有限实矩阵乘法法则的证明
设 m , n , p , q m,n,p,q m , n , p , q A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n B ∈ R n × p B\in\mathbb R^{n\times p} B ∈ R n × p C ∈ R p × q C\in\mathbb R^{p\times q} C ∈ R p × q ( i , ℓ ) (i,\ell) ( i , ℓ )
( ( A B ) C ) i ℓ = ∑ k = 1 p ( ∑ j = 1 n a i j b j k ) c k ℓ = ∑ j = 1 n a i j ( ∑ k = 1 p b j k c k ℓ ) = ( A ( B C ) ) i ℓ . \begin{aligned}
((AB)C)_{i\ell}
&=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}\\
&=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{k\ell}\right)
=(A(BC))_{i\ell}.
\end{aligned} (( A B ) C ) i ℓ = k = 1 ∑ p ( j = 1 ∑ n a ij b jk ) c k ℓ = j = 1 ∑ n a ij ( k = 1 ∑ p b jk c k ℓ ) = ( A ( BC ) ) i ℓ . 中间等号只交换两个有限和的求和次序，并使用实数分配律。两边同为 m × q m\times q m × q
对 D ∈ R n × p D\in\mathbb R^{n\times p} D ∈ R n × p
[ A ( B + D ) ] i k = ∑ j = 1 n a i j ( b j k + d j k ) = ( A B ) i k + ( A D ) i k . [A(B+D)]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+d_{jk})
=(AB)_{ik}+(AD)_{ik}. [ A ( B + D ) ] ik = j = 1 ∑ n a ij ( b jk + d jk ) = ( A B ) ik + ( A D ) ik . 对 E ∈ R m × n E\in\mathbb R^{m\times n} E ∈ R m × n
[ ( A + E ) B ] i k = ∑ j = 1 n ( a i j + e i j ) b j k = ( A B ) i k + ( E B ) i k . [(A+E)B]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+e_{ij})b_{jk}
=(AB)_{ik}+(EB)_{ik}. [( A + E ) B ] ik = j = 1 ∑ n ( a ij + e ij ) b jk = ( A B ) ik + ( EB ) ik . 所以在所写的相容大小下，两条分配律均成立。对任意实标量 c c c
[ ( c A ) B ] i k = ∑ j ( c a i j ) b j k = c ∑ j a i j b j k = ∑ j a i j ( c b j k ) = [ A ( c B ) ] i k , [(cA)B]_{ik}=\sum_j(ca_{ij})b_{jk}
=c\sum_j a_{ij}b_{jk}
=\sum_j a_{ij}(cb_{jk})=[A(cB)]_{ik}, [( c A ) B ] ik = j ∑ ( c a ij ) b jk = c j ∑ a ij b jk = j ∑ a ij ( c b jk ) = [ A ( c B ) ] ik , 逐项相等便证明 ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) (cA)B=c(AB)=A(cB) ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) x , y ∈ R n x,y\in\mathbb R^n x , y ∈ R n s , t s,t s , t
[ A ( s x + t y ) ] i = ∑ j a i j ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . [A(sx+ty)]_i=\sum_j a_{ij}(sx_j+ty_j)
=s(Ax)_i+t(Ay)_i. [ A ( s x + t y ) ] i = j ∑ a ij ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . 这证明了比较同一线性系统的解时所用的矩阵乘向量线性性质。所有恒等式都只针对大小相容的有限实矩阵，不声称任意矩阵因子可交换或可消去。
有限消元必停止，并保持解集
设 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n b ∈ R m b\in\mathbb R^m b ∈ R m m , n m,n m , n A x = b Ax=b A x = b
从左到右扫描系数列，并记录下一未使用行。若当前列在未使用行中有非零元素，就将其所在行交换到下一位置，除以非零主元，再从其余各行减去适当倍数，清空该列其他元素，然后推进未使用行指标。若该列所有未使用位置都是零，就跳过该列。先前主元列始终是单位列：当前未使用行在这些列均为零，所以新主元行以及后续减法保留这些零与原主元。总共只有 n n n min ( m , n ) \min(m,n) min ( m , n )
