三角學、向量與科學坐標

動機

本章假設你掌握第 1 章的方程、函數、平方根與定義域。我們將數與角度、週期變化及有方向的量聯繫起來。你將一致使用弧度，求解基本三角方程而不遺漏整族解，將向量分解為分量，並用矩陣表示一對聯立方程。

標量給出一個大小，例如溫度。向量給出有方向的量，例如位移。週期函數描述重複模式。只有說明坐標方向、單位和允許的輸入，這些模型才有意義。

2.1 弧度與單位圓

定義

對半徑 $r>0$ 的圓，以弧度計的角是有符號弧長除以 $r$。一周為 $2\pi$ 弧度；$180^\circ=\pi$ 弧度。該定義使弧度無量綱，但保留“rad”標籤有助於將角與其他無量綱量區分。

在單位圓上，從正水平軸逆時針轉過角 $\theta$ 所到的點為 $(\cos\theta,\sin\theta)$，因此

$$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

正弦和餘弦的週期均為 $2\pi$。正弦為奇函數、餘弦為偶函數：$\sin(-\theta)=-\sin\theta$、$\cos(-\theta)=\cos\theta$。只有 $\cos\theta\ne0$ 時定義 $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$，故正切在 $\pi/2+k\pi$（$k\in\mathbb Z$）處無定義。

命題

兩角和恆等式為

$$\begin{aligned}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\end{aligned}$$

證明

我們採用旋轉的幾何事實：繞原點的旋轉保持距離與平面定向（順、逆時針次序），並且對坐標分量是線性的。令 $R_\alpha$ 表示逆時針旋轉 $\alpha$。由單位圓，兩個坐標基向量分別旋轉為

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由線性性，它對角為 $\beta$ 的點的作用為

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

從幾何上看，連續旋轉的角度相加，所以同一點也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比較坐標即證明兩個恆等式，而無須預先使用它們。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恆等式對定義域內每個輸入成立；方程詢問哪些輸入使特定等式成立。

例題

例 1：計算前先換算。 半徑為 $0.4$ m 的輪子轉過 $135^\circ=3\pi/4$ 弧度。所行弧長為 $r\theta=0.3\pi$ m。將角度數字 $135$ 直接代入 $r\theta$ 會使用錯誤的角單位。

2.2 解方程與選擇反函數分支

命題

若 $-1\le c\le1$，方程 $\sin\theta=c$ 有週期重複的解。令 $\alpha=\arcsin c\in[-\pi/2,\pi/2]$，全部解為

$$\theta=\alpha+2k\pi\quad\text{or}\quad\theta=\pi-\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

在極端值 $c=\pm1$，某些參數表示重疊，只造成重複而不會增加解。若 $|c|>1$，沒有實解。

證明

採用單位圓的基本幾何：每個點都有模 $2\pi$ 唯一的角，右半圓在每個高度 $c\in[-1,1]$ 恰有一個點。該點坐標為 $(\sqrt{1-c^2},c)$，其在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 內的角定義為 $\alpha=\arcsin c$。正弦為 $c$ 的點必須滿足 $x^2=1-c^2$，所以橫坐標只能是 $\sqrt{1-c^2}$ 或其負值。第二個點是關於竪直軸的反射，其角在模 $2\pi$ 意義下為 $\pi-\alpha$。這兩個點窮盡水平線與圓的交點，證明兩族解及沒有其他解。在 $c=\pm1$ 時兩點重合；當 $|c|>1$，$x^2=1-c^2<0$ 在實數中不可能。同一幾何給出餘弦在上半圓 $[0,\pi]$ 的反函數分支，以及正切在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 的分支：右半平面內的射線斜率為 $\tan\theta$，每個實數斜率恰確定一條這樣的射線。最後，$\cos P=1$ 僅在 $P=2k\pi$ 成立，所以在角零處檢驗可知餘弦的任何週期都是 $2\pi$ 的整數倍；故其最小正角週期為 $2\pi$。

$\arcsin$ 是限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上的正弦函數的反函數，不是週期正弦的全局反函數。同樣，$\arccos$ 的值在 $[0,\pi]$，$\arctan$ 的值在 $(-\pi/2,\pi/2)$。

例題

例 2：有界角區間。 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\sin(2x)=1/2$。角 $2x$ 位於 $[0,4\pi)$，可能值為 $\pi/6$、$5\pi/6$、$13\pi/6$ 和 $17\pi/6$。除以二得 $x=\pi/12$、$5\pi/12$、$13\pi/12$、$17\pi/12$。若只返回 $\arcsin(1/2)/2$，會漏掉另外三個允許的解。

