多項式結構與坐標幾何

動機

本章假設你掌握第 1 章的定義域、方程等價、區間與函數。我們將在微積分前加強代數與幾何。你將推導二次公式，利用多項式因子分析符號，在有理函數中保留排除點，並將幾何描述轉換為方程。

科學公式往往經過結構改寫才易於處理。配方可揭示圓或最小值；因式分解可揭示重根與符號變化；定義域檢查可區分可去空點和允許的輸入。這些是數學判斷，而不只是機械化簡。

3.1 多項式除法與因式定理

命題

非零多項式 $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$（$a_n\ne0$）的次數為 $n$。用 $x-r$ 作多項式除法得到

$$P(x)=(x-r)Q(x)+c,$$

證明

其中 $c$ 為常數。代入 $x=r$ 證明 $c=P(r)$。因此 $r$ 是根當且僅當 $x-r$ 是因子。反覆除法證明非零 $n$ 次多項式至多有 $n$ 個不同實根：每個不同根除去一階，而其他根仍屬於商。

證明

這裏所有多項式係數與 $r$ 都是實數。用 $x-r$ 除來自有限代數，而非預設求根結論。對 $k\ge1$，

$$x^k-r^k=(x-r)\sum_{j=0}^{k-1}x^{k-1-j}r^j.$$

展開右邊，中間項全部相消。對 $P(x)-P(r)$ 的每項應用此恆等式，得

$$P(x)-P(r)=(x-r)\sum_{k=1}^{n}a_k\sum_{j=0}^{k-1}x^{k-1-j}r^j.$$

這構造出 $Q$ 與常數餘項 $P(r)$；常數多項式也包括在內，此時空和給出 $Q=0$。若 $n\ge1$，$Q$ 的次數為 $n-1$，首項係數為 $a_n$。若有兩種這樣的除法，代入 $x=r$ 得到相同餘項；相減後 $(x-r)(Q_1-Q_2)=0$ 作為多項式恆成立，由首項係數可知 $Q_1=Q_2$。若 $s\ne r$ 是另一個根且 $P=(x-r)Q$，代入得 $(s-r)Q(s)=0$，故 $Q(s)=0$。以非零常數無根為起點，對次數歸納即證不同根數目的上界。

例題

例 1：不必猜出所有根的三次式。 令 $P(x)=x^3-2x^2-x+2$。分組得到

$$P(x)=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1).$$

根為 $-1,1,2$，分解證明沒有其他根。展開可作獨立代數檢驗；僅以數值方法找到一個根不能確定完整集合。

定義

對正整數 $m$ 和多項式 $Q$，若 $P(x)=(x-r)^mQ(x)$ 且 $Q(r)\ne0$，則根的重數為 $m$。在 $r$ 附近，非零連續因子 $Q$ 保持符號。$m$ 為奇數時 $(x-r)^m$ 變號，$m$ 為偶數時不變號。因此引入導數之前，偶重零點便可能接觸坐標軸而不穿過。

證明

保號結論不需要微積分。寫 $Q(x)=\sum_{k=0}^{d}b_kx^k$，固定滿足 $Q(r)\ne0$ 的實數 $r$。令 $M=|r|+1$、$B=\sum_{k=1}^{d}|b_k|kM^{k-1}$。當 $|x-r|<1$ 時，由冪差恆等式，

$$|Q(x)-Q(r)|\le B|x-r|.$$

若 $B=0$，$Q$ 為常數；否則取 $0<\delta\le\min\{1,|Q(r)|/(2B)\}$。當 $|x-r|<\delta$，差的絕對值小於 $|Q(r)|/2$，所以 $Q(x)$ 與 $Q(r)$ 同號。因此，對正整數重數 $m$ 和多項式商 $Q$，局部符號變化只來自 $(x-r)^m$：奇數 $m$ 使符號反轉，偶數 $m$ 保持符號。這也給出了上面定義中藉助連續性所用的保號事實。

