同一个椭圆的几种描述
椭圆可以由一个焦点与一条准线定义，也可以由两个焦点及固定距离和定义，还可以写成二次方程。不同描述适合不同问题：距离定义说明哪些点在曲线上，以及反射为何连接两个焦点；方程与参数化则方便计算切线。
采用中心在原点、长轴水平的椭圆。全节假设 0 < e < 1 0\lt e\lt1 0 < e < 1 a > b > 0 a>b>0 a > b > 0 a , b a,b a , b
c = a e , b = a 1 − e 2 , c 2 = a 2 − b 2 . c=ae,\qquad b=a\sqrt{1-e^2},\qquad c^2=a^2-b^2. c = a e , b = a 1 − e 2 , c 2 = a 2 − b 2 . 严格不等式保证椭圆非退化，两个焦点相异且位于内部。若长轴竖直，只须交换坐标角色；以下公式始终采用水平长轴约定。平移或旋转后的椭圆仍保留距离与反射性质，但坐标方程可能改变形式。
从焦点与准线得到中心方程
先把准线放在坐标轴上，方便写出距离条件；配方后再把原点移到中心，便能读出半轴长度。采用坐标 ( x ˉ , y ˉ ) (\bar x,\bar y) ( x ˉ , y ˉ ) ( k , 0 ) (k,0) ( k , 0 ) k > 0 k>0 k > 0 x ˉ = 0 \bar x=0 x ˉ = 0
( x ˉ − k ) 2 + y ˉ 2 = e ∣ x ˉ ∣ . \sqrt{(\bar x-k)^2+\bar y^2}=e|\bar x|. ( x ˉ − k ) 2 + y ˉ 2 = e ∣ x ˉ ∣. 两边都非负，所以平方与原条件等价。展开得到
( 1 − e 2 ) x ˉ 2 − 2 k x ˉ + y ˉ 2 + k 2 = 0. (1-e^2)\bar x^2-2k\bar x+\bar y^2+k^2=0. ( 1 − e 2 ) x ˉ 2 − 2 k x ˉ + y ˉ 2 + k 2 = 0. 利用 1 − e 2 > 0 1-e^2>0 1 − e 2 > 0
( 1 − e 2 ) ( x ˉ − k 1 − e 2 ) 2 + y ˉ 2 = k 2 e 2 1 − e 2 . (1-e^2)\left(\bar x-\frac{k}{1-e^2}\right)^2+\bar y^2
=\frac{k^2e^2}{1-e^2}. ( 1 − e 2 ) ( x ˉ − 1 − e 2 k ) 2 + y ˉ 2 = 1 − e 2 k 2 e 2 . 定义 x = x ˉ − k / ( 1 − e 2 ) x=\bar x-k/(1-e^2) x = x ˉ − k / ( 1 − e 2 ) y = y ˉ y=\bar y y = y ˉ a = k e / ( 1 − e 2 ) a=ke/(1-e^2) a = k e / ( 1 − e 2 ) b = a 1 − e 2 b=a\sqrt{1-e^2} b = a 1 − e 2
中心在原点的椭圆为
E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , a > b > 0. E:\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a>b>0. E : a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 , a > b > 0. 焦点为 F 1 = ( − c , 0 ) F_1=(-c,0) F 1 = ( − c , 0 ) F 2 = ( c , 0 ) F_2=(c,0) F 2 = ( c , 0 ) c = a e = a 2 − b 2 c=ae=\sqrt{a^2-b^2} c = a e = a 2 − b 2 D 1 : x = − a / e D_1:x=-a/e D 1 : x = − a / e D 2 : x = a / e D_2:x=a/e D 2 : x = a / e
原焦点平移后成为 ( k − k / ( 1 − e 2 ) , 0 ) = ( − a e , 0 ) (k-k/(1-e^2),0)=(-ae,0) ( k − k / ( 1 − e 2 ) , 0 ) = ( − a e , 0 ) x = − k / ( 1 − e 2 ) = − a / e x=-k/(1-e^2)=-a/e x = − k / ( 1 − e 2 ) = − a / e a / e > a a/e>a a / e > a
到两个焦点的距离和