常見錯誤

另一個分支檢驗是 $\arcsin(\sin(3\pi/4))=\pi/4$，不是 $3\pi/4$。輸出必須屬於主值反函數的值域。

2.3 週期模型與相位

模型

$$y(t)=m+A\cos(\omega t+\phi)$$

在 $A\ne0$ 且 $\omega\ne0$ 時，中線為 $m$，振幅為 $|A|$，週期為 $2\pi/|\omega|$。餘弦的角度參數 $\omega t+\phi$ 必須無量綱。若 $t$ 以秒計，$\omega$ 可記錄為每秒弧度。相位 $\phi$ 決定模型從週期的哪個位置開始。

例題

例 3：合併兩個正交相位分量。 考慮

$$y(t)=3\cos(2t)+4\sin(2t).$$

選取 $\delta\in(0,\pi/2)$，使 $\cos\delta=3/5$、$\sin\delta=4/5$。兩角和恆等式給出

$$y(t)=5\cos(2t-\delta).$$

振幅為 $5$，週期為 $\pi$ 個時間單位，$t\ge0$ 的第一次最大值在 $t=\delta/2$。繪圖計算器可展示模式，但恆等式精確證明振幅與相位。

常見錯誤

兩個週期信號之和未必具有其中任一信號的週期；若週期之比為無理數，可能不存在共同非零週期。不能假設任意振蕩項之和都會在某個方便區間上重複。

2.4 向量與分量

選讀：向量銜接。 直角分量與角度檢查支持坐標學習；合向量、點積和投影為後續線性代數作準備。

平面向量是有序對 $v=(v_x,v_y)^T$，長度為 $\|v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$。加法和數乘逐分量進行。方向角 $\theta$ 與長度 $R\ge0$ 給出

$$v=\begin{pmatrix}R\cos\theta\\R\sin\theta\end{pmatrix}.$$

對 $R>0$，方向在模 $2\pi$ 意義下確定。零向量沒有唯一方向。從分量恢復角度需要正確象限；單用 $\arctan(v_y/v_x)$ 不能區分相反方向，在 $v_x=0$ 時也不能使用。

例題

例 4：合力。 在共同坐標系中，兩個力為 $F_1=(3,4)^T$ N、$F_2=(-1,2)^T$ N。合力為 $(2,6)^T$ N，大小為 $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ N。將大小相加得到 $5+\sqrt5$ 不是合力大小，因為它忽略方向。

點積 $u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y$ 對非零向量間的夾角滿足 $u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta$。正交向量的點積為零。$v$ 沿單位方向 $e$ 的標量分量為 $v\cdot e$，對應向量分量為 $(v\cdot e)e$。

證明

對非零實平面向量，寫 $u=R(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$v=S(\cos\beta,\sin\beta)$，其中 $R=\|u\|>0$、$S=\|v\|>0$。已證的兩角和公式與奇偶性給出

$$u\cdot v=RS(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)=RS\cos(\alpha-\beta)=RS\cos\theta,$$

其中 $\theta\in[0,\pi]$ 是兩向量的較小夾角。在此區間，$\cos\theta=0$ 當且僅當 $\theta=\pi/2$，證明非零向量的垂直判據。零向量與任意向量的點積為零，無需給它定義角度。若 $\|e\|=1$，則

$$[v-(v\cdot e)e]\cdot e=v\cdot e-(v\cdot e)(e\cdot e)=0.$$

因此 $(v\cdot e)e$ 是平行於 $e$ 的分量，殘差垂直於它。此分解唯一：若 $v=te+w$ 且 $w\cdot e=0$，兩邊與 $e$ 點乘即強制 $t=v\cdot e$。

例題

例 5：方向分量。 對 $v=(4,1)^T$ 和單位方向 $e=(3/5,4/5)^T$，標量分量為 $16/5$，向量分量為 $(48/25,64/25)^T$。殘差 $v-(v\cdot e)e=(52/25,-39/25)^T$ 與 $e$ 的點積為零，驗證該分解。

2.5 直線與小型矩陣系統

坐標與矩陣聯繫。 直角坐標和簡單矩陣共同描述線性關係。

過點 $a$、具有非零方向 $d$ 的直線由 $x=a+td$（$t\in\mathbb R$）組成。若非零法向量 $n$ 與 $d$ 垂直，同一直線可寫為 $n\cdot(x-a)=0$。