解的分类与齐次自由度
令 r r r 0 = c 0=c 0 = c n − r n-r n − r r = n r=n r = n r < n r<n r < n
对 A z = 0 Az=0 A z = 0 r < n r<n r < n r = n r=n r = n x p x_p x p x p + z x_p+z x p + z A z = 0 Az=0 A z = 0
当 A A A I I I E E E E A = I EA=I E A = I E E E A = E − 1 A=E^{-1} A = E − 1 A E = I AE=I A E = I E E E [ A ∣ I ] [A\mid I] [ A ∣ I ] [ I ∣ A − 1 ] [I\mid A^{-1}] [ I ∣ A − 1 ]
向量空间是在域 F F F d d d P d ( F ) P_d(F) P d ( F ) P d ( F ) P_d(F) P d ( F )
子空间 包含零，且对加法和数乘封闭。若每个向量都是某列表中向量的线性组合，该列表张成空间；若只有零系数组合能得到零，它线性无关。基 同时满足两者。有限生成列表可通过删除相关项缩减成基；线性无关列表可通过添加其张成空间外的向量扩充成基，直到张成给定的有限生成列表。
交换引理。 若 r r r s s s r ≤ s r\le s r ≤ s r r r dim V \dim V dim V
因此在 n n n n n n n n n
不预设计数结论的有限基存在与扩充
设实向量空间 V V V t 1 , … , t N t_1,\ldots,t_N t 1 , … , t N u 1 , … , u k u_1,\ldots,u_k u 1 , … , u k N N N j j j u 1 , … , u j u_1,\ldots,u_j u 1 , … , u j N − j N-j N − j u j + 1 u_{j+1} u j + 1 u i u_i u i u j + 1 u_{j+1} u j + 1 k > N k>N k > N N N N N N N V V V u N + 1 u_{N+1} u N + 1 N = 0 N=0 N = 0
每个子空间 W W W W W W W W W N N N W W W W = { 0 } W=\{0\} W = { 0 } W W W W W W p , q p,q p , q p ≤ q p\le q p ≤ q q ≤ p q\le p q ≤ p
映射 T : V → W T:V\to W T : V → W T ( α v + β u ) = α T v + β T u T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu T ( αv + β u ) = α T v + βT u ker T \ker T ker T k 1 , … , k r k_1,\ldots,k_r k 1 , … , k r v 1 , … , v s v_1,\ldots,v_s v 1 , … , v s T v 1 , … , T v s Tv_1,\ldots,Tv_s T v 1 , … , T v s im T \operatorname{im}T im T
dim V = dim ker T + dim im T . \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. dim V = dim ker T + dim im T . 这就是秩–零度定理 。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。
实向量空间中的有限基计数
设实向量空间 V V V m ≥ 0 m\geq0 m ≥ 0
先回顾系数计数论证，它不要求生成列表独立。若 v 1 , … , v m v_1,\ldots,v_m v 1 , … , v m V V V u 1 , … , u r ∈ V u_1,\ldots,u_r\in V u 1 , … , u r ∈ V r > m r>m r > m u j = ∑ i = 1 m a i j v i u_j=\sum_{i=1}^m a_{ij}v_i u j = ∑ i = 1 m a ij v i C = ( a i j ) C=(a_{ij}) C = ( a ij ) m m m r r r m m m C c = 0 Cc=0 C c = 0
∑ j = 1 r c j u j = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 r a i j c j ) v i = 0. \sum_{j=1}^r c_ju_j
=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^r a_{ij}c_j\right)v_i=0. j = 1 ∑ r c j u j = i = 1 ∑ m ( j = 1 ∑ r a ij c j ) v i = 0. 所以这些 u j u_j u j m = 0 m=0 m = 0 u j u_j u j V V V m m m
若独立列表 ( u 1 , … , u s ) (u_1,\ldots,u_s) ( u 1 , … , u s ) V V V w w w ∑ a i u i + b w = 0 \sum a_i u_i+bw=0 ∑ a i u i + b w = 0 b ≠ 0 b\ne0 b = 0 w w w b = 0 b=0 b = 0 a i = 0 a_i=0 a i = 0 w w w m m m m + 1 m+1 m + 1 m m m