设 F 1 = ( − a e , 0 ) F_1=(-ae,0) F 1 = ( − a e , 0 ) F 2 = ( a e , 0 ) F_2=(ae,0) F 2 = ( a e , 0 ) a > 0 a>0 a > 0 0 < e < 1 0\lt e\lt1 0 < e < 1 P = ( x , y ) P=(x,y) P = ( x , y ) E E E
∣ P F 1 ∣ + ∣ P F 2 ∣ = 2 a . |PF_1|+|PF_2|=2a. ∣ P F 1 ∣ + ∣ P F 2 ∣ = 2 a . 写成 d 1 = ( x + a e ) 2 + y 2 d_1=\sqrt{(x+ae)^2+y^2} d 1 = ( x + a e ) 2 + y 2 d 2 = ( x − a e ) 2 + y 2 d_2=\sqrt{(x-ae)^2+y^2} d 2 = ( x − a e ) 2 + y 2 d 1 + d 2 = 2 a d_1+d_2=2a d 1 + d 2 = 2 a
( d 1 − d 2 ) ( d 1 + d 2 ) = 4 a e x , d 1 − d 2 = 2 e x . (d_1-d_2)(d_1+d_2)=4aex,
\qquad d_1-d_2=2ex. ( d 1 − d 2 ) ( d 1 + d 2 ) = 4 a e x , d 1 − d 2 = 2 e x . 由于 2 a > 0 2a>0 2 a > 0 d 1 = a + e x d_1=a+ex d 1 = a + e x d 2 = a − e x d_2=a-ex d 2 = a − e x
( 1 − e 2 ) x 2 + y 2 = a 2 ( 1 − e 2 ) , (1-e^2)x^2+y^2=a^2(1-e^2), ( 1 − e 2 ) x 2 + y 2 = a 2 ( 1 − e 2 ) , 这就是椭圆方程。
反过来，假设椭圆方程成立。非负平方项给出 ∣ x ∣ ≤ a |x|\le a ∣ x ∣ ≤ a y 2 = b 2 ( 1 − x 2 / a 2 ) y^2=b^2(1-x^2/a^2) y 2 = b 2 ( 1 − x 2 / a 2 )
d 1 2 = ( a + e x ) 2 , d 2 2 = ( a − e x ) 2 . d_1^2=(a+ex)^2,\qquad d_2^2=(a-ex)^2. d 1 2 = ( a + e x ) 2 , d 2 2 = ( a − e x ) 2 . a ± e x a\pm ex a ± e x a − e ∣ x ∣ ≥ a ( 1 − e ) > 0 a-e|x|\ge a(1-e)>0 a − e ∣ x ∣ ≥ a ( 1 − e ) > 0 d 1 = a + e x d_1=a+ex d 1 = a + e x d 2 = a − e x d_2=a-ex d 2 = a − e x 2 a 2a 2 a
概念视角 几何
距离比与距离和刻画同一条椭圆 椭圆上点到 D 1 D_1 D 1 x + a / e x+a/e x + a / e e e e a + e x = d 1 a+ex=d_1 a + e x = d 1 D 2 D_2 D 2 a / e − x a/e-x a / e − x a − e x = d 2 a-ex=d_2 a − e x = d 2 2 a 2a 2 a
参数化、切线与法线
参数化
γ ( θ ) = ( a cos θ , b sin θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2 π \gamma(\theta)=(a\cos\theta,b\sin\theta),\qquad 0\le\theta\le2\pi γ ( θ ) = ( a cos θ , b sin θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2 π 覆盖整个椭圆，因为归一化坐标 ( x / a , y / b ) (x/a,y/b) ( x / a , y / b ) ( − a sin θ , b cos θ ) (-a\sin\theta,b\cos\theta) ( − a sin θ , b cos θ )
定理 11.2.3
（不受斜率例外限制的切线与法线）
在 P = ( x 0 , y 0 ) ∈ E P=(x_0,y_0)\in E P = ( x 0 , y 0 ) ∈ E n = ( x 0 / a 2 , y 0 / b 2 ) \mathbf n=(x_0/a^2,y_0/b^2) n = ( x 0 / a 2 , y 0 / b 2 )