3.2 配方得到二次式

命題

對 $a\ne0$，

$$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.$$

令表達式為零並取平方根，得到

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

實根要求判別式 $b^2-4ac\ge0$。零判別式給出一個重複實根；負判別式沒有實根。若方程描述物理量，可在之後根據可行性排除部分實根。

例題

例 2：不用微積分求最小值。 校準損失 $E(s)=2s^2-8s+11$ 等於 $2(s-2)^2+3$，故在所有實輸入上的唯一最小值為三，在 $s=2$ 處取得。若限制 $s\ge3$，距二最近的允許輸入為三，最小值變為五。模型定義域改變答案，但平方恆等式不變。

相同改寫有助於畫拋物線。點 $(-b/(2a),c-b^2/(4a))$ 是頂點，$a$ 的符號決定開口方向。不必從少數樣本點猜測形狀。

3.3 帶重根與極點的符號表

對已分解的多項式或有理函數，列出所有實零點及分母零點。它們將數軸劃分為各因子不能變號的區間。確定每個區間的符號；不等式允許取等時包括分子零點，始終排除分母零點。

例題

例 3：負區間內的重零點。 解

$$\frac{(x-1)^2(x+2)}{x-3}\ge0.$$

定義域排除三。除 $x=1$ 外平方因子為正，故符號由 $(x+2)/(x-3)$ 控制：$-2$ 左側為正，$-2$ 至三之間為負，三右側為正。$x=-2$ 和重零點 $x=1$ 也取等，所以解為

$$(-\infty,-2]\cup\{1\}\cup(3,\infty).$$

常見錯誤

若除去 $(x-1)^2$ 時不單獨保留零的情況，會遺漏孤立解一。

商中的公因子只可在非零處消去。對 $(x^2-1)/(x-1)$，相消給出 $x\ne1$ 時的 $x+1$ 值，但不填補原空點。相比之下 $1/(x-1)$ 在分母為零的 $x=1$ 附近函數值無界，而不是有相消因子；兩種結構不能混淆。

3.4 直線、圓與距離方程

$(x_1,y_1)$ 與 $(x_2,y_2)$ 之間的距離平方為 $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$。半徑 $R>0$、圓心 $(h,k)$ 的圓為

$$(x-h)^2+(y-k)^2=R^2.$$

例題

例 4：識別幾何。 方程 $x^2+y^2-4x+6y+9=0$ 化為

$$(x-2)^2+(y+3)^2=4.$$

它是圓心 $(2,-3)$、半徑二的圓。若配方後右邊為負，實軌跡為空；若為零，則是單點而非正半徑圓。

直線可寫成 $Ax+By=C$，其中 $(A,B)\ne(0,0)$。這包括不能寫成 $y=mx+b$ 的竪直線。對兩條非竪直線，不同斜率保證一個交點；斜率相同時須檢查是同一直線還是不同平行線。

求直線與圓的交點時，代入產生二次方程。正、零或負判別式分別表示兩個交點、相切或沒有實交點。所有候選點都必須滿足兩個原方程。

例題

例 5：用交點計算代替草圖。 對 $x^2+y^2=5$ 和 $y=x+1$，代入得 $2x^2+2x-4=0$，故 $x=1$ 或 $-2$。點為 $(1,2)$、$(-2,-1)$。二者到原點的距離平方均為五且在直線上；只畫出一個交點不完整。

3.5 由幾何約束描述圓錐曲線

選讀：圓錐曲線。 焦點–準線描述和圓錐曲線分類把幾何與坐標方程聯繫起來。練習 8–9 探索這些內容。

拋物線由到焦點和準線距離相等的點組成。焦點為 $(h,k+p)$、準線為 $y=k-p$（$p\ne0$）時，令距離平方相等得到

$$(x-h)^2+(y-k-p)^2=(y-k+p)^2,$$

故 $(x-h)^2=4p(y-k)$。因為比較的兩量均為非負距離，平方在這裏保持等價。頂點為 $(h,k)$，$p>0$ 時向上開口，$p<0$ 時向下開口。

軸平行的橢圓方程為 $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$，其中 $a,b>0$，水平與竪直半軸分別為 $a,b$。方程 $(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1$ 描述無界且有兩支的雙曲線。這些是不同的幾何模型；平方項外觀相似不使所有圓錐曲線都是圓。