證明

兩種直線描述相同，這裏特指實平面。寫 $d=(p,q)\ne(0,0)$，令 $w=x-a$。每個 $w=td$ 都滿足 $(-q,p)\cdot w=0$。反過來，$-qw_x+pw_y=0$ 蘊含 $w=td$：若 $p\ne0$，取 $t=w_x/p$ 即得 $w_y=tq$；若 $p=0$，則 $q\ne0$，方程強制 $w_x=0$，取 $t=w_y/q$。由相同兩種情況，任意垂直於 $d$ 的非零 $n$ 都是 $(-q,p)$ 的非零倍數，所以它的方程有完全相同的解集。在三維空間，一個非零法向量會描述平面，而不是直線。

一對標量方程可寫成矩陣方程。例如

$$2x+y=8,\qquad x+3y=9\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\9\end{pmatrix}.$$

矩陣乘向量指將每個系數行與未知數欄向量點乘。從第一式減去第二式的兩倍得 $-5y=-10$，所以 $y=2$、$x=3$，兩個原方程均可檢驗。此記號為更大系統作準備；它不會使每對方程自動獨立或可解。

2.6 分級練習

基礎

思考檢查

練習 1

1. 將 $210^\circ$ 轉為弧度，並求半徑為 $3$ 的圓對應弧長。

思考檢查

練習 2

2. 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\sin x=1/2$。

思考檢查

練習 3

3. 計算 $\arcsin(\sin(3\pi/4))$ 並解釋分支限制。

核心

思考檢查

練習 4

4. 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\cos(2x)=0$。

思考檢查

練習 5

5. 給出 $y(t)=2-3\cos(4t+\pi/3)$ 的中線、振幅和週期。

思考檢查

練習 6

6. 將 $5\cos t+12\sin t$ 寫成 $R\cos(t-\delta)$，其中 $R>0$、$0<\delta<\pi/2$，並精確給出 $\cos\delta$ 與 $\sin\delta$。

思考檢查

練習 7

7. 求向量 $(2,-1)^T$ 和 $(-5,5)^T$ 的合向量及長度。

綜合

思考檢查

練習 8

8. 將 $v=(2,3)^T$ 投影到單位方向 $e=(1,1)^T/\sqrt2$，並驗證殘差與該方向垂直。

思考檢查

練習 9

9. 寫出過 $(1,2)^T$、方向為 $(2,-1)^T$ 的直線的參數方程和法向量方程，檢查 $(5,0)^T$ 是否在其上。

思考檢查

練習 10

10. 兩分量科學平衡給出 $x+2y=7$、$3x+y=11$。寫出矩陣方程，用可逆消元求解並解釋解為何唯一。

2.7 完整解答

解答 · 練習 1

1. $210^\circ=(7\pi/6)$ rad。弧長為 $3(7\pi/6)=7\pi/2$，單位與半徑長度單位相同。

解答 · 練習 2

2. 第一周內的解為 $x=\pi/6$ 和 $x=5\pi/6$。

解答 · 練習 3

3. 正弦在 $3\pi/4$ 和 $\pi/4$ 處同為 $\sqrt2/2$。反函數返回 $[-\pi/2,\pi/2]$ 內的值，即 $\pi/4$。

解答 · 練習 4

4. $2x=\pi/2+k\pi$，故 $x=\pi/4+k\pi/2$。區間內四個值為 $\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4$。

解答 · 練習 5

5. 中線為 $2$，振幅為 $3$，週期為 $2\pi/4=\pi/2$。負系數相對正餘弦反轉峰與谷，但不產生負振幅。

解答 · 練習 6

6. $R=\sqrt{25+144}=13$。取 $\cos\delta=5/13$、$\sin\delta=12/13$，確定第一象限角；兩角和恆等式給出所需表達式。

解答 · 練習 7

7. 和為 $(-3,4)^T$，長度為 $\sqrt{9+16}=5$。

解答 · 練習 8

8. $v\cdot e=5/\sqrt2$，所以向量投影為 $(5/2,5/2)^T$。殘差為 $(-1/2,1/2)^T$，與 $e$ 的點積為零。

解答 · 練習 9

9. 參數方程為 $(x,y)^T=(1,2)^T+t(2,-1)^T$。法向量為 $(1,2)^T$，得到 $(x-1)+2(y-2)=0$，即 $x+2y=5$。點 $(5,0)$ 滿足後式，也等於 $t=2$ 的參數點，故在直線上。

解答 · 練習 10

10. 方程為 $\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}(x,y)^T=(7,11)^T$。第二式減去第一式三倍得 $-5y=-10$，故 $y=2$、$x=3$。非零系數 $-5$ 強制唯一的 $y$，第一式再強制唯一的 $x$，沒有自由選擇。直接檢驗得 $3+4=7$、$9+2=11$。