x x 0 a 2 + y y 0 b 2 = 1. \frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1. a 2 x x 0 + b 2 y y 0 = 1. 法线为 ( x , y ) = ( x 0 , y 0 ) + s n (x,y)=(x_0,y_0)+s\mathbf n ( x , y ) = ( x 0 , y 0 ) + s n s ∈ R s\in\mathbb R s ∈ R
中心不在椭圆上，所以这个法向量非零。在参数点处，它等于
( cos θ / a , sin θ / b ) (\cos\theta/a,\sin\theta/b) ( cos θ / a , sin θ / b ) n ⋅ ( ( x , y ) − ( x 0 , y 0 ) ) = 0 \mathbf n\cdot((x,y)-(x_0,y_0))=0 n ⋅ (( x , y ) − ( x 0 , y 0 )) = 0 x 0 2 / a 2 + y 0 2 / b 2 = 1 x_0^2/a^2+y_0^2/b^2=1 x 0 2 / a 2 + y 0 2 / b 2 = 1
隐函数求导得到斜率 − b 2 x 0 / ( a 2 y 0 ) -b^2x_0/(a^2y_0) − b 2 x 0 / ( a 2 y 0 ) y 0 ≠ 0 y_0\ne0 y 0 = 0 x 0 x_0 x 0 y 0 y_0 y 0
在 ( a , 0 ) (a,0) ( a , 0 ) x = a x=a x = a ( 0 , b ) (0,b) ( 0 , b ) y = b y=b y = b x = − a x=-a x = − a y = − b y=-b y = − b
x cos θ a + y sin θ b = 1. \frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1. a x cos θ + b y sin θ = 1. 代入 θ = 0 \theta=0 θ = 0 θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2
从一个焦点反射到另一个焦点
在椭圆点 P P P
u i = P − F i ∣ P − F i ∣ , i = 1 , 2. \mathbf u_i=\frac{P-F_i}{|P-F_i|},\qquad i=1,2. u i = ∣ P − F i ∣ P − F i , i = 1 , 2. 它们分别从焦点指向 P P P P = γ ( θ ) P=\gamma(\theta) P = γ ( θ )
γ ′ ( θ ) ⋅ ( u 1 + u 2 ) = 0. \gamma'(\theta)\cdot(\mathbf u_1+\mathbf u_2)=0. γ ′ ( θ ) ⋅ ( u 1 + u 2 ) = 0. 所以 N = u 1 + u 2 \mathbf N=\mathbf u_1+\mathbf u_2 N = u 1 + u 2 P P P 2 c < 2 a 2c\lt2a 2 c < 2 a
证明: 分清入射运动与离开后朝向焦点的方向
从 F 1 F_1 F 1 u 1 \mathbf u_1 u 1 P P P F 2 F_2 F 2 − u 2 -\mathbf u_2 − u 2 u 2 \mathbf u_2 u 2 N ^ = N / ∥ N ∥ \widehat{\mathbf N}=\mathbf N/\|\mathbf N\| N = N /∥ N ∥
u 1 − 2 ( u 1 ⋅ N ^ ) N ^ . \mathbf u_1-2(\mathbf u_1\cdot\widehat{\mathbf N})\widehat{\mathbf N}. u 1 − 2 ( u 1 ⋅ N ) N . 两个焦点方向都是单位向量，所以
u 1 ⋅ N = 1 + u 1 ⋅ u 2 \mathbf u_1\cdot\mathbf N=1+\mathbf u_1\cdot\mathbf u_2 u 1 ⋅ N = 1 + u 1 ⋅ u 2 ∥ N ∥ 2 = 2 ( 1 + u 1 ⋅ u 2 ) > 0 \|\mathbf N\|^2=2(1+\mathbf u_1\cdot\mathbf u_2)>0 ∥ N ∥ 2 = 2 ( 1 + u 1 ⋅ u 2 ) > 0 N \mathbf N N u 1 − N = − u 2 \mathbf u_1-\mathbf N=-\mathbf u_2 u 1 − N = − u 2