反过来，设长度为 m m m V V V m − 1 m-1 m − 1 V V V m m m
这些论证对任意有限维实空间 V V V V V V m m m V V V
子空间结论也不必预先假定子空间有基。若 W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V W W W m m m W W W dim W ≤ m \dim W\leq m dim W ≤ m V V V m m m V V V W = V W=V W = V
标准有限模型与多项式的边界
这里 d d d a , b a,b a , b d = 0 d=0 d = 0 R 0 \mathbb R^0 R 0
在 R d \mathbb R^d R d e i e_i e i i i i x x x ∑ i = 1 d x i e i \sum_{i=1}^d x_i e_i ∑ i = 1 d x i e i i i i dim R d = d \dim\mathbb R^d=d dim R d = d
在实 a × b a\times b a × b E i j E_{ij} E ij ( i , j ) (i,j) ( i , j ) X X X ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b X i j E i j \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b X_{ij}E_{ij} ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b X ij E ij ( i , j ) (i,j) ( i , j ) E i j E_{ij} E ij a b ab ab dim M a , b ( R ) = a b \dim M_{a,b}(\mathbb R)=ab dim M a , b ( R ) = ab
对 P n P_n P n n ≥ 0 n\geq0 n ≥ 0 ∑ i = 0 n a i t i \sum_{i=0}^n a_i t^i ∑ i = 0 n a i t i ( 1 , t , … , t n ) (1,t,\ldots,t^n) ( 1 , t , … , t n ) dim P n = n + 1 \dim P_n=n+1 dim P n = n + 1 N N N N N N t N + 1 t^{N+1} t N + 1
张成列表可以表示空间中的每个向量，但相依列表可能用不同的系数表示同一个向量。同时要求张成与线性独立，就能使每个表示唯一。基把这两个条件结合起来。
定义
基 若一组向量 { u 1 , u 2 , … , u m } \{u_1, u_2, \ldots, u_m\} { u 1 , u 2 , … , u m }
u 1 , u 2 , … , u m u_1, u_2, \ldots, u_m u 1 , u 2 , … , u m Span { u 1 , u 2 , … , u m } = V \operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_m\} = V Span { u 1 , u 2 , … , u m } = V 那它就是向量空间 V V V
本节使用实数标量，写出的基都是有限列表。固定次序 ( u 1 , … , u m ) (u_1,\ldots,u_m) ( u 1 , … , u m ) x = ∑ a i u i = ∑ b i u i x=\sum a_i u_i=\sum b_i u_i x = ∑ a i u i = ∑ b i u i ∑ ( a i − b i ) u i = 0 \sum(a_i-b_i)u_i=0 ∑ ( a i − b i ) u i = 0 a i = b i a_i=b_i a i = b i
张成与独立回答不同的问题
下方图解区分基的两个条件：张成使每个目标都能表示，独立排除冗余表示。维数记录基的共同大小；后文会给出计数证明。
比较互为倍数的两个生成向量与线性独立的两个生成向量，分别确定它们的张成。
标准基是最典型的例子
学生最先接触到的基，通常是 R 3 R^3 R 3
e 1 = [ 1 0 0 ] , e 2 = [ 0 1 0 ] , e 3 = [ 0 0 1 ] . e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad
e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad
e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. e 1 = 1 0 0 , e 2 = 0 1 0 , e 3 = 0 0 1 . 这三个向量的重要之处，在于它们各自只负责一个坐标方向。
例题
为什么 R 3 R^3 R 3 要证明 { e 1 , e 2 , e 3 } \{e_1, e_2, e_3\} { e 1 , e 2 , e 3 } R 3 R^3 R 3
先看张成。若
x = [ a b c ] , x = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}, x = a b c , 那么
