 A=SDS^{-1} A = S D S − 1 D = diag ( λ 1 , … , λ n ) D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) D = diag ( λ 1 , … , λ n ) q ( t ) = c 0 + ⋯ + c r t r q(t)=c_0+\cdots+c_rt^r q ( t ) = c 0 + ⋯ + c r t r q ( A ) = c 0 I + c 1 A + ⋯ + c r A r q(A)=c_0I+c_1A+\cdots+c_rA^r q ( A ) = c 0 I + c 1 A + ⋯ + c r A r q ( A ) = S q ( D ) S − 1 q(A)=S q(D)S^{-1} q ( A ) = Sq ( D ) S − 1 q ( D ) q(D) q ( D ) q ( λ 1 ) , … , q ( λ n ) q(\lambda_1),\dots,q(\lambda_n) q ( λ 1 ) , … , q ( λ n ) q = p A q=p_A q = p A I = S I S − 1 I=SIS^{-1} I = S I S − 1 p A ( A ) = 0 p_A(A)=0 p A ( A ) = 0
Cayley–Hamilton 恒等式把高次幂化为低次幂。若
p A ( t ) = c 0 + c 1 t + ⋯ + c n − 1 t n − 1 + c n t n , p_A(t)=c_0+c_1t+\cdots+c_{n-1}t^{n-1}+c_nt^n, p A ( t ) = c 0 + c 1 t + ⋯ + c n − 1 t n − 1 + c n t n , 则 c n = ( − 1 ) n ≠ 0 c_n=(-1)^n\ne0 c n = ( − 1 ) n = 0 A n A^n A n A A A c 0 = det ( A ) ≠ 0 c_0=\det(A)\ne0 c 0 = det ( A ) = 0 A A A A − 1 A^{-1} A − 1
A − 1 = − c 1 I + c 2 A + ⋯ + c n A n − 1 c 0 . A^{-1}=-\frac{c_1I+c_2A+\cdots+c_nA^{n-1}}{c_0}. A − 1 = − c 0 c 1 I + c 2 A + ⋯ + c n A n − 1 . 这里必须先由 c 0 ≠ 0 c_0\ne0 c 0 = 0 A − 1 A^{-1} A − 1
例题
一条小型 Cayley-Hamilton 恒等式 令
J = [ 1 4 0 1 ] J=
\begin{bmatrix}
1&4\\
0&1
\end{bmatrix} J = [ 1 0 4 1 ] 其特征多项式为
p J ( t ) = ( 1 − t ) 2 = t 2 − 2 t + 1 p_J(t)=(1-t)^2=t^2-2t+1 p J ( t ) = ( 1 − t ) 2 = t 2 − 2 t + 1 因此 Cayley-Hamilton 告诉你
J 2 − 2 J + I = 0 J^2-2J+I=0 J 2 − 2 J + I = 0 直接计算
J 2 = [ 1 8 0 1 ] , J 2 − 2 J + I = 0 J^2=\begin{bmatrix}1&8\\0&1\end{bmatrix},
\qquad J^2-2J+I=0 J 2 = [ 1 0 8 1 ] , J 2 − 2 J + I = 0 把这个已验证的恒等式乘以 J J J
J 3 = 2 J 2 − J = 2 ( 2 J − I ) − J = 3 J − 2 I J^3=2J^2-J=2(2J-I)-J=3J-2I J 3 = 2 J 2 − J = 2 ( 2 J − I ) − J = 3 J − 2 I 更具体地，把 J 2 − 2 J + I = 0 J^2-2J+I=0 J 2 − 2 J + I = 0 J k J^k J k k ≥ 0 k\ge0 k ≥ 0 J k + 2 = 2 J k + 1 − J k J^{k+2}=2J^{k+1}-J^k J k + 2 = 2 J k + 1 − J k J 4 = 2 J 3 − J 2 = 4 J − 3 I J^4=2J^3-J^2=4J-3I J 4 = 2 J 3 − J 2 = 4 J − 3 I m m m
J m = m J − ( m − 1 ) I = [ 1 4 m 0 1 ] J^m=mJ-(m-1)I=\begin{bmatrix}1&4m\\0&1\end{bmatrix} J m = m J − ( m − 1 ) I = [ 1 0 4 m 1 ] m = 1 m=1 m = 1 J J J m m m J m + 1 = m J 2 − ( m − 1 ) J = m ( 2 J − I ) − ( m − 1 ) J = ( m + 1 ) J − m I J^{m+1}=mJ^2-(m-1)J=m(2J-I)-(m-1)J=(m+1)J-mI J m + 1 = m J 2 − ( m − 1 ) J = m ( 2 J − I ) − ( m − 1 ) J = ( m + 1 ) J − m I J J J