例題

例 6：縮放橢圓。 對 $x^2/9+y^2/4=1$，截距為 $(\pm3,0),(0,\pm2)$。解出上半支得 $y=2\sqrt{1-x^2/9}$，定義域為 $[-3,3]$。完整橢圓不是單個 $x$ 函數，因為大多數內部橫坐標同時有正和負兩個輸出。選擇分支是定義域和輸出的決定，而不僅是圖形偏好。

3.6 不使用微積分的有限幾何累積

對 $r\ne1$，$1+r+\cdots+r^{n-1}=(1-r^n)/(1-r)$。從和中減去該和的 $r$ 倍即可證明。具有乘數 $r$ 的離散重複貢獻 $a$，在 $n$ 項上的總量因此為 $a(1-r^n)/(1-r)$。當 $r=1$，正確總量為 $na$；不能以除零計算商式。

有限和代數為後續數列和積分作準備，但它本身不確立無窮總量的收斂性。

3.7 分級練習

基礎

思考檢查

練習 1

1. 分解 $x^3-3x^2-4x+12$ 並列出全部實根。

思考檢查

練習 2

2. 用二次公式或配方解 $2x^2-5x+2=0$。

思考檢查

練習 3

3. 將 $x^2+6x+13$ 配方並求其最小值。

核心

思考檢查

練習 4

4. 解 $(x-2)^2(x+1)\le0$。

思考檢查

練習 5

5. 解 $(x+1)/(x-2)\ge0$，保留定義域排除點。

思考檢查

練習 6

6. 確定 $x^2+y^2+2x-8y+13=0$ 的圓心和半徑。

思考檢查

練習 7

7. 求 $y=x$ 與 $x^2+y^2=8$ 的交點。

思考檢查

練習 8

8. 給出 $(x-1)^2=8(y+2)$ 的焦點和準線。

綜合

思考檢查

練習 9

9. 將 $x^2/16+y^2/9=1$ 的上半部分寫成 $x$ 的函數，包括定義域和值域。解釋整個橢圓為甚麼不通過函數檢驗。

思考檢查

練習 10

10. 模型增加貢獻 $3,3r,3r^2,\ldots,3r^{n-1}$。求 $r\ne1$ 的總量，計算 $r=2,n=4$ 的值，並給出 $r=1$ 時的單獨答案。

3.8 完整解答

解答 · 練習 1

1. 分組為 $x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-2)(x+2)$。根為 $-2,2,3$。

解答 · 練習 2

2. 判別式為 $25-16=9$，故 $x=(5\pm3)/4$，即 $2$ 和 $1/2$。

解答 · 練習 3

3. 表達式為 $(x+3)^2+4$，唯一最小值為四，在 $x=-3$ 處取得。

解答 · 練習 4

4. 除 $x=2$ 外，平方為正，故乘積非正當且僅當 $x+1\le0$。另外 $x=2$ 使乘積為零。解集為 $(-\infty,-1]\cup\{2\}$。

解答 · 練習 5

5. 臨界輸入是 $-1$ 和二。商在 $(-\infty,-1)$ 和 $(2,\infty)$ 上為正，在兩者之間為負，在 $-1$ 為零。因此答案為 $(-\infty,-1]\cup(2,\infty)$，排除極點二。

解答 · 練習 6

6. 配方得 $(x+1)^2+(y-4)^2=4$。圓心為 $(-1,4)$，半徑二。

解答 · 練習 7

7. 代入得 $2x^2=8$，故 $x=\pm2$，點為 $(2,2),(-2,-2)$。

解答 · 練習 8

8. 此處 $h=1,k=-2,4p=8$，故 $p=2$。焦點為 $(1,0)$，準線為 $y=-4$。

解答 · 練習 9

9. 上半支為 $y=3\sqrt{1-x^2/16}$，定義域 $[-4,4]$，值域 $[0,3]$。在 $x=0$，完整橢圓有兩個輸出 $3$ 和 $-3$，故不是 $x$ 的單值函數。

解答 · 練習 10

10. 總量為 $3(1-r^n)/(1-r)$。當 $r=2,n=4$，值為 $3(1-16)/(1-2)=45$，也等於 $3+6+12+24$。當 $r=1$，總量為 $3n$。