x = a e 1 + b e 2 + c e 3 . x = a e_1 + b e_2 + c e_3. x = a e 1 + b e 2 + c e 3 . 所以 R 3 R^3 R 3 e 1 , e 2 , e 3 e_1, e_2, e_3 e 1 , e 2 , e 3
再看线性独立。若
α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = 0 , \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0, α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = 0 , 逐个坐标比较，就得到
α 1 = 0 , α 2 = 0 , α 3 = 0. \alpha_1 = 0,\quad \alpha_2 = 0,\quad \alpha_3 = 0. α 1 = 0 , α 2 = 0 , α 3 = 0. 因此唯一的线性关系就是平凡关系。
两个条件都成立，所以 { e 1 , e 2 , e 3 } \{e_1, e_2, e_3\} { e 1 , e 2 , e 3 } R 3 R^3 R 3
这个例子也说明了基坐标有多实用：一旦基固定，系数 a a a b b b c c c
为什么基里向量的个数这么重要
不同的基可以由不同向量组成。定义维数之前，必须先证明它们的向量个数相同。
定理
同一个空间的任何基都有相同数目 若 B 1 B_1 B 1 B 2 B_2 B 2 V V V
正因如此，维数才是一个定义良好的概念。否则，“基里有多少个向量”这件
事会随着你选哪一组基而改变，维数就不能成为一个稳定量。
这个定理背后有一个基本的计数原理。
定理
在已被张成的空间中，太多向量必定相依 若 { v 1 , … , v m } \{v_1,\ldots,v_m\} { v 1 , … , v m } V V V V V V m m m
证明
先数系数，再定义维数 目标是在 n > m n\gt m n > m u j ∈ V u_j\in V u j ∈ V m m m v i v_i v i V V V
u j = ∑ i = 1 m a i j v i , C = ( a i j ) ∈ M m , n ( R ) . u_j=\sum_{i=1}^m a_{ij}v_i,\qquad C=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb R). u j = i = 1 ∑ m a ij v i , C = ( a ij ) ∈ M m , n ( R ) . 系数矩阵有 m m m n n n m m m C c = 0 Cc=0 C c = 0 c ∈ R n c\in\mathbb R^n c ∈ R n
∑ j = 1 n c j u j = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j c j ) v i = 0. \sum_{j=1}^n c_ju_j
=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}c_j\right)v_i=0. j = 1 ∑ n c j u j = i = 1 ∑ m ( j = 1 ∑ n a ij c j ) v i = 0. 这就是所需的非平凡关系。令各个系数表达式为零，是让向量和为零的充分条件 。这里没有假设生成向量 v i v_i v i m = 0 m=0 m = 0
现在设两组有限基分别有 r , s r,s r , s s ≤ r s\le r s ≤ r r ≤ s r\le s r ≤ s r = s r=s r = s
维数就是独立方向的数目
定义
维数 向量空间 V V V dim ( V ) \dim(V) dim ( V ) V V V
维数量度的是：这个空间究竟有多少个真正独立的方向。
dim ( R m ) = m \dim(R^m) = m dim ( R m ) = m dim ( M m n ) = m n \dim(M_{mn}) = mn dim ( M mn ) = mn dim ( P n ) = n + 1 \dim(P_n) = n + 1 dim ( P n ) = n + 1 所有实系数多项式所成的空间是无限维，因为任何有限列表都无法张成
所有幂次 1 , x , x 2 , … 1,x,x^2,\ldots 1 , x , x 2 , …
零子空间是特别情况：
dim ( { 0 } ) = 0. \dim(\{0\}) = 0. dim ({ 0 }) = 0. 它的基是空列表：唯一的线性组合是定义为零的空和，也不存在非平凡系数关系。单元素集合 { 0 } \{0\} { 0 }
子空间有自己的维数
一个向量可以有三个分量，却属于只有两个独立方向的空间。下面的例子区分外层坐标的个数与子空间本身的维数。
例题
R 3 R^3 R 3 令
W = { [ x y 0 ] : x , y ∈ R } . W = \left\{
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 0
\end{bmatrix}
: x, y \in R
\right\}. W = ⎩ ⎨ ⎧ x y 0 : x , y ∈ R ⎭ ⎬ ⎫ . 这就是 R 3 R^3 R 3 z = 0 z = 0 z = 0
考虑
u 1 = [ 1 0 0 ] , u 2 = [ 0 1 0 ] . u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\qquad
