1.1 方程结构与三角恒等式

动机

三角运算是否可靠，取决于每一步的逻辑地位是否清楚。恒等式表示两个表达式在声明的共同定义域内处处相等；方程则要求找出定义域内使两边相等的输入。恒等式可以改写方程，但解出若干根并不能证明一个恒等式。

定义域也是结论的一部分。例如 $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ 只在 $\cos\theta\ne0$ 时有意义。分母不为零的限制若没有先写下，清分母、约分或除法就可能增根或漏根。因此，完整解答应先列原方程的定义域，标明每次变形是双向等价还是只产生候选根，再写出全部周期解族，最后回到原式验根。

几何把这些规则连在一起：弧度描述有方向的转动，单位圆终点给出带符号的正弦与余弦坐标；反射产生对称，重复转动产生周期，圆方程产生勾股恒等式。反三角函数只选一个主值，真正的通解还要结合对称性与周期性。

方程及其定义域

定义 1.1.1

（方程、恒等式与声明的定义域）

设 $D$ 是允许的实数输入集合。方程 $F(x)=G(x)$ 的解集为

$$S=\{x\in D:F(x)=G(x)\}.$$

若对每个 $x\in D$，只要 $F(x)$ 与 $G(x)$ 都有定义便有 $F(x)=G(x)$，便称它是在 $D$ 上的恒等式。含有商、正切、余切、正割或余割时，定义域条件不能省略。

若两个方程在 $D$ 中有完全相同的解集，便称它们在 $D$ 上等价。使用共同定义域上的恒等式、两边加减同一个有定义的量，或乘除一个已经证明不为零的量，都会保持等价。平方或乘以可能为零的式子通常只能推出候选根；除以可能为零的式子则会丢掉一种情形，必须分类。

计算时保留原方程的定义域，并在需要时写出逆向推理的条件。化简后的式子可能不再显示原来的零分母；一个被排除的角也可能代表整族周期角。因此，候选解必须同时满足原来的定义域限制和原方程。

定理 1.1.2

（保持解集的方程变形）

固定定义域 $D$。用在 $D$ 上成立的恒等式改写、两边加减同一个有定义的量，以及乘除一个已知不为零的量，都保持解集不变。若某一步只有单向蕴含，所得结果必须称为候选集，并代回原方程检验。

转动、坐标与单位圆恒等式

定义 1.1.3

（弧度与有向几何）

半径 $r\gt0$ 的圆上，若圆心角截得的有向弧位移为 $s$，则其带符号弧度为

$$\theta=\frac{s}{r}.$$

逆时针为正，顺时针为负；一周为 $2\pi$，所以

$$\pi\text{ 弧度}=180^\circ, \qquad 1^\circ=\frac{\pi}{180}\text{ 弧度}.$$

在有向约定下，$s=r\theta$ 是有向弧位移， $A_{\text{signed}}=\tfrac12r^2\theta$ 是带符号的扫过面积。相应的非负总行程弧长与扫过面积分别为 $r|\theta|$ 与 $\tfrac12r^2|\theta|$。当 $|\theta|\gt2\pi$ 时，它们会把重复转动按次数累计，而不是描述一个简单扇形区域的边界长度或面积。

角的顶点在原点且始边沿正 $x$ 轴时，称为标准位置角。除非另有说明，本节所有角都用弧度表示，并允许任意大小的正、负转动。

定义 1.1.4

（坐标定义的三角函数）

角 $\theta$ 的终边与半径为 $r$ 的圆交于 $P(x,y)$，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。定义