同一计算也表示入射角等于反射角。它只使用法向方向，因此改变单位法向量的正负号，不会改变结果。在长轴顶点，光线沿轴返回另一焦点；这是证明已经包含的情形，不必用会出现零分母的切线斜率另行处理。
设焦点为 ( 9 , 20 ) (9,20) ( 9 , 20 ) ( 49 , 55 ) (49,55) ( 49 , 55 ) X X X x x x F 1 ′ = ( 9 , − 20 ) F_1'=(9,-20) F 1 ′ = ( 9 , − 20 ) F 1 ′ F_1' F 1 ′ X X X F 2 = ( 49 , 55 ) F_2=(49,55) F 2 = ( 49 , 55 )
2 a = ∣ X F 1 ∣ + ∣ X F 2 ∣ = ∣ F 1 ′ F 2 ∣ = 40 2 + 75 2 = 85 , a = 85 2 . 2a=|XF_1|+|XF_2|=|F_1'F_2|
=\sqrt{40^2+75^2}=85,\qquad a=\frac{85}{2}. 2 a = ∣ X F 1 ∣ + ∣ X F 2 ∣ = ∣ F 1 ′ F 2 ∣ = 4 0 2 + 7 5 2 = 85 , a = 2 85 . 直线为 F 1 ′ + t ( 40 , 75 ) F_1'+t(40,75) F 1 ′ + t ( 40 , 75 ) t = 20 / 75 = 4 / 15 t=20/75=4/15 t = 20/75 = 4/15 X = ( 59 / 3 , 0 ) X=(59/3,0) X = ( 59/3 , 0 ) 85 ( 4 / 15 ) = 68 / 3 85(4/15)=68/3 85 ( 4/15 ) = 68/3 85 ( 11 / 15 ) = 187 / 3 85(11/15)=187/3 85 ( 11/15 ) = 187/3 85 85 85
还可检查存在性，而不只是求出必要长度。实际焦点距离为
40 2 + 35 2 = 5 113 < 85 \sqrt{40^2+35^2}=5\sqrt{113}\lt85 4 0 2 + 3 5 2 = 5 113 < 85 x x x Y Y Y ∣ Y F 1 ∣ + ∣ Y F 2 ∣ = ∣ Y F 1 ′ ∣ + ∣ Y F 2 ∣ ≥ 85 |YF_1|+|YF_2|=|YF_1'|+|YF_2|\ge85 ∣ Y F 1 ∣ + ∣ Y F 2 ∣ = ∣ Y F 1 ′ ∣ + ∣ Y F 2 ∣ ≥ 85 X X X X X X
快速检查
（离开反射点后朝向第二焦点的是哪个方向？）
解答 · 答案 是 − u 2 = ( F 2 − P ) / ∣ P − F 2 ∣ -\mathbf u_2=(F_2-P)/|P-F_2| − u 2 = ( F 2 − P ) /∣ P − F 2 ∣ u 2 \mathbf u_2 u 2
互动 · 探索
切线把一个焦点的光线反射至另一焦点
在上半弧拖动 P 或改变 t，读出两段焦距及其总和。
切线把一个焦点的光线反射至另一焦点 x y 0 F₂ F₁ P P ≈ (1.5, 1.732) |PF₁| ≈ 4.118 |PF₂| ≈ 1.882 |PF₁| + |PF₂| 6 成立：焦点路径的总长为 6
∣ P F 1 ∣ = 3 + 5 cos t |PF_1|=3+\sqrt5\cos t ∣ P F 1 ∣ = 3 + 5 cos t ∣ P F 2 ∣ = 3 − 5 cos t |PF_2|=3-\sqrt5\cos t ∣ P F 2 ∣ = 3 − 5 cos t
要留意 在 x 2 / 9 + y 2 / 4 = 1 x^2/9+y^2/4=1 x 2 /9 + y 2 /4 = 1 F 1 = ( − 5 , 0 ) F_1=(-\sqrt5,0) F 1 = ( − 5 , 0 ) F 2 = ( 5 , 0 ) F_2=(\sqrt5,0) F 2 = ( 5 , 0 ) F 1 → P → F 2 F_1\to P\to F_2 F 1 → P → F 2 6 6 6 ( x / 9 , y / 4 ) (x/9,y/4) ( x /9 , y /4 ) F 2 F_2 F 2
垂直半径向量对应的两条切线
让 P , Q P,Q P , Q E E E O P ⊥ O Q OP\perp OQ O P ⊥ O Q O O O T T T
定理 11.2.6
（垂直半径所对应的切线交点轨迹）
完整轨迹是