现在可以具体应用前面的系数公式：这里 c 0 = 1 c_0=1 c 0 = 1 c 1 = − 2 c_1=-2 c 1 = − 2 c 2 = 1 c_2=1 c 2 = 1
J − 1 = − − 2 I + J 1 = 2 I − J = [ 1 − 4 0 1 ] J^{-1}=-\frac{-2I+J}{1}=2I-J=\begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix} J − 1 = − 1 − 2 I + J = 2 I − J = [ 1 0 − 4 1 ] 两个消去顺序都可以直接检查：
J ( 2 I − J ) = 2 J − J 2 = I ( 2 I − J ) J = 2 J − J 2 = I J(2I-J)=2J-J^2=I
\qquad (2I-J)J=2J-J^2=I J ( 2 I − J ) = 2 J − J 2 = I ( 2 I − J ) J = 2 J − J 2 = I 常见错误
反例模式
重复特征值仍可能可对角化 错误说法：任何重复特征值都会阻止对角化。取 A = 2 I 2 A=2I_2 A = 2 I 2 p A ( t ) = ( 2 − t ) 2 p_A(t)=(2-t)^2 p A ( t ) = ( 2 − t ) 2 2 2 2 2 2 2 E A ( 2 ) = R 2 E_A(2)=\mathbb R^2 E A ( 2 ) = R 2 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2 B B B m g ( λ ) m_g(\lambda) m g ( λ ) m a ( λ ) m_a(\lambda) m a ( λ )
快速检查
思考检查
[ 2 0 0 5 ] \begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix} [ 2 0 0 5 ] 用 p A ( t ) = det ( A − t I ) p_A(t)=\det(A-tI) p A ( t ) = det ( A − t I )
解答 · 答案 p A ( t ) = ∣ 2 − t 0 0 5 − t ∣ = ( 2 − t ) ( 5 − t ) . p_A(t)=
\begin{vmatrix}
2-t&0\\
0&5-t
\end{vmatrix}
=(2-t)(5-t). p A ( t ) = 2 − t 0 0 5 − t = ( 2 − t ) ( 5 − t ) . 思考检查
若一个 n × n n\times n n × n n n n 解答 · 答案 它必定可对角化，因为互异特征值所对应的特征向量必线性无关
解答 · 答案 不会。对每个特征值 λ \lambda λ
m g ( λ ) ≤ m a ( λ ) . m_g(\lambda)\le m_a(\lambda). m g ( λ ) ≤ m a ( λ ) . 练习
思考检查
求 [ 0 1 − 2 3 ] \begin{bmatrix}0&1\\-2&3\end{bmatrix} [ 0 − 2 1 3 ] 先算 det ( A − t I ) \det(A-tI) det ( A − t I )
解答 · 引导解答 p A ( t ) = ∣ − t 1 − 2 3 − t ∣ = t 2 − 3 t + 2 = ( t − 1 ) ( t − 2 ) . p_A(t)=
\begin{vmatrix}
-t&1\\
-2&3-t
\end{vmatrix}
=t^2-3t+2=(t-1)(t-2). p A ( t ) = − t − 2 1 3 − t = t 2 − 3 t + 2 = ( t − 1 ) ( t − 2 ) . 所以特征值是 1 1 1 2 2 2
思考检查
一个实 4 × 4 4\times4 4 × 4 解答 · 引导解答 这四个特征向量线性无关，因此它们张成的空间维数是 4 4 4 R 4 \mathbb{R}^4 R 4
思考检查
若 p A ( t ) = − t 3 + 6 t 2 − 11 t + 6 p_A(t)=-t^3+6t^2-11t+6 p A ( t ) = − t 3 + 6 t 2 − 11 t + 6 解答 · 引导解答 − A 3 + 6 A 2 − 11 A + 6 I = 0 -A^3+6A^2-11A+6I=0 − A 3 + 6 A 2 − 11 A + 6 I = 0 或者两边乘以 − 1 -1 − 1
A 3 − 6 A 2 + 11 A − 6 I = 0 A^3-6A^2+11A-6I=0 A 3 − 6 A 2 + 11 A − 6 I = 0 这就是对应的 Cayley-Hamilton 恒等式
相关笔记
请把
8.1 特征值、特征向量与特征空间
打开，因为特征值与零空间的关系是这一节的基础。
同时也应保留
8.2 对角化与相似
在旁，因为本节提供的多项式工具正是用来判断那一节的对角化是否成立。
而 p A ( t ) = det ( A − t I ) p_A(t)=\det(A-tI) p A ( t ) = det ( A − t I ) 7.1 行列式与余因子展开 。