水平尺度是證明的一部分

對非常數模型 $f(t)=m+A\cos(\omega t+\phi)$，假設 $A\ne0$、$\omega\ne0$。時間增量 $P=2\pi/|\omega|$ 使餘弦自變量改變 $2\pi$ 或 $-2\pi$。因此由角度加法公式可得 $f(t+P)=f(t)$。餘弦的基本角週期為 $2\pi$，所以這個非零仿射時間縮放給出的基本時間週期是 $P$。改變振幅不會改變水平間距。

寫成 $\omega t+\phi=\omega(t-h)$ 可得 $h=-\phi/\omega$。$h$ 有時間單位，而 $\phi$ 是角度；混淆兩者會改變模型。由於增加一整周角度不改變餘弦值，可以按整週期描述等價的平移。當 $A>0$ 時，$h$ 是不受限制模型的一個最大值時刻；當 $A<0$ 時，相同相位位置則是最小值。在受限觀察窗口中，只有包含在窗口內的峰值和谷值時刻才算。若 $A$ 或 $\omega$ 為零，輸出為常數，不能應用非常數週期的解釋。

圖像專題 G2

思考檢查

圖像題 G2

帶相位的週期溫度記錄

在閉觀察區間 $0\le t\le26$ 秒內，理想化溫度為

$$T(t)=20+3\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-2)\right).$$

這裏 $T$ 是以攝氏度表示的溫度數值，$t$ 是以秒表示的時間數值。角頻率為每秒 $\pi/6$ 弧度，因此餘弦的自變量無量綱。這是所述區間上的假設模型，不是實驗測量數據。

1. 讀出中線、振幅、最大值、最小值和週期，並寫出正確單位。
2. 將相位解釋為水平時間平移，求觀察區間內前兩個最大值出現的時間。為甚麼二不是週期？
3. 從圖中估計滿足 $T(t)\ge21.5$ 的所有時間，再推導精確的閉區間並集，而不只給出一個反餘弦值。
4. 說明此圖對於觀察區間之外的時間能夠及不能說明甚麼。

解答 · 圖像題 G2

1. 中線為攝氏 $20$ 度，振幅為攝氏 $3$ 度；最大值為攝氏 $23$ 度，最小值為攝氏 $17$ 度，均在區間內取得。一個完整週期為

   $$P=\frac{2\pi}{\pi/6}=12\text{秒}.$$

   例如相鄰最大值出現在 $t=2$ 和 $t=14$。把水平距離讀作振幅會混淆秒與攝氏度。

2. 相對於 $20+3\cos(\pi t/6)$，圖像向右平移兩秒：在 $t=2$ 時餘弦自變量為零。每個最大值滿足 $(\pi/6)(t-2)=2k\pi$，故對整數 $k$ 有 $t=2+12k$。前兩個為兩秒和十四秒，第三個出現在包含的端點二十六秒。水平平移決定起始相位，重複峰值的間距決定週期。展開自變量得到相位 $-\pi/3$ 弧度，而不是兩弧度。

3. 閾值比中線高一又二分之一攝氏度，所以

   $$T(t)\ge21.5\iff \cos\!\left(\frac\pi6(t-2)\right)\ge\frac12.$$

   在角度軸上，餘弦至少為二分之一的角度屬於 $[-\pi/3,\pi/3]+2k\pi$。乘以正的時間尺度得到

   $$t\in[12k,4+12k]\qquad(k\in\mathbb Z).$$

   將該完整週期族與 $[0,26]$ 取交，得到

   $$[0,4]\cup[12,16]\cup[24,26]\quad\text{秒}.$$

   邊界時刻零、四、十二、十六和二十四的溫度恰為攝氏 $21.5$ 度；二十六秒處為攝氏 $23$ 度。因此所有列出的端點均滿足非嚴格比較和閉觀察區間。一個反餘弦主值不能找齊每個峰值兩側及之後的週期。

4. 公式有數學上的週期延伸，但題目只在所述觀察區間假設其科學有效。圖像不能證明實際儀器在零之前或二十六秒之後仍保持週期性或遵循此校準。外推是額外建模假設，而不是從窗口內曲線得出的結論。

總結

弧度聯繫弧長與角坐標。反三角函數需要限制分支，三角方程卻可能有許多週期解。振幅和相位識別週期模型結構。向量分量保留方向，點積識別垂直分量，矩陣記號組織聯立平衡。