$$\sin\theta=\frac yr,\qquad \cos\theta=\frac xr,\qquad \tan\theta=\frac yx,$$

以及

$$\csc\theta=\frac ry,\qquad \sec\theta=\frac rx,\qquad \cot\theta=\frac xy.$$

每个商都要求分母不为零。在单位圆上，终点就是 $(\cos\theta,\sin\theta)$。

所选标准角的函数值为

定理 1.1.5

（弧度几何）

对半径 $r\gt0$ 与带符号角 $\theta$，

$$s=r\theta, \qquad A_{\text{signed}}=\frac12r^2\theta.$$

单位圆终点是 $(\cos\theta,\sin\theta)$；象限决定符号，参考角决定绝对值。

证明: 弧度为何给出弧与有向面积

带符号角 $\theta$ 占整周的比例是 $\theta/(2\pi)$。乘圆周长 $2\pi r$ 得 $s=r\theta$，乘圆面积 $\pi r^2$ 得 $A_{\text{signed}}=\tfrac12r^2\theta$。顺时针扫过时，这些带符号量为负；取绝对值得到总行程弧长与非负扫过面积，并按次数累计重复转动。

定理 1.1.6

（对称性与周期性）

对任意实数 $\theta$，

$$\sin(-\theta)=-\sin\theta, \qquad \cos(-\theta)=\cos\theta,$$$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta, \qquad \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta,$$$$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta, \qquad \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta,$$

余函数关系为

$$\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=\cos\theta, \qquad \cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=\sin\theta,$$$$\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)=\cos\theta, \qquad \cos\left(\frac\pi2+\theta\right)=-\sin\theta.$$$$\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta, \qquad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta.$$

在两边都有定义时，$\tan(-\theta)=-\tan\theta$、 $\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$、$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$；两个余函数正切值分别为 $\cot\theta$ 与 $-\cot\theta$，同样要保留共同定义域。这组关系把任意带符号转角化到参考角，同时保留象限所决定的符号。正割、余割的周期是 $2\pi$，余切的周期是 $\pi$，也都只在各自定义域内陈述。

定理 1.1.7

（共同定义域上的勾股恒等式）

对所有实数 $\theta$，

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.$$

当 $\cos\theta\ne0$ 时，

$$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta;$$

当 $\sin\theta\ne0$ 时，

$$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta.$$

证明: 单位圆如何给出对称、周期与勾股关系

角 $\theta$ 的点为 $(\cos\theta,\sin\theta)$。关于 $x$ 轴反射便是 $-\theta$，转一周回到同一点，转半周使两个坐标同时变号，所以 $y/x$ 在有定义时保持不变。单位圆方程 $x^2+y^2=1$ 给出第一条勾股恒等式；再除以 $\cos^2\theta$ 或 $\sin^2\theta$ 时，必须保留相应的非零条件。

例题 1.1.8

（1. 带符号弧度、坐标、弧与面积）

把 $-45^\circ$ 化为弧度：

$$-45^\circ=-45\frac{\pi}{180}=-\frac\pi4.$$

单位圆终点为 $(\sqrt2/2,-\sqrt2/2)$。若半径为 $3$，则

$$s=-\frac{3\pi}{4}, \qquad A_{\text{signed}}=-\frac{9\pi}{8}.$$

普通弧长与扇形面积分别是 $3\pi/4$、$9\pi/8$；负号只记录顺时针方向，并非物理面积为负。

角的相加与相减

定理 1.1.9

（和角与差角公式）

对任意实数 $\alpha,\beta$，

$$\sin(\alpha\mathbin{\pm}\beta) =\sin\alpha\cos\beta\mathbin{\pm}\cos\alpha\sin\beta,$$$$\cos(\alpha\mathbin{\pm}\beta) =\cos\alpha\cos\beta\mathbin{\mp}\sin\alpha\sin\beta.$$

正切公式为

$$\tan(\alpha\mathbin{\pm}\beta) =\frac{\tan\alpha\mathbin{\pm}\tan\beta} {1\mathbin{\mp}\tan\alpha\tan\beta},$$

但只在 $\tan\alpha$、$\tan\beta$ 与 $\tan(\alpha\mathbin{\pm}\beta)$ 都有定义的共同定义域成立；此时右边分母也必定不为零。

