2.1 數列極限與證明技巧

收斂中的量詞

定義

實數數列的收斂

數列 $(x_n)$ 收斂至 $L\in\mathbb R$，指對每個 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb N$，使每個 $n\ge N$ 均有 $|x_n-L|<\varepsilon$。記作 $x_n\to L$。$N$ 可以依賴 $\varepsilon$，但必須對其後所有下標同時有效。

「收斂至 $L$」的否定式為：存在 $\varepsilon_0>0$，使對每個 $N$ 都有某個 $n\ge N$ 滿足 $|x_n-L|\ge\varepsilon_0$。少數初始項不影響收斂；在任意後期仍反覆出現的失敗則會影響。

例題

構造 epsilon–N 證明

對 $x_n=(3n+1)/(n+2)$，先猜 $L=3$。因為

$$\left|\frac{3n+1}{n+2}-3\right|=\frac5{n+2}<\frac5n,$$

選 $N>5/\varepsilon$，則每個 $n\ge N$ 都滿足 $|x_n-3|<\varepsilon$。猜測只是動機；不等式及帶量詞的選取才建立證明。

定理

唯一性、有界性及極限定律

收斂實數數列的極限唯一，且數列有界。若 $x_n\to x$、$y_n\to y$，則 $x_n+y_n\to x+y$、$x_ny_n\to xy$；若 $y\ne0$ 且商最終有定義，則 $x_n/y_n\to x/y$。若最終有 $x_n\le z_n\le y_n$，而兩側均收斂至 $L$，則 $z_n\to L$。

證明

唯一性與有界性

若 $x_n\to L$ 且 $x_n\to M$，對任意 $\varepsilon>0$，充分後期的項同時滿足 $|x_n-L|<\varepsilon/2$ 及 $|x_n-M|<\varepsilon/2$。三角不等式給 $|L-M|<\varepsilon$；此式對所有正 $\varepsilon$ 成立，故 $L=M$。要證有界，選 $N$ 使 $n\ge N$ 時 $|x_n-L|<1$。有限個初始項與尾部界 $|x_n|\le|L|+1$ 一起給出整個數列的有限界。

有界性的逆命題不成立：$(-1)^n$ 有界但不收斂。若收斂至 $L$，其偶數子列收斂至 $1$、奇數子列收斂至 $-1$，違反極限唯一性。

證明

乘積定律的機制

收斂數列 $(y_n)$ 有界，設 $|y_n|\le M$。由

$$|x_ny_n-xy|\le|y_n||x_n-x|+|x||y_n-y|,$$

兩項均趨零。對商，$y_n\to y\ne0$ 蘊含最終有 $|y_n|\ge|y|/2$；分母因而遠離零，得 $1/y_n\to1/y$。

單調數列

定理

單調收斂定理

每個有上界的遞增實數數列都收斂至其項集合的上確界；每個有下界的遞減數列都收斂至其下確界。

證明

由上確界得到最終接近

令 $s=\sup\{x_n:n\in\mathbb N\}$。給定 $\varepsilon>0$，上確界判據給某個 $N$ 使 $s-\varepsilon<x_N\le s$。由單調性，所有 $n\ge N$ 均有 $s-\varepsilon<x_N\le x_n\le s$，故 $x_n\to s$。

例題

遞迴數列

設 $x_1=1$、$x_{n+1}=(x_n+2)/2$。歸納可得 $x_n<2$，且 $x_{n+1}-x_n=(2-x_n)/2>0$，所以數列遞增且有上界，收斂至某 $L$。在遞迴式取極限得 $L=(L+2)/2$，故 $L=2$。若未先證明收斂，單解不動點方程不能顯示數列確有極限。

方法比較

要直接證明或控制指定誤差，可用 epsilon–N 估計。各分量極限已知時用極限定律；絕對值界比精確表達式簡單時用夾逼。遞迴數列可先求單調性及界，證收斂後再解不動點方程。要否定收斂，可找兩個不同極限的子列，或證明定義的否定式。

練習

1. 直接證明 $1/n\to0$。
2. 證明 $(2n+3)/(n+1)\to2$。
3. 證明 $(-1)^n$ 不收斂。
4. 設 $a_1=3$、$a_{n+1}=(a_n+1)/2$。證明收斂並求極限。

詳解

1. 給定 $\varepsilon>0$，選 $N>1/\varepsilon$。對每個 $n\ge N$，$|1/n|\le1/N<\varepsilon$。
2. 與 $2$ 的差為 $1/(n+1)$。選 $N>1/\varepsilon$，則 $n\ge N$ 時差小於 $\varepsilon$。
3. 偶數子列恆為 $1$，奇數子列恆為 $-1$。若整個數列收斂，兩個子列必有相同極限，矛盾。
4. 歸納得 $a_n>1$，且 $a_{n+1}-a_n=(1-a_n)/2<0$。它遞減且以 $1$ 為下界，故收斂至 $L$。極限定律給 $L=(L+1)/2$，所以 $L=1$。

總結

收斂是一個帶量詞的最終性質。完備性把單調加有界轉化成極限存在；估計和極限定律再確定極限。有界本身不能保證收斂。