先構圖，再判斷交點

配方提供的不只是最小值答案。從頂點 $(2,3)$ 開始繪製草圖。水平位移 $h$ 使懲罰值變為 $3+2h^2$，因此兩側相同位移有相同高度，因子二確定竪直尺度。這樣無需依賴計算器任意選定的採樣密度，就能解釋對稱性和形狀。標出模型包含的端點，再只保留允許輸入區間上的部分。繪圖窗口與數學定義域不同：圖像的邊緣本身不會排除一個輸入。

現在畫出水平比較線。若它在頂點以下，則無交點；經過頂點時相切一次；在頂點以上時，不受限制的拋物線有兩個交點。受限定義域可能保留兩個、一個或都不保留。用代數確定交點，再將所得集合與模型定義域取交。狹窄的草圖可能隱藏第二個交點，所以圖像支持論證，卻不能代替完整解集。

圖像專題 G1

思考檢查

圖像題 G1

拋物線並不自動確定模型定義域

某校準採用無量綱濃度 $x=c/c_0$，其中 $c_0>0$ 是固定參考濃度，$c$ 與其單位相同。因此 $x$ 無量綱。儀器允許 $0\le x\le3$，其無量綱校準懲罰值為

$$E(x)=2(x-2)^2+3.$$

1. 讀出頂點和開口方向。寫出允許模型的定義域和值域，並與不受限制的代數多項式區分。
2. 從圖中估計滿足 $E(x)\le5$ 的所有允許輸入，再給出精確集合並論證端點。
3. 觀察到懲罰值為五，求所有允許輸入。為甚麼這一觀察不能唯一確定濃度？給出一種使反演唯一的輸入限制，並寫出反函數公式及反函數的定義域。
4. 圖中虛線部分是否允許使用負濃度或大於三的輸入？解釋方程與模型假設各自的作用。

解答 · 圖像題 G1

1. 平方項系數為正，所以拋物線開口向上，頂點為 $(2,3)$。允許的輸入定義域為 $[0,3]$，最小懲罰值三在 $x=2$ 處取得。在該定義域上，$|x-2|\le2$，所以 $E(x)\le11$，且在 $x=0$ 處取等。三到十一之間的每個值都可取得：對 $e\in[3,11]$，輸入 $x=2-\sqrt{(e-3)/2}$ 屬於 $[0,2]$，其懲罰值為 $e$。因此允許模型的值域恰為 $[3,11]$。不受限制的多項式定義域為 $\mathbb R$，值域為 $[3,\infty)$；科學限制不能僅從多項式推斷。

2. 實線曲線在兩交點之間位於水平邊界上或以下。代數上，

   $$E(x)\le5\iff 2(x-2)^2\le2\iff |x-2|\le1\iff1\le x\le3.$$

   與允許定義域取交仍為 $[1,3]$。兩個端點的懲罰值都恰為五，且題目要求非嚴格不等式，因此都包含。$x=0$ 處懲罰值為十一，所以該端點不滿足此容差。

3. 解 $E(x)=5$ 得 $x=1$ 或 $x=3$，兩者均允許。原模型不是單射：頂點兩側的不同濃度可以有相同懲罰值。將輸入限制在 $[2,3]$，懲罰值嚴格遞增，值域為 $[3,5]$。反函數為

   $$x=2+\sqrt{\frac{e-3}{2}},\qquad 3\le e\le5.$$

   選擇正分支是因為 $x\ge2$，並不是說平方根方程只有一個候選解。也可限制在 $[0,2]$，得到負分支，反函數定義域為 $[3,11]$。回到物理濃度需要使用 $c=c_0x$。

4. 虛線延伸顯示的是多項式的值，並未擴大科學操作定義域。負 $x$ 違反濃度非負，$x>3$ 則超出所述儀器範圍。此類輸入處 $E(x)$ 有實數值，只證明代數上有定義，不證明物理上允許或校準有效。

總結

因式揭示根與符號變化，重根則需要單獨考慮零的情況。配方推導二次根、極值和幾何形式。有理表達式中的排除點在相消後仍存在。坐標方程描述的軌跡不一定是單值函數。有限幾何和給出精確離散累積。