证明: 由余弦差角公式生成和差角公式

在单位圆上取 $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$B=(\cos\beta,\sin\beta)$，并以 $\phi\in[0,\pi]$ 表示 $OA$ 与 $OB$ 之间的较小夹角。有向角差 $\alpha-\beta$ 模 $2\pi$ 后等于 $\phi$ 或 $-\phi$；由余弦的偶对称性与周期性，$\cos\phi=\cos(\alpha-\beta)$。因此余弦定理给出

$$AB^2=2-2\cos(\alpha-\beta),$$

坐标距离公式则给出

$$AB^2=2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta.$$

比较两式即得余弦差角公式。以 $-\beta$ 代替 $\beta$，再用对称关系，可得余弦和角公式；余函数关系给出正弦公式。用正弦式除以对应余弦式可得正切公式，但除法前要声明所有相关余弦不为零。

例题 1.1.10

（2. 和差角的精确值）

利用和差角公式求 $\sin15^\circ$ 的精确值。因为 $15^\circ=45^\circ-30^\circ$，

$$\begin{aligned} \sin15^\circ &=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\frac12 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

结果为正，也与第一象限的小角相符。

例题 1.1.11

（3. 三角形的正切恒等式）

设 $A,B,C$ 为三角形内角，并假设三个正切都有定义。由 $A+B+C=\pi$，

$$\tan C=-\tan(A+B) =-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}.$$

共同定义域排除了直角情形，也保证分母不为零。整理得

$$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C.$$

若不写定义域，这句话会错误地看似包含正切无定义的直角三角形。

由和差角公式生成其他恒等式

证明: 倍角、积与和差公式之间的推导链

在和角公式中令 $\beta=\alpha$ 即得倍角公式。把正弦的和角、差角公式相加或相减，可分别分离 $2\sin\alpha\cos\beta$ 与 $2\cos\alpha\sin\beta$；对余弦公式做同样处理便得另外两个积化和差公式。反过来令 $\alpha=(A+B)/2$、$\beta=(A-B)/2$，便得到四条和差化积公式。

定理 1.1.12

（倍角公式）

对任意实数 $\alpha$，

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha.$$

此外

$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

只在 $\tan\alpha$ 与 $\tan2\alpha$ 都有定义时成立，右边分母也须非零。

定理 1.1.13

（积化和差公式）

对任意实数 $\alpha,\beta$，

$$\sin\alpha\cos\beta =\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\},$$$$\cos\alpha\sin\beta =\frac12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\},$$$$\sin\alpha\sin\beta =-\frac12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\},$$$$\cos\alpha\cos\beta =\frac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}.$$

定理 1.1.14

（和差化积公式）

对任意实数 $A,B$，

$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2},$$$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$$$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2},$$$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$

例题 1.1.15

（4. 半角代换）

令 $t=\tan(\theta/2)$。有限的 $t$ 要求 $\theta\not\equiv\pi\pmod{2\pi}$。倍角与勾股公式给出

$$\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

进一步有

$$\tan\theta=\frac{2t}{1-t^2},$$

但这还要求 $t\ne\pm1$。用半角代换解方程时，必须另外检查遗漏的 $\theta\equiv\pi\pmod{2\pi}$，并保留原方程的所有分母限制。

主值与完整的周期解族

同一个正弦值或余弦值对应无穷多个角，因此这两个函数在整个 $\mathbb R$ 上都没有反函数。限制定义域可以选出一个代表角，再用对称性与周期性找回其余解。

定义 1.1.16

（反三角函数的主值范围）

把正弦限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$，余弦限制在 $[0,\pi]$，正切限制在 $(-\pi/2,\pi/2)$，便得到

$$\sin^{-1}:[-1,1]\longrightarrow[-\pi/2,\pi/2],$$$$\cos^{-1}:[-1,1]\longrightarrow[0,\pi], \qquad \tan^{-1}:\mathbb R\longrightarrow(-\pi/2,\pi/2).$$

