MATH1025
预备数学
建立大学数学常用的代数与几何工具：证明与不等式、复数、数列、多项式、向量及圆锥曲线。从严谨的代数推理开始，学习选择方法并说明理由。
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下一节: 0.1 课程基础与记号
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MATH1025 笔记里的内容
- 定理卡
- 89
- 定义
- 56
- 反例
- 10
- 概念视角
- 15
- 思想史
- 3
- 证明透视
- 1
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在网上定理卡 89 · 定义 56 · 反例 10 · 概念视角 15 · 思想史 3 · 证明透视 1
第 0-1 章 · 2 节
基础与早期方法
课程基础符号语言与全课共用的核心变形技巧。
- 0.1
课程基础与记号
建立符号、证明习惯与代数先备，为后续三角、数列与向量章节打底。
- 1.1
方程结构与三角恒等式
以带证明意识的代数变形巩固方程结构与三角恒等式。
第 2-3 章 · 2 节
证明与不等式
归纳法、次序推理、有理不等式、绝对值，以及初步经典不等式。
第 4 章 · 1 节
二项式定理
阶乘、排列、组合、Pascal 恒等式，以及从二项式展开抽取系数。
- 4.1
二项式系数与展开
连接排列、组合、Pascal 恒等式与二项式定理。
第 5 章 · 1 节
数列
数列作为函数、递推构造、等差与等比数列、有限和，以及初步应用递推。
- 5.1
数列、递推与级数
把数列读成定义在正整数上的函数，比较显式与递推定义，并推导等差与等比求和公式。
第 6 章 · 1 节
复数
复数运算、共轭、模、极形式与指数形式、单位根，以及复平面几何。
- 6.1
复数、极形式与几何
由有序对构造复数，使用共轭与极形式，并连接旋转、单位根与复平面几何。
第 7 章 · 2 节
整数方法
整除、质数、最大公因数计算、Bézout 恒等式与整数线性方程。
- 7.1
整除、最大公因数与整数方程
建立整除、质数、除法算法、欧几里得算法、Bézout 恒等式、质因数分解，以及初步一次 Diophantine 方程。
- 7.2
有理数与无理数
用有理数的封闭性、n 次根记号与 Euclid 引理，证明标准无理性结果。
第 8 章 · 3 节
多项式方法
多项式运算、带余除法、多项式最大公因式、不可约性、有理函数、部分分式与 Vieta 公式。
- 8.1
多项式运算与除法
把多项式定义为有限形式和，控制次数，证明带余除法，并使用余式定理与因式定理。
- 8.2
多项式最大公因式与不可约性
使用多项式 Euclidean algorithm、Bézout 恒等式、不可约性与依系数域而变的因式分解。
- 8.3
有理函数、部分分式与 Vieta 公式
分解有理函数，在有限和中使用部分分式，并用 Vieta 公式联系根与系数。
第 9 章 · 2 节
向量与几何
向量、范数、内积、投影、叉积，以及面积与体积的几何。
- 9.1
向量、范数、内积与投影
通过范数、内积、正交投影，以及 Cauchy–Schwarz 不等式和三角不等式，联系坐标与几何。
- 9.2
叉积、标量三重积与向量几何
建立三维叉积，以标量三重积解释有向体积，并解决向量几何问题。
第 10 章 · 2 节
直线、平面与曲线
直线与平面、距离与投影，以及参数曲线的速度向量和速率。
- 10.1
直线、平面、投影与距离
用方向向量与法向量描述直线和平面，再推导交点、夹角、投影与距离。
- 10.2
参数曲线与向量值函数
区分参数曲线与其轨迹，对向量值函数求导，并解释方向、速度向量与速率。
第 11 章 · 5 节
圆锥曲线
焦点定义、切线与反射、选读的坐标分类，以及精确的圆锥曲线轨迹与参数应用。
- 11.1
抛物线：焦点、准线、切线与法线
由焦点与准线推导抛物线，再研究切线、法线、反射与参数轨迹。
- 11.2
椭圆：焦点、反射与切线几何
联系椭圆的焦点—准线与距离和定义，并证明切线、反射及轨迹性质。
- 11.3
双曲线：焦点、渐近线与切线几何
由到焦点的距离条件建立双曲线的两支，并分析渐近线、切线、反射与垂足轨迹。
- 11.4
一般圆锥曲线、坐标旋转与分类
研习选读的坐标旋转方法、二次型分类、退化圆锥曲线与正则点的切线方程。
- 11.5
圆锥曲线轨迹与参数应用
用弦与切线参数求出精确轨迹，再联系滚圆运动、速率与有理参数表示。