2.2 子列、柯西數列與完備性

子列

定義

子列

$(x_n)$ 的子列是 $(x_{n_k})$，其中 $n_1<n_2<\cdots$ 為正整數。若 $x_n\to L$，每個子列都收斂至 $L$，因為 $n_k\ge k$，最終會超過任意指定下標。

定理

Bolzano–Weierstrass 定理

每個有界實數數列都有收斂子列。

證明

套疊區間證明

把所有項放入閉有界區間 $I_1$，並把它平分。至少一半含無窮多個數列項；選該半區間為 $I_2$。繼續進行，得到長度趨零的套疊閉區間 $I_k$，每個都含無窮多項。選嚴格遞增的下標 $n_k$ 使 $x_{n_k}\in I_k$；因每個區間含無窮多項，故可做到。完備性給出所有區間的一個共同點 $L$：左端點集合的上確界位於每個區間內，因為每個左端點都不超過每個右端點。由 $x_{n_k},L\in I_k$，二者距離不超過區間長度，故趨零。

結論是關於子列，而非整個數列。例如 $(-1)^n$ 有分別收斂至 $1$ 及 $-1$ 的常數子列，但自身不收斂。

柯西判據

定義

柯西數列

$(x_n)$ 是柯西數列，指對每個 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使只要 $m,n\ge N$ 就有 $|x_m-x_n|<\varepsilon$。與極限定義不同，此處不必預先指定候選極限。

定理

實數的柯西完備性

實數數列收斂，當且僅當它是柯西數列。

證明

兩個方向

若 $x_n\to L$，取一個距離 $L$ 小於 $\varepsilon/2$ 的尾部，對 $x_m-L$ 與 $L-x_n$ 用三角不等式即可。反過來，柯西數列有界：取一個尾部使它的各項距離某固定尾項小於 $1$，再加入有限個初始項。由 Bolzano–Weierstrass，它有子列 $x_{n_k}\to L$。給定 $\varepsilon>0$，選 $N$ 使 $N$ 之後任意兩項相差小於 $\varepsilon/2$，再選 $k$ 使 $n_k\ge N$ 且 $|x_{n_k}-L|<\varepsilon/2$。對每個 $n\ge N$，$|x_n-L|\le|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-L|<\varepsilon$。

這個等價關係使用了 $\mathbb R$ 的完備性。「每個有理柯西數列都收斂至有理數」則不成立。例如 $\sqrt2$ 的小數截斷都是有理數並構成柯西數列，但沒有有理數極限。

例題

不知道和也能證收斂

令 $s_n=\sum_{k=1}^n2^{-k}$。若 $m>n$，

$$|s_m-s_n|\le\sum_{k=n+1}^\infty2^{-k}=2^{-n}.$$

給定 $\varepsilon>0$，選 $N$ 使 $2^{-N}<\varepsilon$。若 $m,n\ge N$，兩者之間的尾和至多 $2^{-N}$，所以 $(s_n)$ 是柯西數列而收斂。精確和是 $1$，但柯西論證無須猜出它便證明存在性。等比尾和公式亦可由有限等比和及初等極限 $2^{-j}\to0$ 驗證。

方法比較

由有界性可抽取收斂子列，但不能只憑它證整個數列收斂。兩個極限不同的子列可否定收斂。若尾項之差比未知極限更容易控制，可用柯西判據。實數完備性保證柯西數列收斂；單憑有界則不足。

練習

1. 證明收斂數列的每個子列都收斂至相同極限。
2. 求 $x_n=(-1)^n+1/n$ 的兩個收斂子列，並判斷整列是否收斂。
3. 證明 $x_n=1/n$ 是柯西數列。
4. 解釋為何存在一個收斂子列，不能推出整個數列收斂。

詳解

1. 給定 $\varepsilon>0$，為原數列選 $N$。因 $n_k\ge k$，當 $k\ge N$ 時，$n_k\ge N$ 且 $|x_{n_k}-L|<\varepsilon$。
2. $x_{2k}=1+1/(2k)\to1$，而 $x_{2k-1}=-1+1/(2k-1)\to-1$。兩個極限不同，所以原數列不收斂。
3. 給定 $\varepsilon>0$，選 $N>2/\varepsilon$。若 $m,n\ge N$，則 $|1/m-1/n|\le1/m+1/n\le2/N<\varepsilon$。
4. $(-1)^n$ 有恆為 $1$ 的子列，但奇數子列恆為 $-1$，故整列發散。

總結

有界性給出收斂子列，柯西性則控制整個尾部。完備性把尾部內在的接近性提升為一個實數極限。