u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}. u 1 = 1 0 0 , u 2 = 0 1 0 . W W W
[ x y 0 ] = x u 1 + y u 2 , \begin{bmatrix}
x \\ y \\ 0
\end{bmatrix}
= x u_1 + y u_2, x y 0 = x u 1 + y u 2 , 因此 u 1 u_1 u 1 u 2 u_2 u 2 W W W
它们也线性独立，因为
α 1 u 1 + α 2 u 2 = 0 \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = 0 α 1 u 1 + α 2 u 2 = 0 必有 α 1 = α 2 = 0 \alpha_1 = \alpha_2 = 0 α 1 = α 2 = 0
所以 { u 1 , u 2 } \{u_1, u_2\} { u 1 , u 2 } W W W
dim ( W ) = 2. \dim(W) = 2. dim ( W ) = 2. 由此可见，维数不是在数“向量有多少个坐标”，而是在数“这个空间本身有
多少个独立方向”。
维数如何变成捷径
一旦你知道某个空间的维数，很多基问题就会变得短得多。
若 dim ( V ) = m \dim(V) = m dim ( V ) = m
V V V m m m V V V m m m V V V 少于 m m m V V V
多于 m m m
这就是维数的威力。当向量数目已经和维数吻合时，你往往只需完成一半检
查，就能推出整个结论。
这件事可以整理成一个很有用的三项判准。设 u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n W W W
dim ( W ) = n \dim(W)=n dim ( W ) = n u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n Span { u 1 , … , u n } = W \operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\}=W Span { u 1 , … , u n } = W
只要其中任意两项成立，第三项就会自动成立，而 { u 1 , … , u n } \{u_1,\ldots,u_n\} { u 1 , … , u n } W W W
这通常是写解答时最干净的方法。你不必每次都从头证明“线性独立”和
“张成”两件事；先找出维数，再证明两者之中较容易的一项，另一项便由
定理补上。
例题
在 R 3 R^3 R 3 令
u 1 = [ 1 2 2 ] , u 2 = [ 2 3 4 ] , u 3 = [ 3 8 7 ] . u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\quad
u_2=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix},\quad
u_3=\begin{bmatrix}3\\8\\7\end{bmatrix}. u 1 = 1 2 2 , u 2 = 2 3 4 , u 3 = 3 8 7 . 我们要证明这三个向量形成 R 3 R^3 R 3
先检查线性独立。方程
c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3=0 c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 的系数矩阵是
[ 1 2 3 2 3 8 2 4 7 ] . \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 8\\
2 & 4 & 7
\end{bmatrix}. 1 2 2 2 3 4 3 8 7 . 行化简可得一个每一列都有主元的阶梯形，例如
[ 1 2 3 0 1 − 2 0 0 1 ] . \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}. 1 0 0 2 1 0 3 − 2 1 . 因此齐次方程只有平凡解，u 1 , u 2 , u 3 u_1,u_2,u_3 u 1 , u 2 , u 3
由于 dim ( R 3 ) = 3 \dim(R^3)=3 dim ( R 3 ) = 3 R 3 R^3 R 3 R 3 R^3 R 3
非平凡零组合可以检验给定列表中的冗余。
延伸与缩减向量列表
定理
延伸与删减的结果 若 dim ( V ) = m > 0 \dim(V)=m>0 dim ( V ) = m > 0
少于 m m m V V V
任何少于 m m m V V V
任何多于 m m m
基也是按包含关系极小的张成集：删去任一成员都会失去张成性，否则该成员便可由其余成员表示。反之，相依的张成列表可按冗余定理缩短。基又是 V V V V V V
零空间：用 rank-nullity 检查基
对齐次方程组来说，维数捷径会变得特别具体。设 A A A p × q p \times q p × q r r r
dim ( N ( A ) ) = q − r . \dim(N(A)) = q-r. dim ( N ( A )) = q − r . 含 r r r q − r q-r q − r q = r q=r q = r 6.6 列空间、行空间与秩 将证明它也等于行空间与列空间的维数。
