分清坐標對與它所表示的點
使用非負半徑時，極坐標由映射
Φ:[0,∞)×R⟶R2,Φ(r,θ)=(rcosθ,rsinθ)
給出，角度以弧度計。若 r>0，給角度加上 2π 的整數倍不會改變所表示的點；若 r=0，任何角度都表示原點。這描述的是坐標映射；具體的極坐標方程還可能限制哪些坐標對才是解。
若 S 是滿足方程的允許坐標對所組成的集合，則平面軌跡為 Φ(S)={Φ(r,θ):(r,θ)∈S}。點屬於該像集，指至少存在一個允許坐標對表示它，並不要求該點的每種表示都滿足方程。後文限制 −π≤θ≤π 時，允許坐標對的定義域隨之改變，列出角度解之前必須先應用該限制。
用兩個方向證明點集相等
以 x2+y2 代替 r2，以 x 代替 rcosθ，可從極坐標方程推出一個直角坐標結論。要證明軌跡相等，還須從直角坐標點出發，找到一個滿足原方程的允許極坐標對。對非零點可取 r=x2+y2>0，此時才能合法地除以 r；在原點不能這樣除，必須另行檢查允許角度。
這關乎推理是否可逆，而不只是圖像的外觀。等比例坐標軸使圖形能輔助解釋圓心和半徑；兩個方向的包含關係才確定精確點集。下面四題區分這兩項工作。
讀圖並回答四個問題
思考檢查
圖像專題 G3：極坐標對、圓與原點
設 r,x,y 是以釐米計的長度數值，θ 以弧度計。使用非負極半徑及
x=rcosθ,y=rsinθ.考慮極坐標方程
r=4cosθ,r≥0.圖中兩個直角坐標軸使用相同尺度。經過 P 的射線方向為 θ=π/3。
- 將極坐標方程化為直角坐標方程，驗證從圖讀出的圓心與半徑。證明逆向結論並單獨檢查原點，確定完整點集。
- 當 −π≤θ≤π 時，哪些角度允許 r>0？哪些角度在滿足極坐標方程時表示原點？
- 精確求 P 的 r 和直角坐標。整條射線與直角坐標圓除了在 P 處相交外，也在原點相交。極坐標對 (r,θ)=(0,π/3) 是否滿足原方程？解釋區別。
- 某學生在 r2=4rcosθ 中約去 r。這是否保留所有極坐標對？在本例中是否保留直角坐標點集？
完整解答：坐標對、點與零半徑分支
解答 · 圖像專題 G3：極坐標對、圓與原點
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兩邊乘以 r 得到 r2=4rcosθ，所以
x2+y2=4x⟺(x−2)2+y2=4.
圓心是 (2,0) 釐米，半徑為兩釐米，與圖中未失真的圓一致。僅乘法只證明一個方向。反過來，取滿足直角坐標方程的非零點，選擇其非負半徑 r=x2+y2>0 和對應角度。於是 r2=4rcosθ，除以這個正半徑恢復 r=4cosθ。原點也屬於極坐標軌跡：r=0、θ=π/2 滿足方程。因此沒有遺漏或增加直角坐標點。
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半徑嚴格為正時 cosθ>0，所以在所述角度窗口內要求 −π/2<θ<π/2。原點的 r=0，此時方程要求 cosθ=0，在該窗口得到 θ=−π/2 或 π/2；這兩對坐標表示同一個原點。餘弦為負會要求負半徑，而此約定不允許。令 θ 從 −π/2 變化到 π/2 可描出完整圓，兩個端點都表示原點。
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當 θ=π/3，r=4(1/2)=2，因此
P=(2cos(π/3),2sin(π/3))=(1,3)釐米.
它與圓心的位移平方為 (1−2)2+(3)2=4，符合要求。但 (0,π/3) 不滿足 r=4cosθ，因為這會斷言 0=2。一個直角坐標點可以有多個極坐標表示；點屬於軌跡，是指至少一個允許的表示滿足其方程，而不是每種表示都滿足。原點作為直角坐標點同時位於射線與圓上，但極坐標方程以不同角度表示它。
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乘後的方程在 r=0 時對每個角度成立，而約去後的方程只在 cosθ=0 時成立。因此約分移除了許多極坐標對，在完整坐標對定義域上不可逆。不過本例中，每個被移除的坐標對都表示同一個原點，而仍有保留下來的坐標對表示原點。半徑為正時除法可逆。因此兩個方程的直角坐標點集相同，極坐標對的解集卻不同。
甚麼時候約分改變坐標對而保留點集
在本例中，把 r=4cosθ 乘以 r，會增加原先不滿足方程的所有 r=0 坐標對。每個新增坐標對都映到原點，而原方程本來已有表示該點的解，例如 (0,π/2)。因此坐標對解集擴大，像點集卻不變。這個結論依賴對零半徑分支的檢查。
這並非允許不經檢查地任意乘除極坐標方程。例如 r=1、r≥0 描述單位圓；乘以 r 得到 r2=r，就會向平面軌跡增加原點。無論乘法還是除法，都應記錄丟失或增加了哪些坐標對，再檢查它們在 Φ 下的像。