x 2 a 4 + y 2 b 4 = 1 a 2 + 1 b 2 . \frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}. a 4 x 2 + b 4 y 2 = a 2 1 + b 2 1 . 从候选交点反求切点时，把椭圆的两个坐标分别除以 a , b a,b a , b T = ( h , k ) T=(h,k) T = ( h , k ) v = ( h / a , k / b ) \mathbf v=(h/a,k/b) v = ( h / a , k / b ) M = ∥ v ∥ 2 M=\|\mathbf v\|^2 M = ∥ v ∥ 2 ( a u 1 , b u 2 ) (a u_1,b u_2) ( a u 1 , b u 2 ) u = ( u 1 , u 2 ) \mathbf u=(u_1,u_2) u = ( u 1 , u 2 ) T T T v ⋅ u = 1 \mathbf v\cdot\mathbf u=1 v ⋅ u = 1 u \mathbf u u v \mathbf v v v \mathbf v v
令 J v = ( − v 2 , v 1 ) J\mathbf v=(-v_2,v_1) J v = ( − v 2 , v 1 ) v \mathbf v v v \mathbf v v M > 1 M>1 M > 1
u ± = v ± M − 1 J v M . \mathbf u_\pm=\frac{\mathbf v\pm\sqrt{M-1}\,J\mathbf v}{M}. u ± = M v ± M − 1 J v . 推导方法是：沿 v \mathbf v v v / M \mathbf v/M v / M v \mathbf v v v \mathbf v v ( M + ( M − 1 ) M ) / M 2 = 1 (M+(M-1)M)/M^2=1 ( M + ( M − 1 ) M ) / M 2 = 1
两个坐标按不同倍数缩放，一般不保持角度。因此垂直条件须施加在实际半径向量
P = ( a u + , 1 , b u + , 2 ) P=(a u_{+,1},b u_{+,2}) P = ( a u + , 1 , b u + , 2 ) Q = ( a u − , 1 , b u − , 2 ) Q=(a u_{-,1},b u_{-,2}) Q = ( a u − , 1 , b u − , 2 )
P ⋅ Q = a 2 + b 2 − b 2 h 2 / a 2 − a 2 k 2 / b 2 M . P\cdot Q
=\frac{a^2+b^2-b^2h^2/a^2-a^2k^2/b^2}{M}. P ⋅ Q = M a 2 + b 2 − b 2 h 2 / a 2 − a 2 k 2 / b 2 . 具体地，化简前以 M 2 M^2 M 2 a 2 ( v 1 2 − ( M − 1 ) v 2 2 ) + b 2 ( v 2 2 − ( M − 1 ) v 1 2 ) a^2(v_1^2-(M-1)v_2^2)+b^2(v_2^2-(M-1)v_1^2) a 2 ( v 1 2 − ( M − 1 ) v 2 2 ) + b 2 ( v 2 2 − ( M − 1 ) v 1 2 ) v 1 2 + v 2 2 = M v_1^2+v_2^2=M v 1 2 + v 2 2 = M P ⋅ Q = 0 P\cdot Q=0 P ⋅ Q = 0 a 2 b 2 a^2b^2 a 2 b 2
先证必要性。垂直的非零半径向量既不同向也不反向，所以它们的切线有唯一有限交点。两个相异单位切点坐标同时满足 v ⋅ u = 1 \mathbf v\cdot\mathbf u=1 v ⋅ u = 1 M > 1 M>1 M > 1 M < 1 M\lt1 M < 1 M = 1 M=1 M = 1 u = v \mathbf u=\mathbf v u = v
再证逆向。若 T T T
M = a 2 h 2 a 4 + b 2 k 2 b 4 ≥ b 2 ( 1 a 2 + 1 b 2 ) = 1 + b 2 a 2 > 1. M=a^2\frac{h^2}{a^4}+b^2\frac{k^2}{b^4}
\ge b^2\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right)
=1+\frac{b^2}{a^2}>1. M = a 2 a 4 h 2 + b 2 b 4 k 2 ≥ b 2 ( a 2 1 + b 2 1 ) = 1 + a 2 b 2 > 1. 所以构造出的两个切点存在且相异，切线都经过 T T T v \mathbf v v 1 / a 1/a 1/ a 1 / b 1/b 1/ b T T T
