1.0 集合、函數與證明語言

集合與量詞

集合由其元素決定。$A\subseteq B$ 表示 $A$ 的每個元素都屬於 $B$；相等表示兩個包含關係均成立。聯集 $A\cup B$ 含至少在其中一個集合的元素，交集 $A\cap B$ 含同時在兩者內的元素。相對固定全集 $X$，補集為 $A^c=X\setminus A$；差集 $A\setminus B$ 含在 $A$ 但不在 $B$ 的元素。

「對每個 $x$，存在 $y$ 使性質 $P(x,y)$ 成立」的否定是「存在 $x$，使對每個 $y$，$P(x,y)$ 都不成立」。次序很重要：同一個 $y$ 對所有 $x$ 都適用，比每個 $x$ 可選不同 $y$ 更強。一致連續及一致收斂等分析定義，正依賴這個區別。

定理

德摩根定律

對固定全集的子集，$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$，$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$。

證明

逐元素證明

$x$ 屬於 $(A\cup B)^c$，當且僅當它既不在 $A$ 也不在 $B$，亦即屬於 $A^c\cap B^c$。第二個等式同理，把「並非兩者皆在」換成「至少不在其中一個」。每個等價關係都證明了兩個包含方向。

例題

量詞陷阱

對每個實數 $x$，存在實數 $y$ 使 $y>x$：取 $y=x+1$ 即可。但不存在一個實數 $y$ 大於每個實數 $x$：若存在，取 $x=y+1$ 即得矛盾。改變量詞次序會改變命題。

函數、像與原像

函數 $f:X\to Y$ 為每個 $x\in X$ 指派恰好一個 $f(x)\in Y$。若相同輸出必有相同輸入，稱為單射；若 $Y$ 中每個元素都有原像，稱滿射到 $Y$；兩者皆成立稱雙射。雙射有反函數 $f^{-1}:Y\to X$。

對 $A\subseteq X$，像為 $f(A)=\{f(x):x\in A\}$；對 $B\subseteq Y$，原像為 $f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$。即使反函數不存在，任何函數的原像記號仍有意義。

定理

原像保持聯集及交集

對 $B,C\subseteq Y$，$f^{-1}(B\cup C)=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(C)$，$f^{-1}(B\cap C)=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(C)$。像總滿足 $f(A\cup D)=f(A)\cup f(D)$，但一般只有 $f(A\cap D)\subseteq f(A)\cap f(D)$。

證明

用元素歸屬追蹤邏輯

例如，$x\in f^{-1}(B\cap C)$ 當且僅當 $f(x)\in B$ 且 $f(x)\in C$，亦即 $x\in f^{-1}(B)\cap f^{-1}(C)$。對像的交集，來自 $A\cap D$ 的輸出必在兩個像內；但同一輸出可能分別由兩個不同輸入產生，即使沒有輸入同時屬於兩集合。

例題

交集的像可以更小

令 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 為 $f(x)=x^2$，$A=\{-1\}$、$D=\{1\}$。則 $A\cap D=\varnothing$、$f(A\cap D)=\varnothing$，但 $f(A)\cap f(D)=\{1\}$。非單射造成這個差異。

可數性

本節稱有限集合或可與 $\mathbb N$ 建立雙射的集合為可數；有些作者用「可數」專指可數無限，故應說明慣例。整數可列為 $0,1,-1,2,-2,\ldots$，因此可數。有理數可數：按對角線列出整數分子與正整數分母的組合，再略去重複值。相反，$\mathbb R$ 不可數：對任何聲稱完整的列表，可用對角線法構造 $(0,1)$ 中不同於每個列表項的小數，並選用 $1$ 或 $2$ 等數字以避免末尾無窮多個九造成的表示歧義。

方法比較

集合相等可用雙向包含或元素歸屬等價關係證明。要否定全稱命題，給出一個明確反例即可。處理原像時，透過函數翻譯元素歸屬；不要假設它是反函數。否定帶量詞的極限命題時，逐個反轉量詞，再仔細否定最後的不等式。

練習

1. 證明 $A\subseteq B$ 當且僅當 $A\cap B=A$。
2. 否定「對每個 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使對所有 $n\ge N$ 有 $|x_n-L|<\varepsilon$」。
3. 對 $\mathbb R$ 上的 $f(x)=x^2$，求 $f^{-1}([1,4])$。
4. 給出兩個不相交集合，使它們在同一函數下的像相交。

詳解

1. 若 $A\subseteq B$，恰好 $A$ 的元素同時屬於兩者，故 $A\cap B=A$。反過來，若 $A\cap B=A$，每個 $x\in A$ 都在交集中，故屬於 $B$。
2. 存在 $\varepsilon_0>0$，使對每個 $N$ 都存在 $n\ge N$，滿足 $|x_n-L|\ge\varepsilon_0$。
3. $1\le x^2\le4$ 恰好在 $[-2,-1]\cup[1,2]$ 成立。
4. 取 $A=\{-1\}$、$B=\{1\}$ 和 $f(x)=x^2$。兩集合不相交，但兩個像都是 $\{1\}$。

總結

集合歸屬和量詞次序是分析的語法。像、原像及反例把語法具體化；比較逐點與一致命題時，精確量詞尤其重要。