这里的上标 $-1$ 表示反函数，不表示倒数；例如 $\sin^{-1}k$ 不是 $\csc k$。

定理 1.1.17

（三类三角方程的完整通解）

设 $n\in\mathbb Z$。若 $k\in[-1,1]$ 且 $\alpha=\sin^{-1}k$，则

$$\sin\theta=k \quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\alpha+2n\pi \quad\text{或}\quad \theta=\pi-\alpha+2n\pi.$$

若 $k\in[-1,1]$ 且 $\alpha=\cos^{-1}k$，则

$$\cos\theta=k \quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\mathbin{\pm}\alpha+2n\pi.$$

若 $k\in\mathbb R$ 且 $\alpha=\tan^{-1}k$，则

$$\tan\theta=k \quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\alpha+n\pi.$$

端点情形中两个正弦或余弦分支可能重合，这只是重复书写。

证明: 通解为何不能只写主值

水平直线与单位圆通常交于两点，其对应角为 $\alpha$、 $\pi-\alpha$，所以正弦有两个代表角，再加整周；竖直直线也交于两点，其对应角为 $\alpha$、$-\alpha$，所以余弦也有两支。正切表示斜率，转半周后斜率相同，因此只有 $\alpha+n\pi$ 一族。固定主值范围只是选代表角，并未消除周期性。

例题 1.1.18

（5. 有理正切方程）

求解

$$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=1+\sin2x.$$

原定义域要求 $\cos x\ne0$、$\tan x\ne1$。令 $t=\tan x$，因此 $t\ne1$，并用 $\sin2x=2t/(1+t^2)$。在这些条件下清分母是等价的：

$$(1+t)(1+t^2)=(1-t)(1+t^2)+2t(1-t),$$

所以 $2t^2(1+t)=0$。两个候选值 $t=0,-1$ 都满足原式，故

$$x=n\pi \quad\text{或}\quad x=-\frac\pi4+n\pi, \qquad n\in\mathbb Z.$$

例题 1.1.19

（6. 先因式分解，再限制区间）

利用和差化积及 $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$，

$$\begin{aligned} \cos2x+2\cos3x+\cos4x &=2\cos3x(\cos x+1)\\ &=4\cos3x\cos^2\frac x2. \end{aligned}$$

因此零点满足 $\cos3x=0$ 或 $\cos(x/2)=0$。第一支为 $x=\pi/6+n\pi/3$，第二支在 $[0,2\pi]$ 添加 $x=\pi$。区间内按大小排列的答案是

$$\left\{\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}6,\pi, \frac{7\pi}6,\frac{3\pi}2,\frac{11\pi}6\right\}.$$

合并正弦项与余弦项

定理 1.1.20

（辅助角形式）

实数 $a,b$ 不同时为零时，令 $R=\sqrt{a^2+b^2}$。唯一的 $\alpha\in[0,2\pi)$ 必须同时满足

$$R\cos\alpha=a, \qquad R\sin\alpha=b,$$

于是

$$a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha).$$

当 $a\ne0$ 时，比值 $\tan\alpha=b/a$ 至多确定相差 $\pi$ 的两个方向；正确象限由两条带符号的系数方程共同决定。类似地，若 $R\sin\beta=a$、$R\cos\beta=b$，便有 $a\sin\theta+b\cos\theta=R\cos(\theta-\beta)$。

例题 1.1.21

（7. 用符号选辅助角）

把 $\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$ 化为两种辅助角形式。正弦形式要求

$$R\cos\alpha=\sqrt3, \qquad R\sin\alpha=-1.$$

故 $R=2$，余弦正而正弦负，$\alpha$ 在第四象限，取 $\alpha=11\pi/6$。余弦形式则要求 $R\sin\beta=\sqrt3$、$R\cos\beta=-1$，所以 $\beta$ 在第二象限，取 $2\pi/3$。因此

$$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta =2\sin\left(\theta+\frac{11\pi}{6}\right) =2\cos\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right).$$