取 P = ( a , 0 ) P=(a,0) P = ( a , 0 ) Q = ( 0 , b ) Q=(0,b) Q = ( 0 , b ) x = a x=a x = a y = b y=b y = b T = ( a , b ) T=(a,b) T = ( a , b ) 1 / a 2 1/a^2 1/ a 2 1 / b 2 1/b^2 1/ b 2 a > b a>b a > b
快速检查
解答 · 答案 仅由 d i 2 = ( a ± e x ) 2 d_i^2=(a\pm ex)^2 d i 2 = ( a ± e x ) 2 ∣ x ∣ ≤ a |x|\le a ∣ x ∣ ≤ a 0 < e < 1 0\lt e\lt1 0 < e < 1 a ± e x ≥ a ( 1 − e ) > 0 a\pm ex\ge a(1-e)>0 a ± e x ≥ a ( 1 − e ) > 0 a ± e x a\pm ex a ± e x
解答 · 答案 适用。在 ( a , 0 ) (a,0) ( a , 0 ) ( 1 / a , 0 ) (1/a,0) ( 1/ a , 0 ) x = a x=a x = a
练习
对 a > b > 0 a>b>0 a > b > 0 a , b a,b a , b e , c e,c e , c
在 P = ( a cos θ , b sin θ ) P=(a\cos\theta,b\sin\theta) P = ( a cos θ , b sin θ )
求 ( − a , 0 ) (-a,0) ( − a , 0 ) ( 0 , − b ) (0,-b) ( 0 , − b )
在两个数值焦点的例题中，求出切点，并说明半长轴为何是 85 / 2 85/2 85/2 85 85 85
用 N = u 1 + u 2 \mathbf N=\mathbf u_1+\mathbf u_2 N = u 1 + u 2 u 1 \mathbf u_1 u 1 − u 2 -\mathbf u_2 − u 2
对垂直半径轨迹上的交点 T T T M > 1 M>1 M > 1
引导解答
解答 · 参考解答 1 e = 1 − b 2 / a 2 e=\sqrt{1-b^2/a^2} e = 1 − b 2 / a 2 c = a 2 − b 2 c=\sqrt{a^2-b^2} c = a 2 − b 2 x = ± a / e = ± a 2 / a 2 − b 2 x=\pm a/e=\pm a^2/\sqrt{a^2-b^2} x = ± a / e = ± a 2 / a 2 − b 2
解答 · 参考解答 2 d 1 = a ( 1 + e cos θ ) d_1=a(1+e\cos\theta) d 1 = a ( 1 + e cos θ ) d 2 = a ( 1 − e cos θ ) d_2=a(1-e\cos\theta) d 2 = a ( 1 − e cos θ ) e < 1 e\lt1 e < 1 2 a 2a 2 a
解答 · 参考解答 3 在 ( − a , 0 ) (-a,0) ( − a , 0 ) x = − a x=-a x = − a y = 0 y=0 y = 0 ( 0 , − b ) (0,-b) ( 0 , − b ) y = − b y=-b y = − b x = 0 x=0 x = 0
解答 · 参考解答 4 反射后的线段为 ( 9 , − 20 ) + t ( 40 , 75 ) (9,-20)+t(40,75) ( 9 , − 20 ) + t ( 40 , 75 ) t = 4 / 15 t=4/15 t = 4/15 X = ( 59 / 3 , 0 ) X=(59/3,0) X = ( 59/3 , 0 ) 85 85 85 2 a 2a 2 a
解答 · 参考解答 5 因为 ∥ N ∥ 2 = 2 u 1 ⋅ N > 0 \|\mathbf N\|^2=2\mathbf u_1\cdot\mathbf N>0 ∥ N ∥ 2 = 2 u 1 ⋅ N > 0 u 1 − 2 ( u 1 ⋅ N ) N / ∥ N ∥ 2 = u 1 − N = − u 2 \mathbf u_1-2(\mathbf u_1\cdot\mathbf N)\mathbf N/\|\mathbf N\|^2
=\mathbf u_1-\mathbf N=-\mathbf u_2 u 1 − 2 ( u 1 ⋅ N ) N /∥ N ∥ 2 = u 1 − N = − u 2
解答 · 参考解答 6 M > 1 M>1 M > 1 M − 1 \sqrt{M-1} M − 1 a 2 a^2 a 2 b 2 b^2 b 2 M ≥ 1 + b 2 / a 2 > 1 M\ge1+b^2/a^2>1 M ≥ 1 + b 2 / a 2 > 1