3.2 緊緻性、極值與一致連續

實數線上的緊緻子集

集合 $K\subset\mathbb R$ 若每個開覆蓋都有有限子覆蓋，便稱緊緻。在 $\mathbb R$ 中，Heine–Borel 定理指出，這等價於閉且有界，也等價於 $K$ 內每個數列都有收斂至 $K$ 中某點的子列。閉性使子列極限留在集合內；有界性則容許抽取子列。以下證明使用序列形式。

定理

極值定理

若 $K\subset\mathbb R$ 非空且緊緻，$f:K\to\mathbb R$ 連續，則 $f$ 有界並在 $K$ 上取得最大值及最小值。

證明

抽取逼近最大值的子列

若 $f$ 無上界，選 $x_n\in K$ 使 $f(x_n)>n$。存在子列 $x_{n_k}\to x\in K$；連續性給 $f(x_{n_k})\to f(x)$，與其趨向無窮矛盾。對 $-f$ 作同樣論證可得下界。令 $s=\sup f(K)$，選 $x_n\in K$ 使 $s-1/n<f(x_n)\le s$。某收斂子列趨向 $x\in K$，由連續性有 $f(x)=s$。對 $-f$ 同理得最小值。

例題

哪個假設失效？

連續函數 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有界，但沒有最大值或最小值，因為 $0$、$1$ 不在定義域。此集合有界但不閉，故不緊緻。在 $[0,1]$ 上兩端點都存在，因此取得極值。緊緻性是充分的全局假設，不是每個個別函數取得極值的必要條件。

一致連續

定義

整個定義域共用一個 delta

若對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $x,y\in A$ 只要滿足 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，則稱 $f:A\to\mathbb R$ 在 $A$ 上一致連續。$\delta$ 可依賴 $\varepsilon$，但不可依賴 $x$ 或 $y$。

定理

Heine–Cantor 定理

緊緻集合上的每個連續實值函數都一致連續。

證明

用緊緻性作反證

若非一致連續，則存在 $\varepsilon_0>0$，使每個 $n$ 都有 $x_n,y_n\in K$，滿足 $|x_n-y_n|<1/n$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$。緊緻性給子列 $x_{n_k}\to x\in K$；由兩點距離趨零，也有 $y_{n_k}\to x$。連續性給 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 及 $f(y_{n_k})\to f(x)$，與輸出距離至少為 $\varepsilon_0$ 矛盾。

例題

無界定義域上連續但非一致連續

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上連續，但不一致連續。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，則 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，但 $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\not\to0$。在任何閉有界區間上，Heine–Cantor 定理卻保證一致連續。也可直接證明：若 $|x|,|y|\le M$，則 $|x^2-y^2|\le2M|x-y|$。

方法比較

用緊緻性及連續性保證有界、取得極值及共用連續尺度；在 $\mathbb R$ 中須檢查閉與有界。即使定義域非緊緻，也可用 Lipschitz 估計 $|f(x)-f(y)|\le C|x-y|$ 直接證一致連續。要否定一致連續，可構造輸入距離趨零、輸出距離卻保持大於某固定正數的點對。

練習

1. 證明 $f(x)=3x-2$ 在 $\mathbb R$ 上一致連續。
2. 證明 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致連續。
3. $[0,1]$ 上每個連續函數都取得最大值和最小值嗎？說明所用定理。
4. $f(x)=0$ 在 $\mathbb R$ 上一致連續，是否需要緊緻性？

詳解

1. 給定 $\varepsilon>0$，選 $\delta=\varepsilon/3$。若 $|x-y|<\delta$，則 $|f(x)-f(y)|=3|x-y|<\varepsilon$。
2. 取 $n\ge2$ 的 $x_n=1/n$、$y_n=1/(2n)$。距離趨零，但 $|1/x_n-1/y_n|=n$ 不趨零。因此對 $\varepsilon=1$，沒有共用的 $\delta$。
3. 是。此區間非空且緊緻，函數連續；極值定理保證取得兩個極值。
4. 不需要。零函數在任何定義域上一致連續；緊緻性只是充分條件，不是必要條件。

總結

緊緻性使數列可抽取極限留在定義域內的子列。連續性再把這些極限轉為全局極值及一致輸入尺度。不緊緻會失去這些保證，但不代表每個結論都必然失敗。