所以 u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n N ( A ) N(A) N ( A )
每个向量真的在零空间中，即 A u j = 0 Au_j=0 A u j = 0
候选向量数目正确，即 n = q − r n=q-r n = q − r
候选向量线性独立。
这样便不需要直接证明完整的集合相等
N ( A ) = Span { u 1 , … , u n } N(A)=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\} N ( A ) = Span { u 1 , … , u n }
例题
检查一组候选向量是否为零空间基 令
A = [ 1 2 0 1 1 1 1 − 1 3 1 5 − 7 ] , W = N ( A ) , A=
\begin{bmatrix}
1&2&0&1\\
1&1&1&-1\\
3&1&5&-7
\end{bmatrix},
\qquad
W=N(A), A = 1 1 3 2 1 1 0 1 5 1 − 1 − 7 , W = N ( A ) , 并令
u 1 = [ 1 − 1 1 1 ] , u 2 = [ 5 − 3 − 1 1 ] . u_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\1\end{bmatrix},
\qquad
u_2=\begin{bmatrix}5\\-3\\-1\\1\end{bmatrix}. u 1 = 1 − 1 1 1 , u 2 = 5 − 3 − 1 1 . 先检查向量是否属于 W W W A u 1 = 0 Au_1=0 A u 1 = 0 A u 2 = 0 Au_2=0 A u 2 = 0 W W W
接着计算 W W W A A A
[ 1 0 2 − 3 0 1 − 1 2 0 0 0 0 ] , \begin{bmatrix}
1&0&2&-3\\
0&1&-1&2\\
0&0&0&0
\end{bmatrix}, 1 0 0 0 1 0 2 − 1 0 − 3 2 0 , 所以 rank ( A ) = 2 \operatorname{rank}(A)=2 rank ( A ) = 2 A A A
dim ( N ( A ) ) = 4 − 2 = 2. \dim(N(A))=4-2=2. dim ( N ( A )) = 4 − 2 = 2. 最后检查线性独立。把候选向量放入一个矩阵：
U = [ u 1 u 2 ] = [ 1 5 − 1 − 3 1 − 1 1 1 ] . U=[u_1\ u_2]
=
\begin{bmatrix}
1&5\\
-1&-3\\
1&-1\\
1&1
\end{bmatrix}. U = [ u 1 u 2 ] = 1 − 1 1 1 5 − 3 − 1 1 . 行化简后每一列都有主元，所以 u 1 , u 2 u_1,u_2 u 1 , u 2 W W W W W W u 1 , u 2 u_1,u_2 u 1 , u 2 N ( A ) N(A) N ( A )
失败情况同样重要：
若某个 u j u_j u j A u j = 0 Au_j=0 A u j = 0 N ( A ) N(A) N ( A )
若列表长度少于或多于 q − r q-r q − r
若列表长度正确但线性相依，它仍然不是基。
从生成列表抽出最小张成集
有时输入不是一组干净的候选基，而是一长串生成向量。这时常见问题是：
这些向量张成的空间维数是多少？有没有办法从原列表中抽出一组基？最有效的
方法是用主元列位置。
定理
主元列给出最小张成集 设
W = Span { u 1 , … , u q } ⊆ R n , U = [ u 1 u 2 ⋯ u q ] . W=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}\subseteq R^n,
\qquad
U=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_q]. W = Span { u 1 , … , u q } ⊆ R n , U = [ u 1 u 2 ⋯ u q ] . 对 U U U d 1 , … , d r d_1,\ldots,d_r d 1 , … , d r
{ u d 1 , … , u d r } \{u_{d_1},\ldots,u_{d_r}\} { u d 1 , … , u d r } 是 W W W dim ( W ) = r \dim(W)=r dim ( W ) = r
主元位置由化简后的矩阵读出，但基向量本身要取自原列表。这和列空间的基
规则是同一个原理。
例题
从生成列表抽出基 令 W = Span { u 1 , u 2 , u 3 } W=\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} W = Span { u 1 , u 2 , u 3 }
u 1 = [ 0 − 1 2 ] , u 2 = [ 1 − 2 7 ] , u 3 = [ − 2 3 − 12 ] . u_1=\begin{bmatrix}0\\-1\\2\end{bmatrix},
\quad
u_2=\begin{bmatrix}1\\-2\\7\end{bmatrix},
\quad
u_3=\begin{bmatrix}-2\\3\\-12\end{bmatrix}. u 1 = 0 − 1 2 , u 2 = 1 − 2 7 , u 3 = − 2 3 − 12 . 把它们放成 U U U
U = [ 0 1 − 2 − 1 − 2 3 2 7 − 12 ] ∼ [ 1 0 1 0 1 − 2 0 0 0 ] . U=
