極限、介值與一致連續延拓

學習目標與相對定義域上的極限

利用上確界性質證明介值定理，正確使用極限的序列判別法，並把一致連續函數延拓到閉包。若 $A\subseteq\mathbb R$，且 $a$ 是 $A$ 的聚點，則相對定義域上的極限 $f(x)\to L$（$x\to a$、$x\in A$）表示：對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使 $x\in A$、$0<|x-a|<\delta$ 蘊含 $|f(x)-L|<\varepsilon$。函數不必在 $a$ 有定義。

定理：極限的序列判別法

上述極限等於 $L$，當且僅當每個收斂到 $a$ 的序列 $x_n\in A\setminus\{a\}$ 都滿足 $f(x_n)\to L$。

證明。 由極限定義，對選定的 $\delta$，充分靠後的 $x_n$ 均在該距離內，故其函數值與極限之差小於 $\varepsilon$。反之，若極限定義不成立，則存在 $\varepsilon_0>0$，使得對每個 $n$，都能選到 $x_n\in A$ 滿足 $0<|x_n-a|<1/n$ 和 $|f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0$。此序列收斂到 $a$，但其函數值不收斂到 $L$，與判別條件矛盾。該條件要求檢驗每一個序列，而非僅檢驗方便的例子。

定理：介值性質

若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續，$a<b$ 且 $f(a)<c<f(b)$，則存在 $s\in(a,b)$ 滿足 $f(s)=c$。

證明。 令 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le c\}$；此集合非空且有上界。設 $s=\sup S$。在 $a$ 處的連續性與 $f(a)<c$ 保證 $S$ 在 $a$ 右側有點，故 $s>a$。在 $b$ 處的連續性與 $f(b)>c$ 則使 $b$ 附近的末段區間不與 $S$ 相交，故 $s<b$。對每個 $n$，由上確界性質可取 $x_n\in S$ 滿足 $s-1/n<x_n\le s$。由連續性得 $f(s)\le c$。若 $f(s)<c$，連續性使 $s$ 右側、仍在 $[a,b]$ 內的充分近的點處滿足 $f<c$，這與 $s$ 是上界矛盾。因此 $f(s)=c$。交換端點的函數值大小，或考慮端點取等，即得其他情形。

一致連續函數延拓到閉包

設 $f:A\to\mathbb R$ 一致連續，則存在唯一的連續延拓 $\overline f:\overline A\to\mathbb R$，且該延拓一致連續。

證明。 對 $x\in\overline A$，選取 $a_n\in A$ 使 $a_n\to x$。此序列是 Cauchy 序列。一致連續性使 $f(a_n)$ 也是 Cauchy 序列：針對給定輸出容差選取統一的 $\delta$ 後，$a_n$ 中充分靠後的任意兩項之距小於該 $\delta$。實數完備性保證其極限存在。若另選 $b_n\to x$，則 $|a_n-b_n|\to0$；由一致連續性，$f(a_n)-f(b_n)\to0$。因此極限與逼近序列的選擇無關，將其定義為 $\overline f(x)$。對 $x\in A$ 使用常值逼近序列，可知該函數延拓了 $f$。

為證明一致連續性，固定 $\varepsilon>0$，取 $f$ 對輸出容差 $\varepsilon/2$ 的統一輸入容差 $\delta>0$。若 $x,y\in\overline A$ 且 $|x-y|<\delta/3$，在 $A$ 中取序列 $a_n\to x,b_n\to y$。當 $n$ 足夠大時，$|a_n-b_n|<\delta$，故 $|f(a_n)-f(b_n)|<\varepsilon/2$。令序號趨於無窮得到 $|\overline f(x)-\overline f(y)|\le\varepsilon/2<\varepsilon$，且該估計對 $x,y$ 一致成立。最後，任何連續延拓都必須給出相同的序列極限，故延拓唯一。若 $A=\varnothing$，閉包與延拓均為空，結論以空真方式成立。

例子

可去的缺失端點。 在 $(0,1)$ 上，$f(x)=x^2$ 是 Lipschitz 函數，因為 $|x^2-y^2|\le2|x-y|$。定理給出其到 $[0,1]$ 的唯一連續延拓，兩個缺失端點的值分別為零和一。

為甚麼普通連續性不夠。 函數 $1/x$ 在 $(0,1)$ 連續，但在零處沒有有限的連續延拓。當 $n\ge2$ 時，點對 $x_n=1/n$ 與 $y_n=1/(2n)$ 相距趨於零，而函數值之差等於 $n$，因此它不是一致連續的，不能應用該定理。值域空間的完備性也重要：有理數的 Cauchy 序列未必收斂到有理數。

分級練習

1. 基礎。 用介值定理證明 $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 有解，再證明解唯一。
2. 核心。 證明一致連續函數將其定義域中的任意 Cauchy 序列映為 Cauchy 序列。
3. 核心。 給出 $(0,1)$ 上的連續函數，它因振蕩而非無界，不能連續延拓到 $[0,1]$。
4. 證明。 若 $\mathbb R$ 上兩個連續函數在 $\mathbb Q$ 上相等，證明它們處處相等。在整數上相等是否足夠？

完整解答

1. 該多項式在兩個端點的值為 $-1$ 和 $1$，且連續，故由介值定理存在零點。若 $y>x$，則 $(y^3+y)-(x^3+x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+1)>0$，因此函數嚴格遞增，至多有一個零點。
2. 給定 $\varepsilon>0$，取函數一致連續性中的 $\delta$。輸入 Cauchy 序列中充分靠後的任意兩項之距均小於 $\delta$，故其函數值之差小於 $\varepsilon$。這正是輸出序列的 Cauchy 條件。
3. 取 $f(x)=\sin(1/x)$。序列 $x_n=1/(\pi/2+2n\pi)$ 與 $y_n=1/(3\pi/2+2n\pi)$ 都趨於零，函數值卻分別為 $1$、$-1$，所以雖函數有界，端點極限仍不存在。
4. 對任意實數 $x$，由有理數的稠密性可取序列 $q_n\to x$。連續性給出 $f(x)=\lim f(q_n)=\lim g(q_n)=g(x)$。整數並不稠密：$f(x)=0$ 與 $g(x)=\sin(\pi x)$ 在每個整數處相等，在 $1/2$ 處卻不同。

總結與術語

聚點可由定義域中其他點任意逼近。閉包加入所有極限點。連續延拓填補缺失的函數值而保持連續性。一致連續性在整個定義域上一致控制點對，因此保持 Cauchy 性質；值域空間的完備性則提供填補閉包所需的極限。介值性質來自完備性與連續性，而非圖像外觀。