只看正切比值无法排除对面象限的角。

例题 1.1.22

（8. 求出正弦方程的两支解）

因为

$$\sqrt3\cos x-\sin x =2\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right),$$

方程 $\sqrt3\cos x-\sin x=1$ 化为 $\sin(x+2\pi/3)=1/2$。两支分别给出

$$x=-\frac\pi2+2n\pi \quad\text{或}\quad x=\frac\pi6+2n\pi.$$

代入 $x=\pi/6$ 可检验第二支： $3/2-1/2=1$。

回到原方程检验

例题 1.1.23

（9. 分母限制与验根）

求解

$$8\cos x=\frac1{\cos x}-\frac{\sqrt3}{\sin x}.$$

先声明 $\sin x\ne0$、$\cos x\ne0$。在此定义域乘 $\sin x\cos x$ 是等价变形。整理并用积化和差得

$$2\sin2x\cos x=\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x,$$$$\sin3x=\sin\left(x+\frac{4\pi}{3}\right).$$

正弦的两支通解给出

$$x=\frac{2\pi}{3}+n\pi \quad\text{或}\quad x=-\frac\pi{12}+\frac{n\pi}{2}, \qquad n\in\mathbb Z.$$

两族都不会使正弦或余弦为零，所以都通过原定义域筛选；代回等价的清分母方程即可确认完整性。

常见错误

常见错误

（把方程当作恒等式）

$\sin x=1/2$ 只在解集上成立；$\sin^2x+\cos^2x=1$ 才是在声明定义域上处处成立。变形前先说明所处理的是哪一种命题。

常见错误

（只写反三角函数主值）

主值只是代表角。必须利用对称与周期写出全部正弦、余弦或正切解族，然后才限制到题目指定的区间。

常见错误

（忽略正切公式的共同定义域）

正弦、余弦的和差角公式对所有实数角成立；正切公式是商，必须检查两个输入角及其和或差的余弦均不为零。

常见错误

（除掉可能为零的因子）

从 $F(x)G(x)=0$ 直接除以 $F(x)$ 会删去 $F(x)=0$ 的整种情形。除非已证明非零，否则应使用零乘积法则或分类讨论。

常见错误

（清分母后忘记原来的排除值）

清分母前先写所有分母不为零的条件。最后的解必须经过这些条件筛选，并在原有理三角方程中验根。

常见错误

（以为半角代换覆盖整圆）

有限的 $t=\tan(\theta/2)$ 遗漏 $\theta\equiv\pi\pmod{2\pi}$；正切的有理式还要求 $1-t^2\ne0$。

常见错误

（只凭正切比值选择辅助角）

正切只能把角确定到模 $\pi$。必须同时使用 $R\cos\alpha=a$、$R\sin\alpha=b$ 的符号来选象限。

常见错误

（把有向面积当成普通面积）

角带符号时，$\tfrac12r^2\theta$ 是有向扫过面积；非负扫过面积要使用 $|\theta|$。多周角会把每次扫过累计起来，而不是描述一个简单扇形区域。

总结

验根不是形式上的附加步骤；它确认定义域、每个分支与等价条件都没有在变形链中丢失。

• 先声明原方程定义域与分母排除值；标记单向步骤，并在原式验根。
• 弧度连接有向转动、弧与扫过面积；单位圆给出坐标、符号、对称与周期。
• 勾股、和差角、倍角、积化和差及和差化积公式可以互相推导；商式必须附共同定义域。
• 反三角函数提供主值，单位圆对称与周期才产生完整通解。
• 辅助角的 $R=\sqrt{a^2+b^2}$ 来自系数平方和，象限来自两条带符号的系数方程。
• 解有理三角方程时，先排除分母零点，再在允许的定义域内变形、求解与核验。