\begin{bmatrix}
0&1&-2\\
-1&-2&3\\
2&7&-12
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&-2\\
0&0&0
\end{bmatrix}. U = 0 − 1 2 1 − 2 7 − 2 3 − 12 ∼ 1 0 0 0 1 0 1 − 2 0 . 主元列是第 1 1 1 2 2 2
{ u 1 , u 2 } \{u_1,u_2\} { u 1 , u 2 } 是 W W W dim ( W ) = 2 \dim(W)=2 dim ( W ) = 2
u 3 = u 1 − 2 u 2 . u_3=u_1-2u_2. u 3 = u 1 − 2 u 2 . 同维数的子空间
维数也控制一个子空间何时等于另一个子空间。设 W W W V V V W W W
dim ( V ) ≤ dim ( W ) . \dim(V) \le \dim(W). dim ( V ) ≤ dim ( W ) . 此外，
dim ( V ) = dim ( W ) 当且仅当 V = W . \dim(V)=\dim(W) \quad\text{当且仅当}\quad V=W. dim ( V ) = dim ( W ) 当且仅当 V = W . 包含关系这个假设很重要。单单维数相等，不足以推出两个子空间相等。例
如 R 2 R^2 R 2
等维推出相等的理由是：取 V V V W W W dim W \dim W dim W W W W
例题
用维数证明两个子空间相等 令
V = Span { [ 1 0 0 ] , [ 0 1 0 ] } V=\operatorname{Span}\left\{
\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}
\right\} V = Span ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 0 , 0 1 0 ⎭ ⎬ ⎫ 并令
W = { [ x y 0 ] : x , y ∈ R } . W=\left\{
\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}:x,y\in R
\right\}. W = ⎩ ⎨ ⎧ x y 0 : x , y ∈ R ⎭ ⎬ ⎫ . V V V V ⊆ W V \subseteq W V ⊆ W dim ( W ) = 2 \dim(W)=2 dim ( W ) = 2 V V V dim ( V ) = 2 \dim(V)=2 dim ( V ) = 2
因此 V V V W W W V = W V=W V = W
常见错误
常见错误
维数不是单纯在数坐标个数 R 3 R^3 R 3
另一个常见错误，是检查完张成就停下来。能张成整个空间，并不代表那组
向量已经没有冗余。
快速检查
思考检查
{ ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) } \{(1,0), (2,0)\} {( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 )} R 2 R^2 R 2 解答 · 答案 不可以。这两个向量方向相同，所以线性相依；而且它们无法张成垂直方向，
因此也张不出整个 R 2 R^2 R 2
思考检查
若 dim ( V ) = 3 \dim(V) = 3 dim ( V ) = 3 V V V 解答 · 答案 基本上不用再证明别的。因为在一个三维空间里，任何三个线性独立向量都
会自动形成一组基，所以它们已经张成 V V V
练习
思考检查
向量 u 1 = ( 1 , 1 , 0 ) u_1 = (1,1,0) u 1 = ( 1 , 1 , 0 ) u 2 = ( 1 , 0 , 1 ) u_2 = (1,0,1) u 2 = ( 1 , 0 , 1 ) u 3 = ( 0 , 1 , 1 ) u_3 = (0,1,1) u 3 = ( 0 , 1 , 1 ) R 3 R^3 R 3 解答 · 引导解答 令
α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 = 0. \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \alpha_3 u_3 = 0. α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 = 0. 逐个坐标比较，可得
α 1 + α 2 = 0 , α 1 + α 3 = 0 , α 2 + α 3 = 0. \alpha_1 + \alpha_2 = 0,\quad
\alpha_1 + \alpha_3 = 0,\quad
\alpha_2 + \alpha_3 = 0. α 1 + α 2 = 0 , α 1 + α 3 = 0 , α 2 + α 3 = 0. 以前两式相减，可得 α 2 = α 3 \alpha_2 = \alpha_3 α 2 = α 3 2 α 2 = 0 2\alpha_2 = 0 2 α 2 = 0 α 2 = 0 \alpha_2 = 0 α 2 = 0 α 1 = α 3 = 0 \alpha_1 = \alpha_3 = 0 α 1 = α 3 = 0
所以三个向量线性独立。由于 R 3 R^3 R 3 R 3 R^3 R 3
先备链接
这一节建立在
6.4 线性相依与线性独立
和
6.3 线性组合与张成 之上。