练习

1. 在两边的共同定义域上证明 $$\tan(A+B)+\tan(A-B) =\frac{2\sin2A}{\cos2A+\cos2B}.$$
2. 推导 $$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta, \qquad \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta.$$
3. 证明 $$4\cos\theta\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right) \cos\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)=\cos3\theta.$$
4. 证明 $$\sin^2\theta+\sin^2\phi-\sin^2(\theta-\phi) =2\sin\theta\sin\phi\cos(\theta-\phi).$$
5. 若 $A,B,C$ 为三角形内角，证明 $$\tan\frac A2\tan\frac B2 +\tan\frac B2\tan\frac C2 +\tan\frac C2\tan\frac A2=1.$$
6. 若 $A,B,C$ 为三角形内角，证明 $$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C =1-2\cos A\cos B\cos C.$$
7. 对实数 $a,b$ 且 $b\ne0$，推导 $a\sin\theta+b\cos\theta=R\cos(\theta-\alpha)$，其中 $R\gt0$，并写出无象限歧义地确定 $\alpha\in[0,2\pi)$ 的条件。
8. 写出 $\sin\theta=-1/2$、$\cos\theta=\sqrt2/2$ 与 $\tan\theta=-\sqrt3$ 的全部实数解。

答案与解答

解答 · 解答 1

在所有商都有定义处，通分后分子为 $\sin(A+B)\cos(A-B)+\sin(A-B)\cos(A+B)=\sin2A$。又有

$$2\cos(A+B)\cos(A-B)=\cos2A+\cos2B.$$

代入即得所求。共同定义域条件保证两个分母均不为零。

解答 · 解答 2

把 $3\theta$ 写成 $2\theta+\theta$，使用和角与倍角公式：

$$\sin3\theta =2\sin\theta\cos^2\theta +(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\sin\theta =3\sin\theta-4\sin^3\theta,$$$$\cos3\theta =(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\cos\theta -2\sin^2\theta\cos\theta =4\cos^3\theta-3\cos\theta.$$

解答 · 解答 3

积化和差给出

$$2\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right) \cos\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right) =-\frac12+\cos2\theta.$$

再乘 $2\cos\theta$，得到 $4\cos^3\theta-3\cos\theta=\cos3\theta$。

解答 · 解答 4

展开 $\sin(\theta-\phi)$，左边化为

$$2\sin^2\theta\sin^2\phi +2\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi.$$

提出 $2\sin\theta\sin\phi$，括号内正是 $\cos(\theta-\phi)$，故结论成立。

解答 · 解答 5

令 $u=A/2$、$v=B/2$、$w=C/2$，则 $u+v+w=\pi/2$，且三个余弦均为正。展开和角余弦并提出它们的乘积：

$$0=\cos u\cos v\cos w \left(1-\tan u\tan v-\tan v\tan w-\tan w\tan u\right).$$

所以括号为零，移项即得原式。

解答 · 解答 6

由 $C=\pi-(A+B)$ 得 $\cos C+\cos A\cos B=\sin A\sin B$。于是

$$\begin{aligned} &\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C\\ &=(\cos C+\cos A\cos B)^2 +\cos^2A+\cos^2B-\cos^2A\cos^2B=1. \end{aligned}$$

把乘积项移到右边即可。

解答 · 解答 7

展开

$$R\cos(\theta-\alpha) =R\cos\theta\cos\alpha+R\sin\theta\sin\alpha.$$

比较系数得 $R\sin\alpha=a$、$R\cos\alpha=b$，平方相加得 $R=\sqrt{a^2+b^2}$。$\tan\alpha=a/b$ 只给方向；两条系数方程的符号选出 $[0,2\pi)$ 中唯一的角。

解答 · 解答 8

利用主值范围和完整通解公式，

$$\sin\theta=-\frac12: \quad \theta=-\frac\pi6+2n\pi \quad\text{或}\quad \theta=\frac{7\pi}{6}+2n\pi,$$$$\cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}: \quad \theta=\mathbin{\pm}\frac\pi4+2n\pi,$$$$\tan\theta=-\sqrt3: \quad \theta=-\frac\pi3+n\pi, \qquad n\in\mathbb Z.$$